湖北省新洲一中、红安中学、麻城一中2013届高三数学上学期期末联考试题 文（含解析）新人教A版

1 湖北省新洲一中 红安一中 麻城一中湖北省新洲一中 红安一中 麻城一中 20132013 届届高三 上 期末高三 上 期末 数学试卷 文科 数学试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分分 在每小题给出的四个选项中有且只在每小题给出的四个选项中有且只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 5 分 设集合 A x x 1 2 B x x2 4x 0 x R 则 A RB A 1 3 B 0 3 C 1 4 D 0 4 考点 交 并 补集的混合运算 专题 不等式的解法及应用 分析 由题意 可先解绝对值不等式和一元二次不等式 化简集合 A B 再求出 B 的补集 再由交的运算规则解出 A RB 即可得出正确选项 解答 解 由题意 B x x2 4x 0 x x 0 或 x 4 故 RB x 0 x 4 又集合 A x x 1 2 x 1 x 3 A RB 0 3 故选 B 点评 本题考查交 并 补的混合运算 属于集合中的基本计算题 熟练掌握运算规则是 解解题的关键 2 5 分 i 为虚数单位 如果 z a2 2a 3 a2 4a 3 i 为纯虚数 那么实数 a 的值为 A 1B 3 或 1 C 3D 1 或 3 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 利用纯虚数的定义即可得出 解答 解 z a2 2a 3 a2 4a 3 i 为纯虚数 a R 解得 a 3 2 实数 a 的值为 3 故选 C 点评 正确理解纯虚数的定义是解题的关键 3 5 分 函数 f x x ln x 1 的零点所在的区间为 A 1 B 2 C 2 e D e 考点 函数零点的判定定理 专题 函数的性质及应用 分析 先计算 f 1 1 0 f 0 根据函数的零点的判定定理可得函数 f x x ln x 1 的零点所在的区间为 1 1 从而得出结论 解答 解 函数 f x x ln x 1 f 1 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1 2 0 9 0 f ln lne 0 故有 f 1 1 f 0 根据函数零点的判定定理可得 函数 f x x ln x 1 的零点所在的区间为 1 1 故函数 f x x ln x 1 的零点所在的区间为 1 故选 A 点评 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用 不等式的性质 属于中档题 4 5 分 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a5 8 S3 6 则 a9 A 8B 12C 16D 24 考点 等差数列的通项公式 等差数列的前 n 项和 专题 等差数列与等比数列 分析 由给出的等差数列的第 5 项和前 3 项和代入通项公式及前 n 项和公式求等差数列的 首项和公差 然后直接运用通项公式求 a9 解答 解 设等差数列 an 的首项为 a1 公差为 d 3 则 解得 a1 0 d 2 所以 a9 a1 8d 0 8 2 16 故选 C 点评 本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式 考查了计算能力 此题属基础 题 5 5 分 2009 越秀区模拟 抛物线 y 4x2的准线方程为 A y B y C y D y 考点 抛物线的简单性质 分析 先将抛物线化简为标准形式 进而可确定 p 的值 即可得到准线方程 解答 解 由 x2 y p 准线方程为 y 故选 D 点评 本题主要考查抛物线的基本性质 属基础题 6 5 分 某三棱柱侧棱和底面垂直 底面边长均为 a 侧棱长为 2a 其体积为 若 它的三视图中的俯视图如图所示 侧视图是一个矩形 则这个矩形的面积是 A 4B C 8D 考点 简单空间图形的三视图 专题 空间位置关系与距离 分析 通过正三棱柱的体积 求出正三棱柱的高 棱长 然后求出左视图矩形的长和宽 即可求出面积 解答 解 一个正三棱柱的底面边长相等为 a 体积为 侧棱长为 2a 所以 a2 2a 解得 a 2 故左视图的矩形长为 4 宽为 侧视图矩形的面积为 故选 B 4 点评 本题考查正三棱柱的左视图的面积的求法 考查计算能力 空间想象能力 是基础 题 7 5 分 从 1 2 3 4 四个数字中任取两个数求和 则和恰为偶数的概率是 A B C D 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 由树状图列举出所有情况 看所求的情况占总情况的多少即可 解答 解 画树状图 可知共有 4 3 12 种可能 其中和为偶数的有 4 种 即 1 3 2 4 3 1 4 2 所以和恰为偶数的概率是 P 故选 D 点评 本题考查古典概型及其计算公式 列举是解决问题的关键 属基础题 8 5 分 将函数 y cos x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标 不变 再将所得图象向左平移个单位 则所得函数图象对应的解析式是 A y cos x B y cos 2x C y sin 2x D y