第二章随机变量及其分布小结与复习

复习课复习课 随机变量及其分布列随机变量及其分布列 教学目标教学目标 重点 理解随机变量及其分布的概念 期望与方差等的概念 超几何分布 二项分布 正态分布等的特 点 会求条件概率 相互独立事件的概率 独立重复试验的概率等 难点 理清事件之间的关系 并用其解决一些具体的实际问题 能力点 分类整合的能力 运算求解能力 分析问题解决问题的能力 教育点 提高学生的认知水平 为学生塑造良好的数学认识结构 自主探究点 例题及变式的解题思路的探寻 易错点 容易出现事件之间的关系混乱 没能理解问题的实际意义 学法与教具学法与教具 1 学法 讲授法 讨论法 2 教具 投影仪 一 一 知识结构知识结构 二 二 知识梳理知识梳理 1 1 随机变量 随机变量 随机变量定义 在随机试验中 使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示 在这个对应关系下 数 字随着试验结果的变化而变化 像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 简单说 随机试 验的结果可以用一个变量来表示 那么这样的变量叫做随机变量 常用希腊字母 等表xy 示 如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出 可以是无限个 这样的随机变量叫做离散型随机变量 如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值 这样的随机变量叫做连续型随机变量 2 2 概率分布定义 分布列 概率分布定义 分布列 设离散型随机变量可能取的值为 取每一个值的概率 123 i xxxx 1 2 i x i 则称表 ii Pxp 1 x 2 x i x P 1 P 2 P i P 称为随机变量的概率分布列 简称的分布列 注 1 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 1 0 1 2 3 i pi 123 2 1ppp 3 3 常见的分布列常见的分布列 二项分布 在一次试验中某事件发生的概率是 那么在次独立重复试验中这个事件恰发生次的pnk 概率为 显然是一个随机变量 随机变量的概率分布如下 1 kkn k n p XkC pp xx x01 k n P 00n n C p q 111n n C p q kkn k n C p q 0nn n C p q 我们称这样的随机变量服从二项分布 记作x XB n p 两点分布列 如果随机变量的分布列为 0 1 P1P P 这样的分布列称为两点分布列 称随机变量 服从两点分布 而称为成功概率 两点分布是特 1 pP 殊的二项分布 1 p 超几何分布 一般地 在含有件次品的件产品中 任取件 其中恰有件次品数 则事件MNnx 发生的概率为 其中 且 xk 0 1 2 3 kN k MN M n N C C P Xkkm C min mM n 则称分布列 nN MN n M NN x01 m P 00n MN M n N C C C 11n MN M n N C C C mn m MN M n N C C C 为超几何分布列 如果随机变量的分布列为超几何分布列 则称随机变量服从超几何分布 xx 4 4 条件概率条件概率 一般地 设为两个事件 且 称 为在事件发生的条件下 事件发 A B 0P A P AB P B A P A AB 生的条件概率 注意 0 P B A 1 可加性 如果互斥 那么BC和 和 PBCAP B AP C A 5 5 相互独立事件的概率相互独立事件的概率 相互独立事件的定义 设两个事件 即事件是否发生对事件发生的概率没有影响 则称事 A B P ABP A P B 若AB 件与事件相互独立 AB 若事件与相互独立 则以下三对事件也相互独立 ABAB与 与 AB AB与 列表比较区别互斥事件相互独立事件 定义不可能同时发生的两个事件 事件是否发生对事件发生的概率没AB 有影响 概率公式 P ABP AP B P A BP AP B 解决概率问题的一个关键 分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件 次独立重复试验 n 一般地 在相同条件下 重复做的次试验称为次独立重复试验 nn 在次独立重复试验中 记是 第 次试验的结果 n i Ai 显然 12 n P A AA 12 n P A P AP A 重要结论 结论 1 则 若ab EaEb 2 Da D 结论 2 若 则 B n p EnP 1 Dnpp 特别地 若服从两点分布 则 1 EP Dpp 6 6 正态分布正态分布 正态分布密度曲线 分别表示总体的平均数与标 2 2 2 1 2 x xex 0 准差 这个总体是有无限容量的抽象总体 其分布叫做正态分布 正态分布完全由参数和确定 因此正态分布常记作 如果随机变量服从正态分布 则记为 2 N 2 N 正态曲线有以下特点 曲线在轴的上方 与轴不相交 xx 曲线是单峰的 图像关于直线对称 x 曲线在处达峰值 x 2 1 曲线与轴之间的面积为 x1 若固定 随值的变化而沿轴平移 故称为位置参数 x 当一定时 曲线的形状由确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 越小 曲 线越 瘦高 