第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型

1 第六章第六章 布莱克布莱克 舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型 一 一 影响期权价值的主要因素影响期权价值的主要因素 由前面的分析知道决定期权价值 价格 的因素是到期 C V 的股票市场价格和股票的执行价格 X 但是到期是未知的 m S m S 它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响 1 标的股票价格与股票执行价格的影响 标的股票市场价 格越高 则买入期权的价值越高 卖出期权的价值越低 期权 的执行价越高 则买入的期权价值越低 卖出期权的价值越高 2 标的股票价格变化范围的影响 在标的股票价格变动范 围增大的 虽然正反两方面的影响都会增大 但由于期权持有 者只享受正向影响增大的好处 因此 期权的价值随着标的股 价变动范围的增大而升高 如下图 sf 1 sf 2 sf x s 股票的价格由密度函数变为 S X 的可能性增大 1 sf 2 sf 买入期权的价值增大 对卖出期权的价值则相反 3 到期时间距离的影响 距离愈长 股价变动的可能性愈 2 大 由于期权持有者只会在标的股价变动中受益 因此 距离 期权到期的时间越长 期权的价值就越高 4 利率的影响 利率越高 则到期的现值就越低 使得 m S 买入期权价值提高 而卖出期权价值降低 5 现金股利的影响 股票期权受到股票分割或发放股票股 利的保护 期权数量也适应调整 而不受影响 但是期权不受 现金股利的保护 因此当股票的价格因公司发放现金股利而下 降时 买入期权的价值下降 卖出期权的价值便上升 二 布莱克 布莱克 舒尔斯期权定价模型的假设条件舒尔斯期权定价模型的假设条件 B S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型 它的假 定条件 除了市场无摩擦 例如无税 无交易成本 可以无限 制自由借贷等 以外 还有 1 股票价格是连续的随机变量 所以股票可以无限分割 2 T 时期内各时段的预期收益率ri和收益方差 i保持 不变 3 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布 即 在 t1 t2时段内有 2 2 2121 1 ln S t Ntttt S t 因为股票的价格可以用随机过程表示 其中 2 1 ttS S t 表示第 t 日股票的价格 它是一个随机变量 则第 t 日 3 股票的收益率 年收益率 为 Rt 365 1 1 t R tS tS 股票的年收益率 单利 R 应该是 365 1 365 1 365 1 364 365 1 0 2 1 0 365 1 36521 RRR S S SS SS S S R 为了简化计算两边同时取自然对数可得 365 1 365 1 1 t t R InRIn 设 r r1 r2 r365为和 R R1 R2 R365相对应的连续 复利 则根据单复利之间的关系 In 1 R r 有 365 1 365 1 365 1 365 1 1 tt t t r R InRInr 同理 对任何时间间隔 T 都有 T t T t t r TtS tS In TS TS Inr 01 1 1 1 0 由中心极限定理知服从正态分布 即有 0 S TS In 0 S TS In 2T TN 式中 分别为 rt的数学期望和方差 2 令 则y 而进行 0 S TS Iny 2T TN y eSTS 0 简单的变量替换 可以求出 S T 的数学期望为 2 1 exp 0 2T TSTSE 对于股票的二叉树定价来说 如果从 t 0 时刻到 t T 时 刻 所分的阶段数趋于无限大时 股票的价格也趋于对数正态 4 分布 即股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的 因为二叉树定价时股票的价格变化的规律是 qd qu tS tS 1 1 按照概率 按照概率 所以 qd qu tS tS In 1ln ln 1 按照概率 按照概率 即服从两点分布且相互独立 Tt tS tS 2 1 1 ln 所以服从二项分布 当 二项 T t tS tS S TS 1 1 ln 0 ln T 分布趋近于正态分布 即在一定的条件下 股票的二叉树定价 和对数正态分布定价是一致的 B S 定价模型是二叉树定价模 型的极限式 三 布莱克布莱克 舒尔斯期权定价模型的直观理解舒尔斯期权定价模型的直观理解 作为无现金股利的欧式买权定价模式是 012 rT CS N dXeN d 式中 C 是买权价格 S0是期初股票价格 N 是累计正 态分布函数 2 0 1 ln 