sin x 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 三角函数的图像与性质 分析 将原函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 即周期变为原来的两倍 得 5 到函数 y cos x 再根据平移原则左加右减上加下减得到函数解析式 解答 解 由题意可得 若将函数 y cos x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 即周期变为原来的两倍 所以可得函数 y cos x 再将所得的函数图象向左平移个单位 可得 y cos x cos x sin x 故选 D 点评 本题考查函数 y Asin x 的图象变换 考查计算能力 三角函数的平移原则 为左加右减上加下减 9 5 分 某程序框图如图所示 若输出结果是 126 则判断框中可以是 A i 6 B i 7 C i 6D i 5 考点 循环结构 专题 计算题 分析 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数 然后根据运行的后输出的结果 从 而得出所求 解答 解 根据题意可知该循环体运行情况如下 第 1 次 s 0 21 2 i 1 1 2 第 2 次 s 2 22 6 i 3 第 3 次 s 6 23 14 i 4 第 4 次 s 14 24 30 i 5 6 第 5 次 s 30 25 62 i 6 第 6 次 s 62 26 126 i 7 因为输出结果是 126 结束循环 判断框应该是 i 6 故选 A 点评 本题主要考查了循环结构 循环结构有两种形式 当型循环结构和直到型循环结构 以及周期性的运用 属于基础题 新课改地区高考常考题型 也可以利用循环的规 律求解 10 5 分 2012 湖南模拟 函数 f x 和 g x 的定义域为 a b 若对任意的 x a b 总有 则称 f x 可被 g x 置换 下列函数中 能 置换函数 x 4 16 的是 A B g x x2 6 x 4 16 C g x x 6 x 4 16 D g x 2x 6 x 4 16 考点 函数的概念及其构成要素 专题 压轴题 新定义 分析 由已知中 对任意的 x a b 总有 则称 f x 可被 g x 置换 我们结合 置换 的定义 逐一分析四个答案中的函数是否答 置 换 的定义即可得到结论 解答 解 函数 x 4 16 当时 则 恒成立 故 A 满足条件 当 g x x2 6 x 4 16 时 令 x 4 则 故 B 不满足 7 条件 当 g x x 6 x 4 16 时 令 x 4 则 故 C 不满足条 件 当 g x 2x 6 x 4 16 时 令 x 4 则 故 D 不满足 条件 故选 A 点评 本题考查的知识点是函数的值域 这是一个新定义类问题 该类题型的特点一般是 新而不难 正确理解新定义 结合新定义对所给答案进行判断是解答本题的关键 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3535 分分 请将答案填在答题卡相应题号后的请将答案填在答题卡相应题号后的 横线上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分横线上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 11 5 分 对某商店一段时间内的顾客人数进行了统计 得到了样本的茎叶图 如图所示 则该样本中的中位数为 45 众数为 45 考点 众数 中位数 平均数 茎叶图 专题 图表型 分析 直接利用茎叶图 求出该样本的中位数 众数 即可 解答 解 由题意可知茎叶图共有 24 个数值 从小到大中间两个数是 45 45 所以中位 数为 45 出现次数最多的数是 45 故众数是 45 故答案为 45 45 点评 本题考查该样本的中位数 众数 极差 茎叶图的应用 考查计算能力 12 5 分 学校为了调查学生的学习情况 决定用分层抽样的方法从高一 高二 高三三 个年级的相关学生中抽取若干人 相关数据如下表 相关学生抽取人数 高一学生 56b 高二学生 a3 高三学生 355 则抽取的总人数为 16 考点 分层抽样方法 8 专题 概率与统计 分析 利用每个个体被抽到的概率都相等得 解出 b 值 从而得出抽取的总人 数 解答 解 由题意得 b 8 则抽取的总人数为 8 3 5 16 故答案为 16 点评 本题考查分层抽样的定义和方法 属于基础题 13 5 分 设双曲线 x2 y2 1 的两条渐近线与直线围成的三角形区域 包含边界 为 D 点 P x y 为 D 内的一个动点 则目标函数 z x 2y 的最小值为 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 分析 求出双曲线 x2 y2 1 的两条渐近线方程 然后把这两个方程和直线构成三个 方程组 解这三个方程组的解 得到三角形三个顶点的坐标 把这三个顶点坐标分 别代入目标函数 z x 2y 得到三个值 其中最小的就是目标函数 z x 2y 的最小 值 解答 解 双曲线 x2 y2 1 的两条渐近线是 y x 解方程组 得到三角形区域的顶点坐标是 A B C 0 0 zC 0 目标函数 z x 2y 的最小值为 答案 点评 把三角形区域三个顶点坐标分别代入目标函数 