福建省泉州四校2012届高三数学第二次联考试卷 理 新人教A版

用心 爱心 专心1 福建省泉州四校福建省泉州四校 20122012 届高三数学第二次联考试卷届高三数学第二次联考试卷 理理 新人教新人教 A A 版版 考试时间 120 分钟 试卷总分 150 分 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分 第 I 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求 每小题选出答案后 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 设集合 2 3 logPa Qa b 若 0PQ 则PQ A 3 0 B 3 0 1 C 3 0 2 D 3 0 1 2 2 命题 Rpx 函数 2 2cos3sin23f xxx 则 A p是假命题 Rpx 2 2cos3sin23f xxx B p是假命题 Rpx 2 2cos3sin23f xxx C p是真命题 Rpx 2 2cos3sin23f xxx D p是真命题 Rpx 2 2cos3sin23f xxx 3 下列 若p 则q 形式的命题中 p是q的充分而不必要条件的有 若xE 或xF 则xEF 若关于x的不等式 2 230axaxa 的解集为 R 则0a 若2x是有理数 则x是无理数 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 4 双曲线 22 28xy 的实轴长是 A 2 B 2 2 C 4 D 4 2 5 定义 sin abab 其中 为向量 a与 b的夹角 若2 a 5 b 用心 爱心 专心2 6 a b 则 ab等于 A 8 B 8 C 8 或8 D 6 6 已知数列 n a满足 1 1a 且 1 11 2 33 n nn aan 且 n N 则数列 n a的通 项公式为 A n a 3 2 n n B n a 2 3n n C n a 2n D n a 2 3nn 7 设长方体的长 宽 高分别为2a a a 其顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 A 2 3 a B 2 6 a C 2 12 a D 2 24 a 8 圆心在曲线 3 0yx x 上 且与直线3430 xy 相切的面积最小的圆的方程为 A 2 23 29 2 xy B 2 2216 31 5 xy C 2 2218 13 5 xy D 22 339xy 9 满足 1212 1 loglog1 nn aaan N 它的前n项和为 n S 则满足1025 n S 的 最小n值是 A 9 B 10 C 11 D 12 10 已知椭圆C1 22 22 10 xy ab ab 与双曲线C2 2 2 1 4 y x 有公共的焦点 C2的一 条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于 A B 两点 若C1恰好将线段AB三等分 则 A 2 13a B 2 13 2 a C 2 2b D 2 1 2 b 用心 爱心 专心3 第 II 卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 请把答案填在答题卡的横线上 11 计算 2 2 2 1 1 4 x dx 12 若变量 x y满足约束条件 329 69 xy xy 则2zxy 的最小值为 13 四棱锥PABCD 的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A 其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形 则在四棱 锥PABCD 的任意两个顶点的连线中 互相垂直的异面直线 共有 对 14 已知直线0axbyc 与圆 22 1O xy 相交于 A B 两点 且3AB 则OA OB 15 设 sin2cos2f xaxbx 其中 0a bR ab 若 6 f xf 对一切xR 恒成立 则 11 0 12 f 7 125 ff f x既不是奇函数也不是偶函数 f x的单调递增区间是 2 63 kkkZ 存在经过点 a b的直线与函数 f x的图象不相交 以上结论正确的是 写出所有正确结论的编号 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 AB CD 用心 爱心 专心4 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 请在答题卡各自题目的答题区域内作答 16 本小题满分 13 分 如图 渔船甲位于岛屿A的南偏西60 方向的B处 且与岛屿A相距 12 海里 渔船乙 以 10 海里 小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙 刚好用 2 小时追上 1 求渔船甲的速度 2 求sin 的值 17 本小题满分 13 分 设 2 1 x e f x ax 其中a为正实数 1 当 4 3 a 时 求 f x的极值点 2 若 f x为 1 3 2 2 上的单调函数 求a的取值范围 18 本小题满分 13 分 如图 四棱锥SABCD 的底面是正方形 SD 平面ABCD SDADa 点 E 是 SD 上的点 且 01DEa 1 求证 对任意的 0 1 都有 AC BE 2 若二面角 C AE D 的大小为60 求 的值 19 本小题满分 14 分 已知椭圆C的方程为 22 2 10 2 xy a a 其焦点在x轴上 离心率 2 2 e 1 求该椭圆的标准方程 2 设动点 00 P xy满足2OPOMON 其中 M N 是椭圆C上的点 直线 OM 60 A B C 东 南 西 北 D A B C S E 用心 爱心 专心5 与 ON 的斜率之积为 1 2 求证 22 00 2xy 为定值 3 在 2 的条件下 问 是否存在两个定点 A B 使得PAPB 为定值 若存在 给出证明 若不存在 请说明理由 20 本小题满分 13 分 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后 发现一天中环境综 合放射性污染指数 f x与时刻x 时 的关系为 2 2 2 0 24 13 x f xaax x 其中a是与气象有关的参数 且 1 0 2 a 若用每天 f