湖北省仙桃市沔州中学2013届高三数学第三次考试试题 理（含解析）新人教A版

1 湖北省仙桃市沔州中学湖北省仙桃市沔州中学 20132013 届届高三第三次考试高三第三次考试 数学试卷 理科 数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 每题小题 每题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 是符合题目要求的 1 5 分 2012 陕西 集合 M x lgx 0 N x x2 4 则 M N A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 考点 对数函数的单调性与特殊点 交集及其运算 专题 计算题 分析 先求出集合 M N 再利用两个集合的交集的定义求出 M N 解答 解 M x lgx 0 x x 1 N x x2 4 x 2 x 2 M N x 1 x 2 故选 C 点评 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点 两个集合的交集的定义和求法 属于基 础题 2 5 分 2012 湖南 命题 若 则 tan 1 的逆否命题是 A 若 则 tan 1 B 若 则 tan 1 C 若 tan 1 则 D 若 tan 1 则 考点 四种命题 专题 应用题 分析 首先否定原命题的题设做逆否命题的结论 再否定原命题的结论做逆否命题的题设 写出新命题就得到原命题的逆否命题 解答 解 命题 若 则 tan 1 的逆否命题为 若 tan 1 则 故选 C 点评 考查四种命题的相互转化 命题的逆否命题是对题设与结论分别进行否定且交换特 殊与结论的位置 本题是一个基础题 3 5 分 2012 陕西 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 A y x 1B y x2C D y x x 2 考点 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明 专题 探究型 分析 对于 A 非奇非偶 对于 B 是偶函数 对于 C 是奇函数 但不是增函数 对于 D 令 f x x x 可判断函数既是奇函数又是增函数 故 可得结论 解答 解 对于 A 非奇非偶 是 R 上的增函数 不符合题意 对于 B 是偶函数 不符合题意 对于 C 是奇函数 但不是增函数 对于 D 令 f x x x f x x x f x f x x x 函数是增函数 故选 D 点评 本题考查函数的性质 考查函数的奇偶性与单调性的判断 属于基础题 4 5 分 2012 重庆 设 x y R 向量 x 1 1 y 2 4 且 则 A B C D 10 考点 数量积判断两个平面向量的垂直关系 向量的模 平面向量共线 平行 的坐标表 示 专题 计算题 分析 由两个向量垂直的性质可得 2x 4 0 由两个向量共线的性质可得 4 2y 0 由此 求出 x 2 y 2 以及的坐标 从而求得 的值 解答 解 向量 x 1 1 y 2 4 且 则有 2x 4 0 4 2y 0 解得 x 2 y 2 故 3 1 故有 故选 B 点评 本题主要考查两个向量共线的性质 两个向量垂直的性质 两个向量坐标形式的运 算 属于基础题 5 5 分 若 则的值是 A B C D 3 考点 两角和与差的正切函数 专题 计算题 分析 注意到 sin 与 cos 之间的关系 sin2 cos2 1 便得出方程组 解这个关于 sin 与 cos 的 2 元 2 次方程组 求得 sin 与 cos 再得 tan 最后利用和 角公式求得的值 解答 解 sin2 cos2 1 便得出方程组 解这个关于 sin 与 cos 的 2 元 2 次方程组 所以 tan 1 故有 答案 B 点评 本题考查三角变换 解题的关键是联想公式的特点与结构 进行代换 从而转化为 特殊角的三角函数 求出三角函数的值 6 5 分 2013 东至县一模 函数 f x Asin x 其中 的 图象如图所示 为了得到 g x sin2x 的图象 则只需将 f x 的图象 A 向右平移个长度单位 B 向右平移个长度单位 C 向左平移个长度单位 D 向左平移个长度单位 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 专题 计算题 数形结合 分析 由已知中函数 f x Asin x 的图象 我们易分析出函数的周期 最值 进 而求出函数 f x Asin x 的解析式 设出平移量 a 后 根据平移法则 我 们可以构造一个关于平移量 a 的方程 解方程即可得到结论 4 解答 解 由已知中函数 f x Asin x 其中 的图象 过 0 点 点 易得 A 1 T 4 即 2 即 f x sin 2x 将 点代入得 2k k Z 又由 f x sin 2x 设将函数 f x 的图象向左平移 a 个单位得到函数 g x sin2x 的图象 则 2 x a 2x 解得 a 故将函数 f x 的图象向右平移个长度单位得到函数 g x sin2x 的图象 故选 A 点评 本题考查的知识点是由函数 f