第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理

第十讲 梅涅劳斯定理和塞瓦定理 一 一 梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 定理定理 1 若直线 l 不经过的顶点 并且与的三边或它们的延长线分 别交于 则 1 证明 设分别是 A B C 到直线 l 的垂线的 长度 则 1 注 此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比 例的条件 例例 1 若直角中 CK 是斜边上的高 CE 是的平分线 E 点在 AK 上 D 是 AC 的中点 F 是 DE 与 CK 的交点 证明 解析解析 因为在中 作的平分线 BH 则 90 即 所以为等腰三角形 作 BC 上的高 EP 则 对于和三点 D E F 根据梅涅劳斯定理有 于是 即 根据分比定 1 理有 所以 所以 例例 2 从点 K 引四条直线 另两条直线分别交直线与 A B C D 和 试证 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析解析 若 结论显然成立 若 AD 与相交于点 L 则把梅涅劳斯定理分别 1 1 1 1 用于和可得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将上面四个式子相乘 可得 即 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 定理定理 2 设 P Q R 分别是的三边 BC CA AB 上或它们延长线上的三点 并且 P Q R 三点中 位于边上的点的个数为 0 或 2 这时若 求证 1 P Q R 三点共线 证明 设直线 PQ 与直线 AB 交于 于是由定理 R 1 得 又因为 则 1 1 由于在同一直线上 P Q R 三点中 位 于边上的点的个数也为 0 或 2 因此 R 与 或者同在 AB 线段上 或者同在 AB 的延长线上 若 R 与同在 AB 线段上 则 R 与必定重合 不然的话 设 这时 AR 即 于是可得 这与矛盾 类似地可证得当 R 与同在 AB 的延长线上时 R 与也重合 综上可得 P Q R 三点共线 注 此定理常用于证明三点共线的问题 且常需要多次使用 再相乘 例例 3 点 P 位于的外接圆上 是从点 P 向 1 1 1 BC CA AB 引的垂线的垂足 证明点共线 1 1 1 解析解析 易得 1 1 1 1 将上面三个式子相乘 且因为 1 1 可得 180 1 1 1 1 1 1 1 根据梅涅劳斯定理可知三点共线 1 1 1 例例 4 设不等腰的内切圆在三边 BC CA AB 上的切点分别为 D E F 则 EF 与 BC FD 与 CA DE 与 AB 的交点 X Y Z 在同一条直线上 解析解析 被直线 XFE 所截 由定理 1 可得 又因为 代入上式可得 同理 1 可得 将上面的式子相乘可得 又因为 X Y Z 丢不在的边上 由定理 2 可得 X Y Z 三点共线 1 例例 5 已知直线 相交于 O 直线 AB 和的交点为 直线 BC 和的 1 1 1 1 1 2 1 1 交点为 直线 AC 和的交点为 试证三点共线 2 1 1 2 2 2 2 解析解析 设分别是直线 BC 和 AC 和 AB 和 2 2 2 1 1 1 1 的交点 对所得的三角形和它们边上的点 OAB 和 1 1 OBC 和 OAC 和 应用 1 1 2 1 1 2 1 1 2 梅涅劳斯定理有 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 将上面的三个式子相乘 可得 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 由梅涅劳斯定理可知共线 2 2 2 例例 6 在一条直线上取点 E C A 在另一条上取点 B F D 记直线 AB 和 ED CD 和 AF EF 和 BC 的交点依次为 L M N 证明 L M N 共线 解析解析 记直线 EF 和 CD EF 和 AB AB 和 CD 的交点分别为 U V W 对 应 用梅涅劳斯定理于五组三元点 则有 将上面 1 1 1 1 1 五个式子相乘可得 点 L M N 共线 1 C B A 1 A 1 B 1 C 二 塞瓦定理二 塞瓦定理 定理 定理 设 P Q R 分别是的 BC CA AB 边上的点 则 AP BQ CR 三线共点的 充要条件是 1 证明 先证必要性 设 AP BQ CR 相交于点 M 则 同理 以上三 式相乘 得 再证充分性 若 1 1 设 AP 与 BQ 相交于 M 且直线 CM 交 AB 于 由塞瓦定 理有 约翰斯 因为 R 和都在线 1 段 AB 上 所以必与 R 重合 故 AP BQ CR 相交于一点 M 例例 7 证明 三角形的中线交于一点 解析解析 记的中线 我们只须证明 1 1 1 而显然有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 即成立 所以 交于一点 1 1 1 1 1 1 1 1 1 例例 8 在锐角中 的角平分线交 AB 于 L 从 L 做边 AC 和 BC 的垂线 垂足分别是 M 和 N 设 AN 和 BM 的交点是 P 证明 解析解析 作 下证 CK BM AN 三线共点 且为 P 点 要证 CK BM AN 三线共点 根据塞瓦 定理即要证 又因为 即要 1 证明 因为 1 即要证 根据三角 1 形的角平分线定理可知 所以 CK BM AN 三线共点 且为 P 点 所以 1 例例 9 设 AD 是的高 且 D 在 BC 边上 若 P 是 AD 上任一点 BP CP 分别与 AC AB 交于 E 和 F 则 解析解析 过 A 作 AD 的垂线 与 DE DF 的延长线分别交于 M N 欲证 可以转化为证明 因为 故 可得 所以 于是 因为 AD BE CF 共点与 P 根据塞瓦定理可得 所以 1 所以所以 M Q R A C P B C B A 1 A 1 B 1 C KL N M C B A 例例 10 在的边 BC CA AB 上