z x 2y 得到三个值 其中最小的就 是目标函数 z x 2y 的最小值 9 14 5 分 若不等式 x 1 a 成立的充分条件是 0 x 4 则实数 a 的取值范围是 3 考点 绝对值不等式的解法 专题 计算题 分析 先求出不等式 x 1 a 的解集为集合 B 再根据条件可知 x 0 x 4 B 建立关 于 a 的不等式组 解之从而确定 a 的取值范围 解答 解 x 1 a 1 a x a 1 由题意可知 x 0 0 x 4 是 1 a x a 1 成立的充分不必要条件 解得 a 3 实数 a 的取值范围是 3 故答案为 3 点评 本题考查充分不必要条件的应用 解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用 属 于基础题 15 5 分 海中有一小岛 周围n mile 内有暗礁 海轮由西向东航行 望见这岛在 北偏东 60 航行 6n mile 以后 望见这岛在北偏东 30 如果这艘海轮不改变航向继续 前行 则经过 n mile 后海轮会触礁 考点 正弦定理 余弦定理 专题 解三角形 分析 由题意可得 ACB 30 CD 6n ADB 60 ACD 为等腰三角形 由此求得 AD CD 6n 由此求得小岛 A 到直线 CD 的 距离 AB 的值 可得此值小于 4n 设海轮继续沿方向航行到点 E 处触礁 求得 AE 和 BE BD 可得 DE BD BE 的值 而 DE 的值即为所求 解答 解 如图所示 设小岛为点 A 海轮由西 C 向东 D 航行 由题意额可得 ACB 30 CD 6n ADB 60 由于 ADB ACB CAD CAD 30 故 ACD 为等腰三角形 AD CD 6n 由于小岛 A 到直线 CD 的距离 AB AD sin ADB 6n 3n 4n 设海轮继续沿方向航行到点 E 处触礁 则 AE 4n BE n 由于 BD AD cos ADB 6n 3n 故有 DE BD BE 3n n mile 故答案为 3 10 点评 本题主要考查了三角形的计算 一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形 的计算 计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路 属于中档题 16 5 分 2012 盐城三模 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 2 直线 l x y 4 0 点 B x y 是圆 C x2 y2 2x 1 0 的动点 AD l BE l 垂足分别为 D E 则线段 DE 的最大值是 考点 直线和圆的方程的应用 专题 计算题 分析 线段 DE 的最大值等于圆心 1 0 到直线 AD x y 2 0 的距离加半径 由此可得 结论 解答 解 圆 C x2 y2 2x 1 0 的圆心坐标为 1 0 半径为 根据题意 线段 DE 的最大值等于圆心 1 0 到直线 AD x y 2 0 的距离加半径 圆心 1 0 到直线 AD x y 2 0 的距离为 线段 DE 的最大值为 故答案为 点评 本题考查直线与圆的方程的应用 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题 17 5 分 在如图所示的数表中 第 i 行第 j 列的数记为 ai j 且满足 a1 j 2j 1 ai 1 i ai 1 j 1 ai j ai 1 j i j N 又记第 3 行的数 3 5 8 13 22 39 为数列 bn 则 此数表中的第 2 行第 8 列的数为 129 数列 bn 的通项公式为 bn 2n 1 n 1 考点 数列的函数特性 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 11 专题 等差数列与等比数列 分析 由题意可得 a2 j a1 j 1 故有 a2 8 a1 7 a2 7 a1 7 a1 7 1 运算求得结果 由题意可得 b1 3 b2 b1 2 b3 b2 2 1 b4 b3 22 1 b5 b4 23 1 b6 b5 24 1 bn bn 1 2n 2 1 累加 利用等比数列的求和公式可得数列 bn 的通项公式 解答 解 由题意可得 a2 j a1 j 1 故有 a2 8 a1 7 a2 7 a1 7 a1 7 1 2 26 1 129 故答案为 129 由题意可得 b1 3 b2 5 当 n 3 时 bn 2n 2 1 bn 1 即 bn bn 1 2n 2 1 由 b1 3 b2 b1 2 b3 b2 2 1 b4 b3 22 1 b5 b4 23 1 b6 b5 24 1 bn bn 1 2n 2 1 累加可得 bn 3 2 2 1 22 1 23 1 24 1 2n 2 1 5 2 22 23 2n 2 n 2 1 n 3 2n 1 n 1 故答案为 bn 2n 1 n 1 点评 本题主要考查数列的函数特性 等比数列的通项公式 等比数列的前 n 项和公式的 应用 用累加法进行求和 属于 中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 6565 分分 解答应写出文字证明 证明过程或演算步骤解答应写出文字证明 证明过程或演算步骤 18 12 分 2011 湖南模拟 