江苏省扬州市2014年高三5月适应性考试数学试卷

2013 2014 学年度第二学期调研测试 高 三 数 学 2014 5 全卷分两部分 第一部分为所有考生必做部分 满分 160 分 考试时间 120 分钟 第 二部分为选修物理考生的加试部分 满分 40 分 考试时间 30 分钟 注意事项 1 答卷前 请考生务必将自己的学校 姓名 考试号等信息填写在答卷规定的地方 2 第一部分试题答案均写在答题卷相应位置 答在其它地方无效 3 选修物理的考生在第一部分考试结束后 将答卷交回 再参加加试部分的考试 第 一 部 分 一 填空题 本题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请将答案填写在答题卷相应的位置 上 1 已知全集 集合 则 1 2 3 4 5U 1 2 2 3 4AB BACU 2 复数 则复数 1 3zi 2 1zi 1 2 z z 3 若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点 P 的横 纵坐标 则点 P 在直线nm 上的概率为 5xy 4 为了检测某自动包装流水线的生产情况 在流水线上 随机抽取 40 件产品 分别称出它们的重量 单位 克 作为样本 下图是样本的频率分布直方图 根据图中各 组的组中值估计产品的平均重量是 克 5 已知抛物线的焦点与双曲线的 2 8yx 22 1 3 xy m 右焦点重合 则双曲线的离心率为 6 已知直线与函数图象的两个相邻交点 线2y sin3cos0yxx A B 段的长度为 则的值为 AB 2 3 7 执行如图的流程图 若输出的 则输入的整数5k 的最大值为 p 8 设为互不重合的平面 是互不重合的直线 m n 给出下列四个命题 mn nm 若则 mnmn 若 则 mnmn 若 则 若 m nnmn 则 其中正确命题的序号为 9 平行四边形中 已知 点分别满足ABCD4 3 60ABADBAD E F 则 2 AEED DFFC AF BE 10 如图 在中 已知 ABC 4 3ABAC 点分别是边上的点 且 60BAC D E AB AC2DE 则的最小值等于 BCED ABC S S 四边形 11 已知函数 且 则的取值范围是 4f xxx 2 0f af a a 12 在平面直角坐标系中 已知直线和点 xOy 2 2l yk x 2 0 2 0AB 动点满足 且存在两点到直线 的距离等于 则的取值范围是 P2PAPB Pl1k 13 各项均为非负的任意等差数列满足 则的 n a 22 110 5aa 345678 aaaaaa 取值范围是 14 已知点 G 是斜 ABC 的重心 且 则实数的 AGBG 11 tantantanABC 值为 二 解答题 本题共 6 道题 计 90 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 15 本题满分 14 分 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c sin sinsin mABC 且 3 nab bc mn 1 求角C的值 2 若ABC 为锐角三角形 且1c 求3ab 的取值范围 16 本题满分 14 分 如图 在多面体 ABCDEF 中 底面 ABCD 是正方形 四边形 BDEF 是矩形 平面 BDEF 平面 ABCD G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点 1 求证 平面 平面 BDEF AFC 2 求证 平面 BDGH 平面 AEF 17 本小题满分 15 分 某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖 如图 其中直四棱柱的高 1 AA 两底面是高为 面积为10m 1111 ABCD ABC D2m 的等腰梯形 且 若储 2 10m0 2 ADC 水窖顶盖每平方米的造价为元 侧面每平方米的造100 价为元 底部每平方米的造价为元 400500 1 试将储水窖的造价表示为的函数 y 2 该农户如何设计储水窖 才能使得储水窖的造价最低 最低造价是多少元 取 31 73 18 本小题满分 15 分 设 