第一章 计数原理(B卷) 单元测试(人教A版选修2-3)

1 第一章 计数原理 B 卷 单元测试 时间 90 分钟 满分 120 分 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 共 50 分 1 若从 1 2 3 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数 其和为偶 数 则不同的取法共有 A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 解析 1 2 3 9 中共 5 个奇数 4 个偶数 当所取 4 个数中分别 有 4 个 2 个 0 个偶数时 其和为偶数 故共有 C C C C 66 种 4 42 4 2 54 5 不同取法 答案 D 2 从集合 M 0 1 2 到集合 N 1 2 3 4 的不同映射的个数是 A 81 个 B 64 个 C 24 个 D 12 个 解析 依题意可知不同的映射有 43 64 个 答案 B 3 由数字 0 1 2 3 4 5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的 个数有 A 72 B 60 C 48 D 52 解析 只考虑奇偶相间 则有 2A A 种不同的排法 其中 0 在首位 3 33 3 的有 A A 种不符合题意 所以共有 2A A A A 60 个 2 23 33 3 3 32 2 3 3 答案 B 4 某次文艺汇演 要将 A B C D E F 这六个不同节目编排成 节目单 如下表 2 序号123456 节目 如果 A B 两个节目要相邻 且都不排在第 3 号位置 那么节目单上 不同的排序方式有 A 192 种 B 144 种 C 96 种 D 72 种 解析 第一步 将 C D E F 全排 共有 A 种排法 产生 5 个空 4 4 第二步 将 A B 捆绑有 2 种方法 第三步 将 A B 插入除 2 号空位和 3 号空位之外的空位 有 C 种 1 3 所以一共有 144 种方法 答案 B 5 x2 2 5的展开式的常数项是 1 x2 1 A 3 B 2 C 2 D 3 解析 第一个因式取 x2 第二个因式取含的项得 1 C 1 1 x24 5 4 5 第一个因式取 2 第二个因式取常数项得 2 1 5 2 故展开 式的常数项是 5 2 3 答案 D 6 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色 要求有公 共边界的两部分不能用同一种颜色 则不同的着色方法共有 金榜 题名 A 144 种 B 72 种 C 64 种 D 84 种 解析 方法一 第一类 用 4 种颜色涂 有 A 4 3 2 1 24 种 4 4 3 第二类 用 3 种颜色 必须有一条对角区域涂同色 有 C C A 48 种 1 2 1 4 2 3 第三类 用 2 种颜色 对角区域各涂一色有 A 4 3 12 种 2 4 共有 24 48 12 84 种 方法二 第一类 区域金与名同色 从 4 色中选 1 色 有 C 种方法 1 4 其余区域榜 题各有 3 种方法 有 4 3 3 36 种方法 第二类 区域金与名不同色 区域金有 4 种方法 区域名有 3 种方法 区域榜 题各有 2 种方法 共有 4 3 2 2 48 种方法 根据分类加法计数原理共有 36 48 84 种方法 答案 D 7 将 2 名教师 4 名学生分成 2 个小组 分别安排到甲 乙两地参加 社会实践活动 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成 不同的安排方案共 有 A 12 种 B 10 种 C 9 种 D 8 种 解析 先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地 再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地 共有 C C 12 种安排方案 1 2 2 4 答案 A 8 从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从 事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前 两项工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 A 36 种 B 12 种 C 18 种 D 48 种 解析 分两类 若小张或小赵入选 则有选法 C C A 24 种 若小 1 2 1 2 3 3 张 小赵都入选 则有选法 A A 12 种 共有选法 36 种 选 A 2 2 2 3 答案 A 4 9 绍兴臭豆腐闻名全国 一外地学者来绍兴旅游 买了两串臭豆腐 每串 3 颗 如图 规定 每串臭豆腐只能由左向右一颗一颗地吃 且两串 可以自由交替吃 请问 该学者将这两串臭豆腐吃完 不同的吃法有 A 6 种 B 12 种 C 20 种 D 40 种 解析 方法一 树形图 如图所示 为先吃 A 的情况 共有 10 种 如果先吃 D 情况相同 所以不同的吃法有 20 种 方法二 依题意 本题属定序问题 所以 20 种 A6 6 A3 3 A3 3 答案 C 10 在图中 构建和谐社会 创美好未来 