第二章不等式

课题课题 2 12 1 不等式的基本性质不等式的基本性质 教学目标教学目标 知识目标 知识目标 理解不等式的基本性质 了解不等式基本性质的应用 能力目标 能力目标 了解比较两个实数大小的方法 培养学生的数学思维能力和计算技能 教学重点教学重点 比较两个实数大小的方法 不等式的基本性质 教学难点教学难点 比较两个实数大小的方法 教学设计教学设计 1 以实例引入知识内容 提升学生的求知欲 2 抓住解不等式的知识载体 复习与新知识学习相结合 3 加强知识的巩固与练习 培养学生的思维能力 教学备品教学备品 教学课件 课时安排课时安排 1 课时 45 分钟 教学过程教学过程 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 揭示课题揭示课题 2 1 不等式的基本性质 创设情景创设情景 兴趣导入兴趣导入 问题 2006 年 7 月 12 日 在国际田联超级大奖赛洛桑站男子 110 米栏比赛中 我国百米跨栏运动员刘翔以 12 秒 88 的成绩 夺冠 并打破了尘封 13 年的世界记录 12 秒 91 为我国争得 介绍 播放 课件 了解 观看 课件 实例 导入 比较 两个 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 了荣誉 如何体现两个记录的差距 解决 通常利用观察两个数的差的符号 来比较它们的大 小 因为 12 88 12 91 0 03 0 所以得到结论 刘翔的成 绩比世界记录快了 0 03 秒 归纳 可以通过作差 来比较两个实数的大小 分析 讲解 互动 思考 实数 大小 的方 法 3 动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 概念 对于两个任意的实数 a 和 b 有 0abab 0abab 0abab 因此 比较两个实数的大小 只需要考察它们的差即 可 总结 归纳 理解 领悟 引导 学生 体会 作差 比较 法 6 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 例例 1 比较与的大小 2 3 5 8 解解 因此 2516151 0 382424 2 3 5 8 例例 2 当时 比较 与的大小 0ab 2 a b 2 ab 解解 因为 所以 故0ab 0ab 0ab 22 0a babab ab 因此 2 a b 2 ab 分析 讲解 说明 分析 引导 思考 互动 理解 领会 应用 知识 实践 方法 12 运用知识运用知识 强化练习强化练习 教材练习教材练习 2 1 1 比较下列各对实数的大小 1 与 2 与 4 7 5 9 3 151 63 巡视 辅导 解题 讨论 反馈 学习 效果 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 15 动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 不等式的基本性质不等式的基本性质 性质性质 1 1 如果 且 那么 不等式的传递性 ab bc ac 证明证明 于是0abab 0bcbc 因此 0acabbc ac 性质性质 2 2 如果 那么 ab acbc 性质性质 3 3 如果 那么 ab 0c acbc 如果 那么 ab 0c acbc 分析 讲解 归纳 互动 思考 理解 介绍 不等 式的 基本 性质 20 汇报展示汇报展示 交流巩固交流巩固 学生小组讨论活动 举例验证上述不等式的性质 倾听 引导 点拨 展示 交流 检验 知识 点的 掌握 30 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 例例 3 3 用符号 或 填空 并说出应用了不等式的哪 条性质 1 设 ab 3a 3b 2 设 ab 6a6b 3 设 ab 4a 4b 4 设 ab 52a 52b 解解 1 应用不等式性质 2 3a 3b 2 应用不等式性质 3 6a 6b 3 应用不等式性质 3 4a 4b 4 应用不等式性质 2 与性质 3 52a 52b 例例 4 4 已知 求证 0ab 0cd acbd 证明证明 因为 由不等式的性质 3 知 0ab c acbc 同理由于 故 0cd b bcbd 分析 思路 互动 求解 板书 过程 分析 讲解 观察 思考 思考 互动 求解 思考 理解 交由 学生 思考 巩固 知识 调动 学生 互动 学习 35 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 因此 由不等式的性质 1 知 acbd 运用知识运用知识 强化练习强化练习 教材练习教材练习 2 1 2 1 填空 1 设 则 36x x 2 设 则 151x x 2 已知 求证 ab cd acbd 巡视 指导 提问 独立 求解 交流 结果 反馈 学习 效果 40 归纳小结归纳小结 强化思想强化思想 本次课学了哪些内容 重点和难点各是什么 自我反思自我反思 目标检测目标检测 本次课采用了怎样的学习方法 你是如何进行学习的 你的学习效果如何 引导 提问 反思 交流 培养 学生 反思 学习 过程 能力 43 继续探索继续探索 活动探究活动探究 1 读书部分 教材章节 2 1 学习与训练 2 1 2 书面作业 教材习题 2 1 学习与训练 2 1 训练题 说明记录 45 