曲线在点处的切线方程为 lnf xax aR xfy 1 1 fyxb bR 1 求 的值 ab 2 设集合 集合 若 求实数的取值 1 A 1 0 Bx f xm x x AB m 范围 19 本小题满分 16 分 已知椭圆 E 的右焦点到其右准线的距离为 1 到右顶点的距 22 22 1 0 xy ab ab 离为 圆 O P 为圆 O 上21 222 xya 任意一点 1 求 ab 2 过点 P 作 PH 轴 垂足为 H 线段 PH 与x 椭圆交点为 M 求 MH PH 3 过点 P 作椭圆 E 的一条切线 直线是经lm 过点 P 且与切线 垂直的直线 试问 直线是否lm 经过一定点 如果是 请求出此定点坐标 如果不 是 请说明理由 20 本小题满分 16 分 已知函数 数列数列 满足 1 2 2 11 1f xxx xx 0 x n a 1 a O x y P H M 1 nn af a nN 222 12 nn Saaa 222 12 111 n n T aaa 1 求证 11 2 f xx f xx 2 求 nn ST 3 在数列中是否存在不同的三项 使得此三项能成为某一三角形的三条边长 nn ST 若能 请求出这三项 若不能请说明理由 2013 2014 学年度第二学期调研测试题 高 三 数 学 2014 5 第二部分 加试部分 总分 40 分 加试时间 30 分钟 注意事项 答卷前 请考生务必将自己的学校 姓名 考试号等信息填写在答题卷上规定的位 置 解答过程应写在答题卷的相应位置 在其它地方答题无效 21 本题满分 10 分 已知矩阵有特征值及对应特征向量 且矩阵对应的变换将点M8 1 1 1 1 M 变换成 求矩阵的另一个特征值 1 1 4 0 M 22 本题满分 10 分 已知在直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 以坐标原点xOyl 3 2 4 xt yt t 为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为x 点在直线 上 点在曲线上 求的取值范围 2 4 cos30 PlQCPQ 23 本题满分 10 分 某班联欢晚会玩投球游戏 规则如下 每人最多可连续投只球 累积有三次投中即可获奖 5 否则不获奖 同时要求在以下两种情况下中止投球 已获奖 累积 3 次没有投中目标 已知某同学每次投中目标的概率是常数 且投完 3 次就中止投掷的概率为 5 0 pp 1 3 设游戏结束时 该同学投出的球数为 X 1 求的值 p 2 求的分布列和数学期望 X 24 本题满分 10 分 从这个数中取 个数组成递增等差数列 所有可 1 2 3 nL nm m n N3mn 能的递增等差数列的个数记为 f n m 1 当时 写出所有可能的递增等差数列及的值 6 3nm 6 3 f 2 求证 1 2 1 nm n f n m m 2013 2014 学年度第二学期调研测试 高三数学参考答案 1 2 3 4 5075 2 3 412i 1 9 6 37 158 9 6 10 2 3 解析 设 则 04 03ADx AEyxy 因为 所以 从而 222 2cos60DExyxy 22 4xyxy 42xyxyxy 当且仅当时等号成立 2xy 所以 1 sin60 42 2 1111 1 12123 3 4sin60 2 BCEDADE ABCABC xy SSxy SS 四边形 11 1 0 解析 1 当时 则 此时无解 0a 422 440aaaa 当时 则 即 解得 故 0a 422 440aaaa 2 140a aaa 10a 解析 2 由题意可知 函数为奇函数 且在上单调递增 f x 从而由得 解得 2 f af afa 2 aa 10a 12 3 413 41 1 1 4141 解析 设点 则 即 P x y 22 22 222xyxy 2 2 3 216xy 要在圆上存在两点到直线 的距离等于 1 2 2 3 216xy l 则需圆心到直线 的距离 即 3 2 0l 3 5d 2 5 2 35 1 k k 解得或 3 41 1 41 k 3 41 1 41 k 13 3 5 3 10 解析 1 由题意得 34567838110 33aaaaaaaaaa 令 则且 