表示总体的分布越集中 故称为形状参数 3 原则 0 6826PX 22 0 9544PX 33 0 9974PX 三 三 范例导航范例导航 考点考点 条件概率条件概率1 例 在道题中有道理科题和道文科题 如果不放回地依次抽取道题 求 15322 第 次抽到理科题的概率 1 第 次和第次都抽到理科题的概率 12 在第 次抽到理科题的条件下 第次抽到理科题的概率 12 分析 解决概率问题要注意 三个步骤 一个结合 求概率的步骤是 第一步 确定事件性质 第二步 判断事件的运算 第三步 运用公式 概率问题常常与排列 组合知识相结合 解答 设 第 次抽到理科题 为事件 第次抽到理科题 为事件 则 第 次和第次都1A2B12 抽到理科题 为事件 AB 从道题中不放回地依次抽取道题的事件数为 根据分步乘法计数原理52 2 5 20nA 于是 11 34 12n AAA 123 205 n A P A n 因为 所以 2 3 6n ABA 63 2010 n AB P AB n 法一 由 可得在第 次抽到理科题的条件下 第次抽到理科题的概率为 12 3 1 5 3 2 10 P AB P B A P A 法二 因为 所以 2 3 6n ABA 11 34 12n AAA 61 122 n AB P B A n A 点评 条件概率通常有两种求法 一定义法 二古典法 P AB P B A P A n AB P B A n A 变式训练 某校在组织自主招生考试时 需要进行自荐 考试和面试三关 规定三项都合格者才能录取 假定每个项 目相互独立 学生每个项目合格的概率组成一个公差为的等差数列 且第一个项目不符合格的概率A 1 8 超过 第一个项目不合格但第二个项目合格的概率为 1 2 9 32 求学生被录取的概率 A 求学生合格的项目数的分布列和数学期望 Ax 答案 3 64 15291739 0123 646464648 E x x0123 P 15 64 29 64 17 64 3 64 考点考点 相互独立事件的概率相互独立事件的概率2 例 甲 乙 丙三台机床各自独立加工同一种零件 甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件2 不是一等品的概率为 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 甲丙 1 4 1 12 两台机床加工的零件都是一等品的概率为 2 9 分别求出甲 乙 丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率 从甲 乙 丙加工的零件中各取一个检验 求至少有一个一等品的概率 分析 求相互独立事件一般与互斥事件 对立事件结合在一起进行考查 解答此类问题时应分清事件1 间的内部联系 在此基础上用基本事件之间的交 并 补运算表示出有关事件 并运用相应公式求解 特别注意以下两公式的使用前提 2 若互斥 则 反之不成立 A B P ABP AP B 若相互独立 则 反之成立 A B P ABP AP B 解答 设分别为甲 乙 丙三台机床各自独立加工同一种零件是一等品的事件 依题意得 A B C 得 1 1 4 1 1 12 2 9 P ABP AP B P BCP BP C P ACP AP C 2 27 51 220P CP C 解得 所以 211 39 或 舍 P CP C 211 343 P CP BP A 即甲 乙 丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为 1 1 2 3 4 3 记为从甲 乙 丙加工的零件中各取一个检验 至少有一个一等品的事件 D 2315 1 1 1 1 1 1 3436 P DP DP CP BP A 即从甲 乙 丙加工的零件中各取一个检验 至少有一个一等品的概率为 5 6 点评 主要考查相互独立事件的概率及正难则反的原则分析解决问题的能力 解答此类问题时应分清 事件间的内部联系 在此基础上用基本事件之间的交 并 补运算表示出有关事件 并运用相应公式求 解 变式训练 某地最近出台一项机动车驾照考试规定 每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会 一旦某次考 试通过 使可领取驾照 不再参加以后的考试 否则就一直考到第 4 次为止 如果李明决定参加驾照考 试 设他每次参加考试通过的概率依次为 0 6 0 7 0 8 0 9 求在一年内李明参加驾照考试次数的分 布列 并求李明在一年内领到驾照的概率 答案 李明在一年内领到驾照的概率为 1 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 0 9976 考点考点 离散型随机变量的分布列 均值与方差离散型随机变量的分布列 均值与方差3 例 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队获胜33 的概率是外 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互独立 1 2 2 3 分别求甲队以 胜利的概率 3 03 13 2 若比赛结果为求或 则胜利方得分 对方得分 若比赛结果为 则胜利方得分 对3 03 1303 22 方得 分 求乙队得分的分布列及数学期望 1x 年山东高考理科题年山东高考理科题 