课题课题 2 2 2 2 区间区间 教学目标教学目标 知识目标 知识目标 掌握区间的概念 用区间表示相关的集合 能力目标 能力目标 通过数形结合的学习过程 培养学生的观察能力和数学思维能力 教学重点教学重点 区间的概念 教学难点教学难点 区间端点的取舍 教学设计教学设计 实例引入知识 提升学生的求知欲 数形结合 提升认识 通过知识的巩固与练习 培养学生的思维能力 通过列表总结知识 提升认知水平 教学备品教学备品 教学课件 课时安排课时安排 1 课时 45 分钟 教学过程教学过程 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 揭示课题揭示课题 2 2 区间 创设情景创设情景 兴趣导入兴趣导入 问题 资料显示 随着科学技术的发展 列车运行速度不断提 高 运行时速达 200 公里以上的旅客列车称为新时速旅客列 车 在北京与天津两个直辖市之间运行的 设计运行时速达 350 公里的京津城际列车呈现出超越世界的 中国速度 使得 新时速旅客列车的运行速度值界定在 200 公里 小时与 350 公 里 小时之间 如何表示列车的运行速度的范围 解决 不等式 200 v 350 集合 200350vv 数轴 位于 2 与 4 之间的一段不包括端点的线段 还有其他简便方法吗 介绍 播放 课件 分析 引导 讲解 了解 观看 课件 观察 思考 了解 领会 实例 导入 问题 复习 相关 知识 5 动脑思考动脑思考 明确新知明确新知 概念 一般地 由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做 区间区间 其中 这两个点叫做区间端点区间端点 不含端点的区间叫做开区间开区间 如集合表示 24xx 的区间是开区间 用记号表示 其中 2 叫做区间的左端点 2 4 说明 理解 认知 各种 有限 区间 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 4 叫做区间的右端点 含有两个端点的区间叫做闭区间闭区间 如集合 表示的区间是闭区间 用记号表示 24xx 2 4 只含左端点的区间叫做右半开区间右半开区间 如集合 表示的区间是右半开区间 用记号表示 24 xx 0 y0 y 0 的那些点所对应的横坐标 x 的取值范围 解决 解方程得 观察图像可以看到 2 60 xx 12 2 3xx 方程的解 恰好分别为函数图像与 x 轴交点的横 2 60 xx 坐标 在 x 轴上方的函数图像 所对应的自变量 x 的取值范围 即内的值 使得 在 x 轴下 23 x xx 或 2 60yxx 方的函数图像所对应的自变量 x 的取值范围 即 内的值 使得 23 xx 2 60yxx 引领 分析 讲解 理解 领会 次不 等式 的图 像解 法 30 动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 解法 利用一元二次函数的图像可以解 2 yaxbxc 0a 不等式或 2 0axbxc 2 0axbxc 1 当时 方程有两个不 2 40bac 2 0axbxc 相等的实数解和 一元二次函数 1 x 2 x 12 xx 的图像与轴有两个交点 如 2 yaxbxc x 1 0 x 2 0 x 图 1 所示 此时 不等式的解集是 2 0axbxc 不等式的解集是 12 x x 2 0axbxc 12 xx 1 2 3 2 当时 方程有两个相 2 40bac 2 0axbxc 等的实数解 一元二次函数的图像与轴 0 x 2 yaxbxc x 只有一个交点 如图 2 所示 此时 不等式 0 0 x 的解集是 不等式的解集 2 0axbxc 2 0axbxc 归纳 总结 讲解 分析 强调 思考 观察 理解 领会 引导 学生 经历 由特 殊到 一般 的提 炼过 程 强化 图像 作用 熟练 数形 结合 应用 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 是 00 xx 3 当时 方程没有实数 2 40bac 2 0axbxc 解 一元二次函数的图像与轴没有交点 2 yaxbxc x 如图 3 所示 此时 不等式的解集是 2 0axbxc 不等式的解集是 2 0axbxc R 讲解记忆 40 理论升华理论升华 整体建构整体建构 当时 一元二次不等式的解集如下表所示 0a 解集 方程或不等式 0 0 0 2 0axbxc 12 x x 0 x 2 0axbxc 12 xx 00 xx R 2 0axbxc 12 xx RR 2 0axbxc 12 x x 2 0axbxc 12 x x 0 x 表中 2 12 4 bac xx 引领 归纳 强化 领会 总结 记忆 综合 归纳 便于 学生 理解 记忆 50 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 例例 1 解下列各一元二次不等式 1 2 2 60 xx 2 9x 3 4 2 5320 xx 0342 2 xx 分析分析 首先判定二次项系数是否为正数 再研究对应一元二 次方程解的情况 最后对照表格写出不等式的解集 解解 1 因为二次项系数为 且方程的解10 2 60 xx 集为 故不等式的解集为 2 3 2 60 xx 2 3 2 可化为 因为二次项系数为 2 9x 2 90 x 10 且方程的解集为 故的解集 2 90 x 