已知在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 所对的边 向 量 1 求角 A 的大小 2 若 a 3 求 ABC 面积的最大值 考点 三角形中的几何计算 专题 计算题 分类讨论 分析 1 利用题设 的表达式利用两角和公式化简整理求得 sinA 的值 进而求得 A 2 利用余弦定理根据 1 中 A 的值求得 bc 的最大值 进而利用三角形面积公式 求得面积的最大值 解答 解 1 cosAcosB sinAsinB 又 sinB cos A B 或 2 a2 b2 c2 2bccosA 12 当时 b2 c2 bc 9 bc 当时 9 b2 c2 bc 3bc 故 bc 3 点评 本题主要考查了三角形的几何计算 考查了学生对三角函数基础知识的熟练掌握 19 12 分 2009 福建 如图 平行四边形 ABCD 中 DAB 60 AB 2 AD 4 将 CBD 沿 BD 折起到 EBD 的位置 使平面 EDB 平面 ABD I 求证 AB DE 求三棱锥 E ABD 的侧面积 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 空间中直线与直线之间的位置关系 专题 计算题 证明题 分析 I 要证 AB DE 容易推出 AB BD 可证明 AB 平面 EBD 即可 求三棱锥 E ABD 的侧面积 需要求出三个侧面三角形的面积即可 解答 解 I 证明 在 ABD 中 AB 2 AD 4 DAB 60 AB2 BD2 AD2 AB DB 又 平面 EBD 平面 ABD 平面 EBD 平面 ABD BD AB 平面 ABD AB 平面 EBD DE 平面 EBD AB DE 解 由 I 知 AB BD CD AB CD BD 从而 DE DB 在 Rt DBE 中 DE DC AB 2 又 AB 平面 EBD BE 平面 EBD AB BE BE BC AD 4 DE BD 平面 EBD 平面 ABD ED 平面 ABD 13 而 AD 平面 ABD ED AD 综上 三棱锥 E ABD 的侧面积 点评 本题考查棱锥的侧面积 直线和直线的垂直 是中档题 20 13 分 已知数列 an 的首项 a1 t 0 n 1 2 1 若 求证是等比数列并求出 an 的通项公式 2 若 an 1 an对一切 n N 都成立 求 t 的取值范围 考点 数列递推式 数列的函数特性 等比关系的确定 专题 综合题 分析 1 根据条件取倒数 再作变形 即可证得数列是首项为 公比为 的 等比数列 从而可求数列的通项公式 即可求 an 的通项公式 2 由知 an 0 故 an 1 an得 根据数列 的通项公式 可得不等式 从而可求 t 的取值范围 解答 1 证明 由题意知 an 0 4 分 14 数列是首项为 公比为 的等比数列 5 分 8 分 2 解 由 1 知 10 分 由知 an 0 故 an 1 an得 11 分 即 又 t 0 则 0 t 1 14 分 点评 本题以数列的递推式为载体 考查构造法证明等比数列 考查数列的通项 考查不 等式知识 解题的关键是取倒数 构造新数列 21 14 分 已知椭圆的中心是坐标原点 O 焦点在 x 轴上 离心率为 又椭圆上任一 点到两焦点的距离和为 过点 M 0 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P Q 两 点 1 求椭圆的方程 2 在 y 轴上是否存在定点 N 使以 PQ 为直径的圆恒过这个点 若存在 求出 N 的坐标 若不存在 说明理由 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 专题 综合题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 由椭圆定义可知 2a 由此可得 a 值 再由离心率可得 c 值 由 a2 b2 c2 可求 b 值 2 设 l 的方程为 y kx P x1 y1 Q x2 y2 假设在 y 轴上存在定点 N 0 m 满足题设 则对于任意的 k R 0 恒成立 联立直线 l 与椭圆方 程 消掉 y 得 x 的方程 由韦达定理及向量的数量积运算可把 0 化为关于 k 的恒等式 从而可得 m 的方程组 解出即可 解答 解 1 因为离心率为 又 2a a c 1 故 b 1 故椭圆的方程为 15 2 设 l 的方程为 y kx 由得 2k2 1 x2 kx 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2 x1 x2 假设在 y 轴上存在定点 N 0 m 满足题设 则 x1x2 y1 m y2 m x1x2 y1y2 m y1 y2 m2 x1x2 kx1 kx2 m kx1 kx2 m2 k2 1 x1x2 k m x1 x2 m2 m k m m2 m 由假设得对于任意的 k R 0 恒成立 即 解得 m 1 因此 在 y 轴上存在定点 N 使得以 PQ 为直径的圆恒过这个点 点 N 的坐标为 0 1 点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解 考查向量的有关运算 考 查学生分析解决问题的能力 22 14 分 已知函数 f x ex g x lnx h x kx b 1 当 b 0 时 若对 x 0 均有 f x h x g x 成立 求实数 k 的取 值范围 2