从上往下读 不能跳读 共有不同的读法种数是 构 5 建 建 和 和 和 谐 谐 谐 谐 社 社 社 社 社 会 会 会 会 会 会 创 创 创 创 创 美 美 美 美 好 好 好 未 未 来 A 250 B 240 C 252 D 300 解析 方法一 解本题相当于在图中先在始点标上 1 再在上半部两 腰的各点旁标上 1 然后从上到下依次逐点累加 图中间每一点处的数等 于它肩上两数的和 一直计算到下面最后一点 由此可见 共有 252 种不 同读法 方法二 考虑到杨辉三角 第 n 行第 k 个数为 C 252 是第 10 行 k 1n 第 6 个数 所以应为 C 252 种 5 10 答案 C 6 第 卷 非选择题 共 70 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 11 客厅里 4 个座位上依次坐着 4 人 现作如下调整 一人位置不变 其余三人位置均相互调换 则不同的调整方案的种数为 解析 由题意得不同的调整方案有 C C C C 8 种 1 4 1 2 1 1 1 1 答案 8 12 C C C C C 的值为 1 62 63 64 65 6 解析 C C C C C C C 26 64 0 61 62 63 64 65 66 6 C C C C C 64 2 62 1 62 63 64 65 6 答案 62 13 6的展开式中 x3的系数为 用数字作答 x2 1 x 解析 Tr 1 C x2 6 r r C x12 3r 令 12 3r 3 r 6 1 x r 6 r 3 所以展开式中 x3的系数为 C 20 3 6 答案 20 14 如图是由 12 个小正方形组成的 3 4 矩形网格 一质点沿网格线 从点 A 到点 B 的不同路径之中 最短路径有 条 解析 总览全局 把质点沿网格线从点 A 到点 B 的最短路径分为七步 其中四步向右 三步向下 不同走法的区别在于哪三步向下 因此 本题 的结论是 C 35 3 7 7 答案 35 三 解答题 本大题共 4 小题 满分 50 分 15 12 分 某校高中部 高一有 6 个班 高二有 7 个班 高三有 8 个 班 学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动 1 任选 1 个班的学生参加社会实践 有多少种不同的选法 2 三个年级各选一个班的学生参加社会实践 有多少种不同的选法 3 选 2 个班的学生参加社会实践 要求这 2 个班不同年级 有多少种 不同的选法 解 1 分三类 第一类从高一年级选 1 个班 有 6 种不同方法 第二 类从高二年级选一个班 有 7 种不同的方法 第三类从高三年级选 1 个班 有 8 种不同方法 由分类加法计数原理 共有 6 7 8 21 种不同的选 法 4 分 2 每种选法分三步 第一步从高一年级选一个班 有 6 种不同方法 第二步从高二年级选 1 个班 有 7 种不同方法 第三步从高三年级选 1 个 班 有 8 种不同方法 由分步乘法计数原理 共有 6 7 8 336 种不同 的选法 8 分 3 分三类 每类又分两步 第一类从高一 高二两个年级各选一个班 有 6 7 种不同方法 第二类从高一 高三两个年级各选 1 个班 有 6 8 种不同方法 第三类从高二 高三年级各选一个班 有 7 8 种不同的方 法 故共有 6 7 6 8 7 8 146 种不同选法 12 分 16 12 分 已知 a2 1 n的展开式中各项系数之和等于 5的 16 5 x2 1 x 展开式的常数项 并且 a2 1 n的展开式中系数最大的项等于 54 求 a 的 值 解 5展开式的常数项为 16 5 x2 1 x 8 C 4 16 4 5 16 5 x2 1 x a2 1 n展开式的系数之和 2n 16 n 4 6 分 a2 1 n展开式的系数最大的项为 C a2 2 4 2 12 6a4 54 a 12 分 3 17 12 分 某班要从 5 名男生 3 名女生中选出 5 人担任 5 门不同学科 的课代表 请分别求出满足下列条件的方法种数 1 所安排的女生人数必须少于男生人数 2 其中的男生甲必须是课代表 但不能担任数学课代表 3 女生乙必须担任语文课代表 且男生甲必须担任课代表 但又不能 担任数学课代表 解 1 所安排的女生人数少于男生人数包括三种情况 一是 2 个女生 二是 1 个女生 三是没有女生 依题意得 C C C C C A 5 520 5 51 3 4 52 3 3 55 5 种 4 分 2 先选出 4 人 有 C 种方法 连同甲在内 5 人担任 5 门不同学科 4 7 的课代表 甲不担任数学课代表 有 A A 种方法 方法数为 C A A 1 44 44 71 4 3 360 种 8 分 4 4 3 由题意知甲和乙两个人确定担任课代表 需要从余下的 6 人中选出 3 个人 有 C 20 种结果 女生乙必须担任语文课代表 则女生乙就不 3 6 需要考虑 其余的 4 个人 甲不担任数学课代表 甲有 3 种选择 余下 的 3 个人全排列共有 3A 18 综上可知共有 20 18 360 种 12 分 3 3 18 14 分 已知 x2 2n的展开式的二项式系数和比 3x 1 n的展开 3 x 式的二项式系数和大 992 求在 2n的展开式中 2x 1 x 1 二项式系数最大的项 9 2 系数的绝对值最大的项 解 由题意 22n 2n 992