2 S rT X d T 2 0 21 ln 2 S rT X ddT T 为了更容易从经济意义上理解 B S 定价模型 我们可以从 现实直观的角度来作一些解释 5 已知 max 0 TT CSX 式中为到期 T 时买权的价格 为到期标的股票市场价格 T C T S X 为期权协定的执行价格 则有 0 max XSECE TT 设到期的概率为 P 此时XST XSXS TT 0 max 则有 0 1 PXXSSEPCE TTT XXSSEP TT 考虑到期初的期权合理定价等于的现值而有 T CE T rt CEeC 1 XXSSEeP TT rt 式中 C 期初期权合理价格 r 无风险连续复利率 t 到期时间 长度 这里关键的问题 要找出 P 和的表达式 XSSE TT 1 由于 0000 1 TT T SSXX P SXPP SSSS 等价 收益率 2 0 ln 2 1 X rT S N T d d 2 0 ln 2 S rT X N T 这是由于正态分布的对称性 2 dN 其中服从对数正态分布 服从对数正态分布 为常数 T S 0 S X 0 S 1 N d N d 6 服从正态分布 收益率平均为 或 ln 0 S X u 2 2 ur 2 2 ru 而且是以年为基础计算的 但期权通常不超一年 T 2 和r 为分数 应用代替 即为新正态分布的期 2 rTT 2 和r 2 2 rT 望值 为新分布的标准差 T 2 由于TT X TTT dSSfSXSSE 其中为对数正态分布密度函数 T Sf 2 1 2 ln 2 11 2 Su TT TX SedS S 其中 u 为的均值 是的方 T Sln 2 T Sln 差 令 SST ln 2 1 2 1 2 1 0 ln 2 2 ln 2 2 2 2 dN dN eSdsedSee rt x uS S uS x S 其中注意到 22 2 2 2 2 2 2 u uSuS S 并且 r u eSe 0 2 2 式中 tdd t tr X S d 12 2 0 1 2 ln 将以上计算结果代入 1 式 得 7 2 1 02 X dN dN eSedNC rtrt 210 dNXedNS rt 这便是有名的这便是有名的 Black ScholesBlack Scholes 期权定价公式 期权定价公式 举例 已知股票期初市价 协议执行价 X 45 距到50 0 S 期日时间 t 3 个月 0 25 年 无风险利率 r 10 0 16 2 4 0 则有 7520 0 25 0 4 0 25 0 2 16 0 1 0 45 50 ln 2 ln 2 0 1 t tr X S d 5520 0 25 0 4 07520 0 12 tdd 查正态分布表 N N 0 7520 0 7740 1 d N N 0 552 0 7095 2 d 56 7 7095 0 457740 0 50 25 0 1 0 eC 一般地 期权交易市场上买入的价格即由 B S 公式定价 如果实际市场价格比计算的价值低 说明期权的价格被低估 存在套利机会 可以买入期权 四 B SB S 期权定价模型微分方程推导的基本思路期权定价模型微分方程推导的基本思路 随机方程 某变量以某种不确定的方式随时间变化 马尔可夫过程 随机过程变量的未来预测值只与该变量的当 前值有关 而与该变量的过去值无关时 该随机过程称为马尔 可夫过程 基本维纳过程 在内变量 Z 的变化满t 8 足 其中 满足标准正态分布 N 0 1 的一个随机值 tZ 且两个不同的的值相互独立 一般维纳过程Zt 变量 X 满足 tbadtbdzadtdx 如图 一般维纳过程 基本维纳过程 伊腾过程 S 遵循 ITO 过程 即有 变量 G 是 S t 的函数 G F S t 则 dZtSbdttSadS G 也是 ITO 过程 并且有 bdZ S G dtb S G t G a S G dG 2 1 2 2 2 股票价格的 ITO 过程 股价 S 的变动可用瞬时期望漂 移率为 瞬时方差率为的 ITO 过程 即 uS 22S SdzuSdtdS 即 dzudt S dS 其中当股价的方差率恒为 0 时 则有 得uSdtdS 说明当方差率为 0 时 股价得单位时间为 的连续复 ut eSS 0 u 利方式增长 9 五 关于对数正态分布五 关于对数正态分布 我们已经知道很多独立同分布的随机变量之和趋于正态分 布 那么许多独立同分布随机变量的连乘积便服从于对数正态 分布 即 对数正态分布i n i n xX 1 lim 因为令则xyln 这是 n 个随机变数之和 根据中心极 n i i n i i xxxy 11 lnlnln 限定理 y 趋于正态分布 如图 设 每年增长 10 则有100 0 S 对数正态分布的密度函数 100 110 121 200X t rSx 1 0 对数分布图