x Asin x 的图象确定其中解析式 函数 f x Asin x 的图象变换 其中根据已知中函数 f x Asin x 的图象 求出函数 f x Asin x 的解析式 是解答本题的关键 7 5 分 2012 黑龙江 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则 a1 a10 A 7B 5C 5D 7 考点 等比数列的性质 等比数列的通项公式 专题 计算题 分析 由 a4 a7 2 及 a5a6 a4a7 8 可求 a4 a7 进而可求公比 q 代入等比数列的通项可 求 a1 a10 即可 解答 解 a4 a7 2 由等比数列的性质可得 a5a6 a4a7 8 a4 4 a7 2 或 a4 2 a7 4 当 a4 4 a7 2 时 a1 8 a10 1 a1 a10 7 当 a4 2 a7 4 时 q3 2 则 a10 8 a1 1 a1 a10 7 5 综上可得 a1 a10 7 故选 D 点评 本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用 考查了基本运算的能力 8 5 分 已知函数 y f x 的周期为 2 当 x 0 2 时 f x x 1 2 如果 g x f x log5 x 1 则函数 y g x 的所有零点的个数是 A 2B 4C 6D 8 考点 函数的周期性 根的存在性及根的个数判断 专题 计算题 压轴题 函数的性质及应用 分析 先根据函数的周期性画出函数 y f x 的图象 以及 y log5 x 1 的图象 结合图 象可得当 x 6 时 y log5 x 1 1 此时与函数 y f x 无交点 再根据 y log5 x 1 的图象关于直线 x 1 对称 结合图象即可判定函数 g x f x log5 x 1 的零点个数 解答 解 由题意可得 g x f x log5 x 1 根据周期性画出函数 f x x 1 2的图象 以及 y log5 x 1 的图象 根据 y log5 x 1 在 1 上单调递增函数 当 x 6 时 log5 x 1 1 当 x 6 时 y log5 x 1 1 此时与函数 y f x 无交点 再根据 y log5 x 1 的图象和 f x 的图象都关于直线 x 1 对称 结合图象可知有 8 个交点 则函数 g x f x log5 x 1 的零点个数为 8 故选 D 点评 本题考查函数的零点 求解本题 关键是研究出函数 f x 性质 作出其图象 将 函数 g x f x log5x 的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本 题中的一个亮点 此一转化使得本题的求解变得较容易 属于中档题 9 5 分 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a5 5 S5 15 则数列的前 100 项和为 6 A B C D 考点 数列的求和 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 由等差数列的通项公式及求和公式 结合已知可求 a1 d 进而可求 an 代入可得 裂项可求和 解答 解 设等差数列的公差为 d 由题意可得 解方程可得 d 1 a1 1 由等差数列的通项公式可得 an a1 n 1 d 1 n 1 1 n 1 故选 A 点评 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用 及数列求和的裂项求和方 法的应用 属于基础试题 10 5 分 2012 上海 设 an sin Sn a1 a2 an 在 S1 S2 S100中 正数的 个数是 A 25B 50C 75D 100 考点 数列的求和 三角函数的周期性及其求法 专题 计算题 压轴题 分析 由于 f n sin的周期 T 50 由正弦函数性质可知 a1 a2 a24 0 a26 a27 a49 0 f n 单调递减 a25 0 a26 a50都 为负数 但是 a25 a1 a26 a2 a49 a24 从而可判断 解答 解 由于 f n sin的周期 T 50 由正弦函数性质可知 a1 a2 a24 0 a25 0 a26 a27 a49 0 a50 0 7 且 sin sin 但是 f n 单调递减 a26 a50都为负数 但是 a25 a1 a26 a2 a49 a24 S1 S2 S25中都为正 而 s26 s27 s50都为正 同理 S1 S2 s75都为正 S1 S2 s75 s100都为正 故选 D 点评 本题主要考查了三角函数的周期的应用 数列求和的应用 解题的关键是正弦函数 性质的灵活应用 二 填空题 共二 填空题 共 2525 分 分 选做题 选做题 1515 1616 题为选做题 若两题都答 则按第题为选做题 若两题都答 则按第 1515 题给分 题给分 11 5 分 2012 江苏 函数 f x 的定义域为 0 考点 对数函数的定义域 专题 计算题 分析 根据开偶次方被开方数要大于等于 0 真数要大于 0 得到不等式组 根据对数的单 调性解出不等式的解集 得到结果 解答 解 