河南省郑州智林学校09-10学年高二下学期期末考试（数学文）

郑州智林学校 09 10 学年高二下学期期末考试 数学试题 文科 第 卷 选择题 共 48 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 4 分 共 48 分 每小题给出的 4 个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 复数 3 1 i z i 等于 A i 21 B i 21 C i 2 D i 2 2 如果复数 2 1 ibi 是纯虚数 则 bi ib 1 32 的值为 A 2 B 5 C 5 D 15 3 已知函数1 xy 则它的导函数是 A 1 2 1 xy B 1 2 1 x x y C 1 12 x x y D 1 2 1 x x y 4 dxex x cos 0 A 1 e B 1 e C e D 1 e 5 如图 平行四边形 ABCD 中 G 是 BC 延长线上一点 AG 与 BD 交于点 E 与 DC 交于点 F 则图中相似三角形共有 A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 6 曲线 22 1xy 经过伸缩变换 T 得到曲线 2 2 1 169 xy 那么直线210 xy 经过伸 缩变换 T 得到的直线方程为 A 2360 xy B 4610 xy C 38120 xy D 3810 xy 7 圆5cos5 3sin 的圆心坐标是 A 4 5 3 B 5 3 C 5 3 D 5 5 3 8 在极坐标系中与圆4sin 相切的一条直线的方程为 A cos2 B sin2 C 4sin 3 D 4sin 3 9 设随即变量 服从正态分布 1 0 N pP 1 则 01 P等于 A p 2 1 B p 1 C p21 D p 2 1 10 在航天员进行的一项太空实验中 要先后实施 6 个程序 其中程序A只能出现在第一步 或最后一步 程序CB 实施时必须相邻 请问实验顺序的编排方法共有 A 24种 B 96种 C 120种 D 144种 11 某盏吊灯上并联着 3 个灯泡 如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7 0 则 在这段时间内吊灯能照明的概率是 A 343 0 B 833 0 C 973 0 D 029 1 12 已知 xf是定义在 0 上的非负可导函数 且满足 0 xfxxf 对任意正数 ba 若ba 则必有 A abfbaf B bafabf C bfaaf D afbbf 第 卷 非选择题 共 72 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 函数354 6yxx 的最大值是 14 由曲线 2 xy xy xy3 所围成的图形面积为 15 二项式 10 2 1 1 x 的展开式中含 5 1 x 的项的系数是 16 已知函数 2 2 23 xcbxaxxxf表示过原点的曲线 且在1 x处的切 线的倾斜角均为 4 3 有以下命题 xf的解析式为 2 2 4 3 xxxxf xf的极值点有且只有一个 xf的最大值与最小值之和等于零 其中正确命题的序号为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 56 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 8 分 设函数 xflg 3 7 xx a 1 当1 a时 解关于x的不等式0 xf 2 如果Rx 0 xf 求a的取值范围 18 本小题满分 10 分 设 n n nf n 1 1 其中n为正整数 1 求 1 f 2 f 3 f的值 2 猜想满足不等式0 nf的正整数n的范围 并用数学归纳法证明你的猜想 19 本小题满分 10 分 经过点 2 3 3A 倾斜角为 的直线l 与曲线C sin5 cos5 y x 为参数 相交于CB 两点 1 写出直线l的参数方程 并求当 6 时弦BC的长 2 当A恰为BC的中点时 求直线BC的方程 3 当8 BC时 求直线BC的方程 4 当 变化时 求弦BC的中点的轨迹方程 20 本小题满分 9 分 设在一个盒子中 放有标号分别为 1 2 3 的三张卡片 现从这个 盒子中 有放回地先后抽得两张卡片 标号分别记为yx 设随机变量 xyx 2 1 写出yx 的可能取值 并求随机变量 的最大值 2 求事件 取得最大值 的概率 3 求 的分布列和数学期望与方差 21 本小题满分 9 分 如图 已知 1 O与 2 O外 切于点P AB是两圆的外公切线 A B为切 点 AB与 21O O 