湖南省新化县第四中学高二数学《导数的变化率问题》教案 新人教A版

1 湖南省新化县第四中学高二数学湖南省新化县第四中学高二数学 导数的变化率问题导数的变化率问题 教案教案 新人教新人教 A A 版版 教学目标 1 理解平均变化率的概念 2 了解平均变化率的几何意义 3 会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点 平均变化率的概念 函数在某点处附近的平均变化率 教学难点 平均变化率的概念 教学过程 一 创设情景一 创设情景 为了描述现实世界中运动 过程等变化着的现象 在数学中引入了函数 随着对函数的研究 产生 了微积分 微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减 变化快 慢 最大 小 值等问题最一般 最有效 的工具 导数导数研究的问题即变化率问题变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二 新课讲授二 新课讲授 一 问题提出 一 问题提出 问题问题 1 1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加越来 越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 气球的体积V 单位 L 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 3 3 4 rrV 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数 那么 3 4 3 V Vr 分析分析 3 4 3 V Vr 1当 V 从 0 增加到 1 时 气球半径增加了 62 0 0 1 dmrr 气球的平均膨胀率膨胀率为 62 0 01 0 1 Ldm rr 2当 V 从 1 增加到 2 时 气球半径增加了 16 0 1 2 dmrr 气球的平均膨胀率膨胀率为 16 0 12 1 2 Ldm rr 可以看出 随着气球体积逐渐增大 它 的平均膨胀率逐渐变小了 思考 思考 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 12 12 VV VrVr 问题问题 2 2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关 系h t 4 9t2 6 5t 10 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 v 思考计算 和的平均速度5 00 t21 tv 2 在这段时间里 5 00 t 05 4 05 0 0 5 0 sm hh v 在这段时间里 21 t 2 8 12 1 2 sm hh v 探究 探究 计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考以下问题 49 65 0 t 运动员在这段时间内使静止的吗 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 探究过程 探究过程 如图是函数h t 4 9t2 6 5t 10 的图像 结合图形可知 0 49 65 hh 所以 0 0 49 65 0 49 65 ms hh v 虽然运动员在这段时间里的平均速度为 但实际情况是运动员仍然运动 并非静止 49 65 0 t 0ms 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 二 平均变化率概念 二 平均变化率概念 1 上述问题中的变化率可用式子 表示 称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 12 12 xx xfxf 2 若设 这里看作是对于x1的一个 增量 可用x1 代替x2 同 12 xxx 12 xfxff x x 样 12 xfxfyf 3 则平均变化率为 x f x y x xfxxf xx xfxf 11 12 12 思考 观察函数f x 的图象 平均变化率表示什么 x f 12 12 xx xfxf 直线直线ABAB的斜率的斜率 三 典例分析三 典例分析 例例 1 1 已知函数f x 的图象上的一点及临近一点 则xx 2 2 1 A 2 1 yxB x y x1x2 O f x1 x x2 x1 x 3 解 解 1 1 2 2 xxy x x xx x y 3 2 1 1 2 四 四 课堂练习课堂练习 1 质点运动规律为 则在时间中相应的平均速度为 3 2 ts 3 3 t 2 物体按照s t 3t2 t 4 的规律作直线运动 求在 4s附近的平均变化率 3 过曲线y f x x3上两点P 1 1