x的最大值为当天的综合放射性 污染指数 并记作 M a 1 令 2 1 x t x 0 24x 求 t 的取值范围 2 省政府规定 每天的综合放射性污染指数不得超过 2 试问目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标 21 本小题满分 14 分 已知数列 n a满足 11 1 1 1 n n n a aan a 数列 n b满足ln nn ba 数列 n c满足 nnn cab 1 求数列 n a的通项公式 2 试比较 1 1 n i i a 与 1 n i i b 的大小 并说明理由 3 我们知道数列 n a如果是等差数列 则公差 nm aa dnm nm 是一个常数 显然 在本题的数列 n c中 nm cc nm nm 不是一个常数 但 nm cc nm nm 是否会小 于等于一个常数k呢 若会 求出k的取值范围 若不会 请说明理由 用心 爱心 专心6 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 题 号 12345678910 答 案 BDACBBBACD 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 11 12 6 13 6 14 1 2 15 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 16 本小题满分13分 解 1 依题意 120BAC 12AB 10 220AC BCA 2分 在 ABC中 由余弦定理 得 222 2cosBCABACABACBAC 4分 22 12202 12 20 cos120784 解得28BC 6分 所以 渔船甲的速度为14 2 BC 海里 小时 答 渔船甲的速度为14海里 小时 7分 2 方法1 在 ABC中 12AB 120BAC 28BC BCA 由正弦定理 得 sinsin120 ABBC 9分 即 3 12 sin1203 3 2 sin 2814 AB BC 用心 爱心 专心7 答 sin 的值为 3 3 14 13 分 方法2 在 ABC中 因为12AB 20AC 28BC BCA 由余弦定理 得 222 cos 2 ACBCAB ACBC 9分 即 222 20281213 cos 2 20 2814 因为 为锐角 所以 2 2 13 sin1 cos1 14 3 3 14 答 sin 的值为 3 3 14 13 分 17 本小题满分13分 解 2 2 2 21 1 x axaxe fx ax 2 分 1 当 4 3 a 时 若 0fx 则 2 12 13 4830 22 xxxx 1 1 2 x 是极大值点 2 3 2 x 是极小值点 6 分 2 记 2 21g xaxax 则 2 11g xa xa f x为 1 3 2 2 上的单调函数 则 fx 在 1 3 2 2 上不变号 x 1 2 1 2 1 3 2 2 3 2 3 2 fx 0 0 f x递增极大值递减极小值递增 用心 爱心 专心8 2 2 0 1 x e ax 0g x 或 0g x 对 1 3 2 2 x 恒成立 10 分 由 10g 或 1 0 2 g 01a 或 4 3 a a的取值范围是01a 或 4 3 a 13 分 18 本小题满分13分 证明 1 如图建立空间直角坐标系Dxyz 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A aB a aCaDEa 0 ACa aBEaaa 0ACBE 对任意 0 1 都成立 即 AC BE 恒成立 6 分 解 2 显然 1 0 1 0n 是平面ADE的一个法向量 设平面ACE的一个法向量为 2 nx y z 0 0 ACa aAEaa 2 2 000 00 0 nACaxayxy axazxz nAE 取1z 则xy 2 1nx y z 10 分 二面角 C AE D 的大小为60 12 12 2 12 12 cos 0 1 22 12 nn n n n n 2 2 为所求 13 分 19 本小题满分14分 z y x D A B C S E 用心 爱心 专心9 解 1 由 2 2 e 2 2 b 解得2 2 abc 故椭圆的标准方程为 22 1 42 xy 3 分 2 设 1122 M x yN xy 则由2OPOMON 得 001122 2 xyx yxy 即 012012 2 2xxxyyy 点 M N 在椭圆 22 1 42 xy 上 2222 1122 24 24xyxy 6 分 设 OMON kk分别为直线 OM ON的斜率 由题意知 2 1 21 21 xx yy kk ONOM 1212 2 0 x xy y 8 分 故 222222 0012121212 244244xyxxx xyyy y 2222 11221212 2424220 xyxyx xy y 即 22 00 220 xy 定值 10 分 3 由 2 知点P是椭圆 22 1 2010 xy 上的点 20 1010c 该椭圆的左右焦点 10 010 0AB 满足4 5PAPB 为定值 因此存在两个定点 A B 使得PAPB 为定值 14 分 20 本小题满分13分 解 1 当0 x 时 t 0 1 分 当024x 时 1 2x x 当1x 时取等号 用心 爱心 专心10 2 11 0 1 12 x t x x x 即 t 的取值范围是 1 0 2 4 分 2 当 1 0 2 a 时 记 2 2 3 g ttaa 则 2 3 0 3 21 32 tata g t taat 8 分 g t在 0 a上单调递减 在 1 2 a 上单调递增 且 21711 03 02 32624 gagagga 故 1171 0 0 2464 2 11 11 3 0 3 42 42 gaaa M a aa ga 10 分 当且仅当 4 9 a 时 2M a 故当 4 0 9 a 时不超标 当 41 92 a 时超标 13 分 21 本小题满分14分 解 1 由 1 1 n n n a a a 得 11 1111 11 nnnn aaaa 3 分 1 n a 是等差数列 首项 1 1 1 a 公差1d 用心 爱心 专心11 1 n n a 从而 1 n a n 5 分 2 由 1 得 1 11 n a n 1 ln n b n 构造函数 ln1 f xxx 则 11 1 x fx xx 当01x 时 0 fxf x 在 0 1上单调递增 当1x 时 0 fx