110 xa ya 22 5xy 0 0 xy 从而点在如图所示的四分之一个圆上 x y 故当直线过点时 txy 5 0 0 5AB min 5t 当直线与四分之一个圆相切于点时 txy 1010 22 P max 10t 从而 110 333 5 3 10aat 解析 2 令 则 1 10 5cos 0 2 5sin a a 34567838110 333 10sin 4 aaaaaaaaaa 因为 所以 0 2 3 444 故 345678 3 5 3 10aaaaaa 解析 3 由于已知条件及所求结论是对称的 所以根据对称性原理 当时 110 10 2 aa 110 max 10aa 当或时 1 10 0 5 a a 1 10 5 0 a a 110 min 5aa 故所求的结果为 3 5 3 10 14 1 2 解析 1 以 AB 的中点为原点 AB 所在直线为轴建立直角坐标系 转化 x tan tanAB 为直线斜率 AC BC 解析 2 解化边 等价于 11 tantantanABC 2222 2 cabc 再以为原点 所在直线为轴 建立直角坐标系 并设 GGAGB xy 0 A m 可得 所以 0 Bn Cmn 22222 5 5abmnc 解析 3 特殊化 设 GAGB 15 解析 1 由得 sin sinsin 3 mABCnab bc sin3sinsin0A abBCbc 即 故 222 3abcab 30a abbcbc 所以2cos3abCab 3 cos 2 C 由 0 C C 7 分 2 由 1 得AB 即BA 又ABC 为锐角三角形 故 0 0 A A 从而A 由1c 所以 1 sinsin sin ab AB 故2sinaA 2sinbB 所以32 3sin2sinabAB 2 3sin2sinAA 2 3sin2sincos2cossinAAA 3sincosAA 2sin A 由A 所以A 所以 13 sin 22 A 即3 1 3 ab 14 分 16 解析 1 证明 因为四边形ABCD是正方形 所以ACBD 又因为平面BDEF 平面ABCD 平面BDEF 平面ABCDBD 且AC 平面ABCD 所以AC 平面BDEF 4 分 又平面 所以平面 平面 BDEF 6 分AC ACFAFC 2 证明 在CEF 中 因为 G H分别是 CE CF的中点 所以 GH EF 8 分 又因为GH 平面AEF EF 平面AEF 所以 GH平面AEF 10 分 设ACBDO 连接OH 在ACF 中 因为OAOC CHHF 所以 OH AF 又因为OH 平面AEF AF 平面AEF 所以 OH平面AEF 12 分 又因为OHGHH OH GH 平面BDGH 所以平面 BDGH 平面AEF 14 分 17 解析 1 过作 垂足为 则 AAEDC E2AE 22 tansin DEAD 令 从而 ABx 4 tan CDx 故 14 210 2tan xx 解得 4 分 2 5 tan x 2 5 tan CD 所以 202104001050010100yADABCD 222 80008000500051000 5 sintantan 7 分 21 3800080000 sintan2 2 因为 2cos 380008000 sin y 所以 10 分 2 22 sin2coscos8000 12cos 8000 sinsin y 令 则 0y 3 当时 此时函数单调递减 0 3 0y y 当时 此时函数单调递增 3 2 0y y 所以当时 3 min 380008000 351840y 答 当时 等价最低 最低造价为 51840 元 15 分60ADC 18 解析 1 a fx x 由题设 1 1 f 1a 又切点为在切线上 4 分 1 0 yxb 1b 2 即 lnf xx AB 1x 1 f xm x x 1 ln xm x x 设 即 1 ln g xxm x x 0 1 xgx 6 分 2 22 11 1 mxxm g xm xxx 若 在上为增函数 0 0mg x g x 1 0 1 gxg 这与题设矛盾 9 分0 xg 若方程的判别式 0m 2 0mxxm 2 14m 当 即时 在上单调递减 0 1 2 m 0 x g xg 1 即不等式成立 12 分0 1 gxg 当时 