函数 f x 要满足 1 2 0 且 x 0 x 0 x 0 x 0 0 故答案为 0 点评 本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次方时 被开方数要不小于 0 真数要大于 0 分母不等于 0 0 次方的底数不等于 0 这种 题目的运算量不大 是基础题 12 5 分 在 ABC 中 已知 a b c 分别为角 A B C 所对的边 S 为 ABC 的面积 若 向量 4 a2 b2 c2 满足 则 C 考点 余弦定理 平行向量与共线向量 专题 计算题 分析 通过向量的平行的坐标运算 求出 S 的表达式 利用余弦定理以及三角形面积 求 出 C 的正切值 得到 C 的值即可 8 解答 解 由 得 4S a2 b2 c2 则 S a2 b2 c2 由余弦定理得 cosC 所以 S 又由三角形的面积公式得 S 所以 所以 tanC 又 C 0 所以 C 故答案为 点评 本题考查向量的平行 三角形的面积公式以及余弦定理的应用 考查计算能力 13 5 分 2012 辽宁 已知等比数列 an 为递增数列 且 则数列 an的通项公式 an 2n 考点 数列递推式 专题 计算题 分析 通过 求出等比数列的首项与公比的关系 通过 2 an an 2 5an 1求出公 比 推出数列的通项公式即可 解答 解 a1 q 2 an an 2 5an 1 2 1 q2 5q 解得 q 2 或 q 等比数列 an 为递增数列 舍去 故答案为 2n 点评 本题主要考查等比数列的通项公式 转化思想和逻辑推理能力 属于中档题 9 14 5 分 已知集合 U 1 2 3 4 5 6 对于集合 A U 定义 S A 为 A 中所有元 素之和 则全体 S A 的总和 S 672 考点 集合的包含关系判断及应用 专题 计算题 分析 根据已知可以计算出含 1 2 3 4 5 6 的满足条件的 A 均有 25 32 个 即 S A 的实际是把 1 2 3 4 5 6 的和重复累 加 32 次 进而可得答案 解答 解 U 1 2 3 4 5 6 A U 则含 1 的满足条件的 A 共有 25 32 个 同理含 2 3 4 5 6 的满足条件的 A 也有 32 个 故 S A 32 1 2 3 4 5 6 32 21 672 故答案为 672 点评 本题考查的知识点是集合的子集 其中正确理解 S A 的意义是解答的关键 15 5 分 2010 江苏 已知函数 则满足不等式 f 1 x2 f 2x 的 x 的范围是 1 1 考点 分段函数的解析式求法及其图象的作法 其他不等式的解法 专题 压轴题 分析 由题意 f x 在 0 上是增函数 而 x 0 时 f x 1 故满足不等式 f 1 x2 f 2x 的 x 需满足 解出 x 即可 解答 解 由题意 可得 故答案为 点评 本题考查分段函数的单调性 利用单调性解不等式 考查利用所学知识分析问题解 决问题的能力 16 2012 江苏 设 a 为锐角 若 cos a 则 sin 2a 的值为 考点 三角函数中的恒等变换应用 两角和与差的余弦函数 两角和与差的正弦函数 二 10 倍角的正弦 专题 计算题 压轴题 分析 根据 a 为锐角 cos a 为正数 可得 a 也是锐角 利用平方关系可得 sin a 接下来配角 得到 cosa sina 再用二倍角公 式可得 sin2a cos2a 最后用两角和的正弦公式得到 sin 2a sin2acos cosasin 解答 解 a 为锐角 cos a a 也是锐角 且 sin a cosa cos a cos sin sina sin a cos sin 由此可得 sin2a 2sinacosa cos2a cos2a sin2a 又 sin sin cos cos sin 2a sin2acos cosasin 故答案为 点评 本题要我们在已知锐角 a 的余弦值的情况下 求 2a 的正弦值 着重考查了两 角和与差的正弦 余弦公式和二倍角的正弦 余弦等公式 考查了三角函数中的恒 等变换应用 属于中档题 三 解答题 共三 解答题 共 7575 分 分 17 12 分 已知函数 f x 2sinxcosx 2cos2x x R 求函数 f x 的最小正周期 当时 求函数 f x 的取值范围 考点 三角函数的周期性及其求法 正弦函数的定义域和值域 专题 计算题 11 分析 利用二倍角公式 两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形 式 然后求函数 f x 的最小正周期 当时 推出 结合正弦函数的最值 求函数 f x 的取值范围 解答 解 因为 f x sin2x cos2x 1 所以 7 分 当时 所以当 当 f x min 2 所以 f x 的取值范围是 13 分 点评 本题是基础题 考查三角函数的化简求值 二倍角公式 两角差的正弦函数公式等 知识 考查计算能力 18 12 分 如图平面四边形 ABCD 中 AB AD a BC CD BD 设 BAD I 将四边形 ABCD 的面积 S 表示为 的函数 II 求四边形 ABCD 面积 S 的最大值及此时 值 考点 解三角形 专题 应用题 三角函数的图像与性质 