的延长线相交于点C 延长AP 交 2 O于 点D 点E在AD延长线上 1 求证 ABP 是直角三角形 2 若AEAPACAB 试判断AC与EC能否一定垂直 并说明理由 3 在 2 的条件下 若4 AP 4 9 PD 求 AC EC 的值 D B E C A 1 O 2 O P 22 本小题满分 10 分 已知函数cbxxaxxf 44 ln 0 x在1 x处取得极值 c 3 其中cba 为常数 1 求ba 的值 2 讨论函数 xf的单调区间 3 若对任意0 x 不等式02 2 cxf恒成立 求c的取值范围 参考答案及评分标准 一 选择题 每小题 4 分 共 48 分 1 C 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C 7 A 8 A 9 D 10 B 11 C 12 A 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 13 5 14 3 13 15 8 63 16 三 解答题 共 6 小题 共 56 分 17 解 1 当1a 时 原不等式可变为 3 7 10 xx 可得其解集为 3 7 x xx 或 4 分 2 因 3 7 3 7 10 xxxx 对任意xR 都成立 lg 3 7 lg101xx 对任何xR 都成立 lg 3 7 xxa 解集为R 1a 8 分 18 解 1 27 17 3 2 1 2 1 1 fff 3 分 2 猜想 0 1 1 3 n n nfn n 4 分 证明 当3 n时 0 27 17 3 f成立 5 分 假设当kn 3 Nnn 时猜想正确 即 0 1 1 k k kf k k k k 1 1 由于 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 kkkkk kk k 1 1 1 1 1 k k k k k k 8 分 1 1 1 1 1 k k k 即 0 1 1 1 11 1 k k kf k 成立 由 可知 对0 1 1 3 n n nfn n 成立 10 分 19 解 1 l的参数方程 sin 2 3 cos3 ty tx t为参数 1 分 曲线C化为 25 22 yx 将直线参数方程的yx 代入 得 0 4 55 sincos2 3 2 tt 055 sincos2 9 2 恒成立 3 分 方程必有相异两实根 21 t t 且 sincos2 3 21 tt 4 55 21 tt 55 sincos2 94 2 21 2 2121 ttttttBC 当 6 时 336337 2 1 BC 5 分 2 由A为BC中点 可知0 sincos2 3 21 tt 2tan 故直线BC的方程为01524 yx 7 分 3 8 BC 得855 sincos2 9 2 BC 0cos3cossin4 2 0cos 或 4 3 tan 故直线BC的方程为3 x或01543 yx 9 分 4 BC中点对应参数 2 21 tt t sincos2 2 3 sin sincos2 2 3 2 3 cos sincos2 2 3 3 y x 参数 0 消去 得 弦BC的中点的轨迹方程为 16 45 4 3 2 3 22 yx 轨迹是以 4 3 2 3 为圆心 4 53 为半径的圆 10 分 20 解 1 yx 的可能取值都为 1 2 3 2 12 xyx 3 当3 1 yx或1 3 yx时 取最大值3 3 分 2 有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数933 n 9 2 3 P 4 分 3 的所有取值为 0 1 2 3 当0 时 只有2 2 yx这 1 种情况 9 1 0 P 当1 时 只有1 1 yx或1 2 yx或3 2 yx或3 3 yx 共 4 种情况 9 4 1 P 当2 时 只有2 32 1 yxyx或这 2 种情况 9 2 2 P 当3 时 9 2 3 P 7 分 随机变量 的分布列为 0123 P 9 1 9 2 9 4 9 2 数学期望 9 14 9 2 3 9 4 2 9 2 1 9 1 0 E 方差 9 8 9 14 3 9 2 9 14 2 9 4 9 14 1 9 2 9 14 0 9 1 2222 D 9 分 21 解 1 证明 过点P作两圆公切线PN交AB于N 由切线长定理得 NBNANP PAB 为直角三角形 3 分 2 ECAC 证明 AEAPACAB AC AE AP AB 又EACPAB PAB CAE 900 APBECA即ECAC 6 分 3 由切割线定理 ADAPAB 2 3 5 PBABACECPAPB 4 3 4 3 AC EC 9 分 22 解 1 4ln4 3 ba