方程 设两根为 1 0 2 m 2 0mxxm 2121 xxxx 1 0 2 411 2 1 m m x 1 2 411 2 2 m m x 当 单调递增 与题设矛盾 0 1 2 xgxx xg0 1 gxg 综上所述 1 2 m 15 分 19 解析 1 2 1 21 a c c ac 解得 3 分2a 1c 1b 2 设 则 00 P xy 01 M xy 2 20 1 1 2 x y 22 00 2xy 得 2 20 1 1 2 x y 22 00 2 1 22 yy 8 分 MH PH 2 2 0 2 2 i y y 3 方法 1 当且时 设切线 代入椭圆方程 0 1x 0 0y l 00 yyk xx 整理得 22 00 2 2xkxkxy 222 0000 12 4 2 20kxk kxyxkxy 由得 即 0 22 00 210kxyk 222 0000 2 210 xkx y ky 又 故有 所以 12 分 22 00 2xy 222 0000 21y kx y kx 0 0 1x k y 当时 直线 得过定点 0 0 1x k y m 0 00 0 1 y yyxx x 0 0 1 1 y yx x 1 0 当时 直线 得过定 0 0 1x k y m 0 00 0 1 y yyxx x 0 0 1 1 y yx x 点 1 0 当时 直线为轴 经过定点或 0 1x mx 1 0 1 0 当时 直线为或 经过定点或 0 0y m1x 1x 1 0 1 0 综上所述 直线经过定点或 16 分m 1 0 1 0 方法 2 假设直线经过定点 D 由对称性知 点 D 在轴上 mx 同方法 1 当当且时 0 1x 0 0y 222 0000 2 210 xkx y ky 222 0000 2 2 1x y kxky 直线 令得 m 00 1 yyxx k 0y 00 xkyx 2222222222 00000000 2 2 1xk ykx yxk yxkyx 得 222222 0000 211kxykxy 1x 即直线经过定点或 m 1 0 1 0 当或时 同方法 1 0 1x 0 0y 20 解析 1 证明 2 2 11 1f xxx xx 2 2 2 2 1111 1 11 1 xx f xxx xx xx 3 分 11 2 f xx f xx 2 由 1 知 1 nn af a 11 2 f xx f xx 1 1 11 2 nn nn aa aa 设 数列是等比数列 公比为 2 首项 1 nn n ba a 0f x 0 n b n b 1 2b 数列是等比数列 公比为 4 首项 又 2 n b 2 1 4b 22 2 11 2 nn nn aa aa 8 分 222 12 2 nnn STbbbn 4 1 4 4 2 41 2 1 43 n n nn 3 设 假设在数列中存在三项 nnn cST nn ST kst c c ckst k s tN 使得此三项能成为某一三角形的三条边长 数列是递增数列 2 11 2 1 1 0 nnn n cca a 4 41 2 3 n n cn kst ccc 要使能成为某一三角形的三条边长 需且只需 kst c c c kst ccc 依题意 且 1st 2kt 3t 由于 kst ccc 12ttt ccc 12 444 41 2 1 41 2 2 41 2 333 ttt ttt 11 4260 12 t t 所以恒成立 kst ccc 所以在数列中不存在不同的三项 使得此三项能成为某一三角形的三条边长 nn ST 16 分 2013 2014 学年度第二学期第四次调研测试 高三数学理科加试参考答案 21 解析 设 dc ba M 则 dc ba 1 1 1 1 8 8 8 故 8 8 dc ba 又矩阵M对应的变换将点变换成 1 1 4 0 dc ba 故 1 1 4 0 4 0 ab cd 联立以上两方程组 解得 4 4 2 6 dcba 故 44 26 M 6 分 再由得 2 6 4 810160f 或 8 2 矩阵的另一个特征值是 10 分M2 22 解析 直线 的普通方程为 2 分l4380 xy 曲线的直角坐标方程为 4 分1 2 22 yx 曲线是圆心为 半径为 的圆 C 2 0 1 圆心到直线的距离是 6 分 4 208