3 3 2 9x 为 3 3 3 中 二次项系数为 将不等 2 5320 xx 30 质疑 分析 思路 讲解 强调 观察 思考 理解 主动 求解 强化 一元 二次 不等 式的 解题 思路 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 式两边同乘 得 由于方程1 2 3520 xx 的解集为 故不等式的 2 3520 xx 2 1 3 2 3520 xx 解集为 即的解集为 2 1 3 2 5320 xx 2 1 3 4 因为二次项系数为 将不等式两边同乘 20 1 由于判别式 0342 2 xx 2442380 故方程没有实数解 所以不等式 2 2430 xx 的解集为 即的解集为0342 2 xxR0342 2 xx R 例例 2 是什么实数时 有意义 x 2 32xx 解解 根据题意需要解不等式 解方程 2 320 xx 得 由于二次项系数为 所 2 320 xx 12 2 1 3 xx 30 以不等式的解集为 2 1 3 即当时 有意义 2 1 3 x 2 32xx 变化 引领 讲解 分析 思路 领会 理解 主动 求解 变化 情况 重点 突出 调动 学生 应用 意识 75 运用知识运用知识 强化练习强化练习 教材练习教材练习 2 3 解下列各一元二次不等式 1 2 2 2420 xx 0103 2 xx 巡视 指导 求解 交流 反馈 学习 效果 80 归纳小结归纳小结 强化思想强化思想 本次课学了哪些内容 重点和难点各是什么 自我反思自我反思 目标检测目标检测 本次课采用了怎样的学习方法 你是如何进行学习的 你的学习效果如何 引导 总结 反思 交流 培养 学生 总结 学习 过程 能力 85 继续探索继续探索 活动探究活动探究 1 读书部分 教材章节 2 3 学习与训练 2 3 2 书面作业 教材习题 2 3 学习与训练 2 3 训练题 说明记录90 课题课题 2 42 4 含绝对值的不等式含绝对值的不等式 教学目标教学目标 知识目标 知识目标 1 理解含绝对值不等式或的解法 xa xa 2 了解或的解法 axbc axbc 能力目标 能力目标 1 通过含绝对值不等式的学习 培养学生的计算技能与数学思维能力 2 通过数形结合的研究问题 培养学生的观察能力 教学重点教学重点 1 不等式或的解法 xa xa 2 利用变量替换解不等式或 axbc axbc 教学难点教学难点 利用变量替换解不等式或 axbc axbc 教学设计教学设计 1 从数形结合的认识绝对值入手 有助于学生对知识的理解 2 观察图形得到不等式或的解集 xa xa 3 运用变量替换 化繁为简 培养学生的思维能力 4 加强解题实践 讨论 探究 培养学生分析与解决问题的能力 培养团队精神 教学备品教学备品 教学课件 课时安排课时安排 2 课时 90 分钟 教学过程教学过程 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 揭示课题揭示课题 2 4 含绝对值的不等式 回顾思考回顾思考 复习导入复习导入 问题 任意实数的绝对值是如何定义的 其几何意义是什么 介绍了解 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 解决 对任意实数 有x 0 0 0 0 xx xx xx 其几何意义是 数轴上表示实数的点到原点的距离 x 拓展 不等式和的解集在数轴上如何表示 2x 2x 根据绝对值的意义可知 方程的解是或2x 2x 不等式的解集是 如图 1 所示 2x 2x 2 2 不等式的解集是 如图 2 所示 2x 2 2 提问 归纳 总结 引导 分析 思考 回答 观察 领会 复习 相关 知识 点为 进一 步学 习做 准备 充分 借助 图像 进行 分析 10 动脑思考动脑思考 明确新知明确新知 一般地 不等式 的解集是 不xa 0a a a 等式 的解集是 xa 0a aa 试一试 写出不等式与 的解ax xa 0a 集 总结 强化 理解 记忆 强调 特点 15 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 例 例 解下列各不等式 1 2 310 x 6 2 x 分析 分析 将不等式化成或的形式后求解 xa xa 分析思考进一 步巩 固知 2 1 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 解解 1 由不等式 得 所以原不等式的310 x 1 3 x 解集为 11 33 2 由不等式 得 所以原不等式的解6 2 x3 x 集为 3 3 讲解 强调 细节 主动 求解 识点 20 运用知识运用知识 强化练习强化练习 教材练习教材练习 2 4 1 解下列各不等式 1 2 3 8 2 x2 6x 10 x 巡视 辅导 解题 交流 反馈 学习 效果 25 实际操作实际操作 探索新知探索新知 问题 如何通过 求解不等式 xa 0a 213x 解决 在不等式中 设 则不等式213x 21mx 化为 其解集为213x 3m 即 33m 3213x 利用不等式的性质 可以求出解集 总结 可以通过 变量替换 的方法求解不等式 或 axbc axbc 0c 质疑 引导 演示 归纳 思考 观察 体会 理解 通过 实例 使学 生初 步领 会变 量替 换的 思想 30 动脑思考动脑思考 感悟新知感悟新知 不等式或 可以通过axbc axb