解三角形 分析 I 在 BAD 中 由余弦定理求 BD 从而可求四边形 ABCD 的面积 II 将四边形的面积化简 确定角的范围 利用三角函数的图象 即可求得四边 形 ABCD 面积 S 的最大值 解答 解 I 在 BAD 中 由余弦定理可得 四边形 ABCD 的面积 S 2a2 1 cos a2 12 a2sin 0 II 0 sin 1 当且仅当 即时 sin 取得最大值 1 四边形 ABCD 面积 S 的最大值为 a2 此时 点评 本题考查三角函数知识 考查余弦定理的运用 考查三角函数的性质 属于中档 题 19 12 分 2012 海淀区二模 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 公差 d 0 S5 4a3 6a 且 a1 a3 a9成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 的前 n 项和公式 考点 等差数列与等比数列的综合 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 1 利用 S5 4a3 6a 且 a1 a3 a9成等比数列 建立方程 可求数列的首项与公 差 即可得到数列 an 的通项公式 2 利用裂项法 即可求数列 的前 n 项和公式 解答 解 1 因为 S5 4a3 6 所以 5a1 10d 4 a1 2d 6 3 分 因为 a1 a3 a9成等比数列 所以 a1 a1 8d a1 2d 2 5 分 由 及 d 0 可得 a1 2 d 2 6 分 所以 an 2n 7 分 2 由 an 2n 可知 Sn n2 n 9 分 所以 11 分 所以数列 的前 n 项和为 1 13 分 点评 本题考查等差数列的通项公式 等比数列的性质 考查裂项法求数列的和 属于中 档题 20 12 分 2012 广东 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 且 a1 a2 5 a3成等差数列 13 1 求 a1的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 考点 数列与不等式的综合 等差数列的性质 数列递推式 专题 计算题 证明题 综合题 分析 1 在 2Sn an 1 2n 1 1 中 令分别令 n 1 2 可求得 a2 2a1 3 a3 6a1 13 又 a1 a2 5 a3成等差数列 从而可求得 a1 2 由 2Sn an 1 2n 1 1 得 an 2 3an 1 2n 1 an 1 3an 2n 由 可知 an 2n 为首项是 3 3 为公比的等比数 列 从而可求 an 3 法一 由 an 3n 2n 3 2 3n 1 3n 2 2 3n 3 22 2n 1 3n 1可得 累加后利用等比数列的求和公式可证得结论 法二 由 an 1 3n 1 2n 1 2 3n 2n 1 2an可得 于是当 n 2 时 累乘得 从而可证得 解答 解 1 在 2Sn an 1 2n 1 1 中 令 n 1 得 2S1 a2 22 1 令 n 2 得 2S2 a3 23 1 解得 a2 2a1 3 a3 6a1 13 又 2 a2 5 a1 a3 解得 a1 1 2 由 2Sn an 1 2n 1 1 得 an 2 3an 1 2n 1 又 a1 1 a2 5 也满足 a2 3a1 21 所以 an 1 3an 2n对 n N 成立 an 1 2n 1 3 an 2n 又 a1 1 a1 21 3 an 2n 3n an 3n 2n 3 法一 an 3n 2n 3 2 3n 1 3n 2 2 3n 3 22 2n 1 3n 1 14 1 法二 an 1 3n 1 2n 1 2 3n 2n 1 2an 当 n 2 时 累乘得 1 点评 本题考查数列与不等式的综合 考查数列递推式 着重考查等比数列的求和 着重 考查放缩法的应用 综合性强 运算量大 属于难题 21 13 分 时下 网校教学越来越受到广大学生的喜爱 它已经成为学生们课外学习的 一种趋势 假设某网校的套题每日的销售量 y 单位 千套 与销售价格 x 单位 元 套 满足的关系式 其中 2 x 6 m 为常数 已知销售价格为 4 元 套 时 每日可售出套题 21 千套 1 求 m 的值 2 假设网校的员工工资 办公等所有开销折合为每套题 2 元 只考虑销售出的套数 试确定销售价格 x 的值 使网校每日销售套题所获得的利润最大 保留 1 位小数 考 点 导数在最大值 最小值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 利用导数求闭区间 上函数的最值 专 题 应用题 导数的综合应用 分 析 1 利用销售价格为 4 元 套时 每日可售出套题 21 千套 代入关系式 即可求得 m 的值 2 确定每日销售套题所获得的利润 利用导数的方法求最值 从而可得销售价格 x 的值 解 答 解 1 因为销售价格为 4 元 套时 每日可售出套题 21 千套 所以 x 4 时 y 21 代入关系式 得 解得 m 10 15 2 由 1 可知 套题每日的销售量 所以每日销售套题所获得