高中数学奥林匹克竞赛训练题（18）

1 数学奥林匹克高中训练题 数学奥林匹克高中训练题 1818 第一试 一 选择题 本题满分36分 每小题6分 1 训练题23 119963 除以19971996 所得的余数是 D A 1 B 1995 C 1996 D 1997 2 训练题23 若在抛物线 0 2 aaxy的上方可作一个半径为r的圆与抛物线相切于原点 O 且该圆与抛物线没有别的公共点 则r的最大值是 A A a2 1 B a 1 C a D a2 3 训练题23 考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线 共四条线段 则正确的命题是 B A 必有某三条线段不能组成一个三角形的三边 B 任何三条线段都可组成一个三角形 其中每个内角都是锐角 C 任何三条线段都可组成一个三角形 其中必有一个是钝角三角形 D 任何三条线段都可组成一个三角形 其形状是 锐角的 或者是 非锐角的 随长 方体的长 宽 高而变化 不能确定 4 训练题23 若 2 0 x 则 11 tancot sincos xx xx 的取值范围是 D A B 0 C 2 1 D 1 5 训练题23 有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻 则其可能的排法个 数是 A A 5 7 8 B 4 6 7 C 7 3 10 D 3 7 10 6 训练题23 使得11cos51sin n成立的最小正整数n是 B A 4 B 5 C 6 D 7 二 填空题 本题满分54分 每小题9分 1 训练题23 设Ra 若函数310 x yxfy关于直线xy 对称 且 xfy 与 lg 2 axxy 有公共点 则a的取值范围是 6a 2 训练题23 设1 2 iRba且存在Cz 适合 1z biazzz 则ab的最大值等于 1 8 3 训练题23 设 900 若 sin 1 60tan 31 则 等于 3050 oo 或 2 4 训练题23 设 DCBAABCD 是棱长为1的正方体 则上底面ABCD的内切圆上的点 P与过顶点 DCBA的圆上的点Q之间的最小距离 d 32 2 5 训练题23 如图 在直角坐标系xOy中 有一条周期性折线 函数 1 xfyl 现把 该曲线绕原点O按逆时针方向旋转 45得到另一条曲线 2 l 则这两条曲线与y轴及直线 Nnnx 围成的图形的面积等于 1 2 222 nnn n 6 训练题23 设ba 都是正整数 且 100 21 2 ba则ba 的个位数等于 4 第二试 一 训练题23 本题满分25分 求证 在复平面上 点集 01 3 zzCzS中 除 去某一个点外的所有的点都在圆环 4 5 3 13 z中 二 训练题23 本题满分25分 已知抛物线 0 2 2 ppxy其焦点为F 试问 是否存在过 F点的弦AB BA 均在抛物线上 且A在第一象限内 以及y 轴正半轴上的一点P 使得BAP 三点构成一个以P为直角顶点的等腰直角三角形 证实你的回答 如果回答是肯 定的 请求出直线AB的方程 4 3 42 p yx 三 训练题23 本题满分35分 平面上给定 321 AAA 及点 0 P 构造点列 0 P 1 P 2 P 使 得 13 k P为点 k P3绕中心 1 A顺时针旋转 150时所到达的位置 而 23 k P和 33 k P为点 13 k P和 23 k P分别绕中心 2 A和 3 A顺时针旋转 105时所到达的位置 3 2 1 0 k 若对某个Nn 有 03 PP n 试求 321 AAA 的各个内角的度数及三个顶点 321 AAA的排列方向 四 训练题23 本题满分35分 设 n 21 0 n bbb 21 0 且 1 A1 x A 1 A7A5A3A 3 y O 154321 376 8