201319 分析 离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种 超几何分布与二项分布 由于这两种分布1 列在生活中应用较为广泛 故在高考中对该知识点的考查相对较灵活 常与期望 方差融合在一起 横 向考查 对于分布列的求法 其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法 计算时可能会用到等2 可能事件 互斥事件 相互独立事件的概率公式等 均值与方差都是随机变量重要的数字特征 方差是3 建立在均值这一概念之上的 它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度 二者联系 密切 在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义 因此在当前的高考中是一个热点问题 解答 33 13 28 327 pC 22 23 21 28 33 327 pC 222 34 2114 33227 pC 由题意可知的可能取值为 相应的概率依次为 x3210 14416 9 27 27 27 x3210 P 1 9 4 27 4 27 16 27 144167 3210 92727279 E x 点评 本题考查相互独立事件的概率 二项分布 离散型随机变量的概率分布与数学期望等基础知识 考查分类与整合的思想 考查运算求解能力 考查分析问题和解决问题的能力 变式训练 某地区试行高考考试改革 在高三学年中举行次统一测试 学生如果通过其中次测试即可获得足够学52 分升上大学继续学习 不用参加其余的测试 而每个学生最多也只能参加次测试 假设某学生每次通过5 测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当 每次测试通过与否互相独立 1 3 求该学生考上大学的概率 如果考上大学或参加完次测试就结束 记该生参加测试的次数为 求的分布列及的数学期望 5xxx 答案 131 243 1441638 2345 92727279 E x 考点考点 正态分布正态分布4 例 某市去年高考考生成绩服从正态分布 现有名考生 试确定考生成绩在4 2 500 50 N25000 分的人数 550600 分析 正态密度曲线恰好关于参数对称 因此充分利用该图形的对称性及个特殊区间内的概率值 3 来求解其他区间的概率值 是一种非常简捷的方式 也是近几年高考的一个新动向 本小题主要考查正 态密度函数及的应用 3 原则 解答 1 500600 5002 505002 50 5005050050 2 PxPXPX 1 0 95440 6826 0 1359 2 点评 正态分布是一种连续型随机变量的分布 是一种非常简捷的方式 应用较为广泛 也是近几年 高考的一个新动向 变式训练 若随机变量的概率分布密度函数是 则 x 22 8 1 2 2 x xexR 21 EX 答案 5 四 四 解法小结解法小结 离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种 超几何分布与二项分布 由于这两种分布列在生1 活中应用较为广泛 故在高考中对该知识点的考查相对较灵活 常与期望 方差融合在一起 横向考 查 对于分布列的求法 其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法 计算时可能会用到等可能事件 2 互斥事件 相互独立事件的概率公式等 均值与方差都是随机变量重要的数字特征 方差是建立在均值这一概念之上的 它表明了随机变量所3 取的值相对于它的均值的集中与离散程度 二者联系密切 在现实生产生活中特别是风险决策中有着重 要意义 因此在当前的高考中是一个热点问题 本章知识在高考中占有十分重要的地位 这是因为 一方面本章知识在实际生活中应用十分广泛 另4 一方面本章知识又是进一步学习高等数学知识的基础 从近几年高考试题来看 一般是一小 一个选择或 填空题 一大 一个解答题 属中档难度试题 主要考查概率的求法 随机变量的分布列 以及随机变量 的期望方差等问题 五 五 布置作业布置作业 必做题 必做题 袋中有大小相同的个编号为 的球 号球有 个 号球有个 号球有个 从袋中1 10123112m3n 依次摸出个球 已知在第一次摸出号球的前提下 再摸出一个号球的概率是 232 1 3 求 的值 mn 从袋中任意摸出个球 记得到小球的编号数之和为 求随机变量的分布列和数学期望 2 E 如图 两点之间有条网线并联 它们能通过的最大信息量分别为 现从中任取三条2 A B61 1 2 2 3 4 网线且使每条网线通过最大的信息量 设选取的三条网线由到可通过的信息总量为 ABx 当时 则保证信息畅通 求线路信息畅通的概率 6x 求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望 甲乙两队参加奥运知识竞赛 每队人 每人回答一个问题 答对者为本3 3 队赢得一分 答错得零分 假设甲队中每人答对的概率均为 乙队中人答对3 的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响 用表示甲队的总得分 求随机变量分布列和数学期望 用表示 甲 乙两个队总得分之和等于 这一事件 用表示 甲队总得分大于乙队总得分 这A3B