全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

20 xx20 xx 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题 第一试 第一试 8080 分钟 分钟 一 填空题 本题满分一 填空题 本题满分 5656 分 每小题分 每小题 8 8 分 分 1 1 已知数列的前项和 则 n an 2 34 n Snn n N N 13521 aaaa 2 2 若集合为空集 则实数的取值范围是 31 Axxaxx R Ra 3 3 设 为实数 则二元函数的最小值是xy21xy 22 42uxxyy 4 4 设 分别是双曲线的左 右焦点 以为直径的圆交双曲线左 1 F 2 F 22 22 1 xy ab 12 FF 支于 两点 且 双曲线的离心率的值介于整数与之间 AB 1 120AFB k1k 则 k 5 5 已知长方体的体积为 则四面体与四面体的 1111 ABCDABC D 216 11 ABCD 11 ABC D 重叠部分的体积等于 6 6 设表示不大于的最大整数 则 xx 3333 log 1 log 2 log 3 log 258 7 7 设方程的根都是正数 且 21221 22110 0 nnn nn xa xaxa xa 1 a 21n 则的最大值是 0 a 8 8 的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格 2009 1911 二 二 解答题 本题满分解答题 本题满分 1414 分 分 求函数的值域 44 sintancoscotf xxxxx 三 解答题 本题满分三 解答题 本题满分 1515 分 分 如图 抛物线及点 过点的不重合的直线 与此抛物线分别 2 2yx 1 1PP 1 l 2 l 交于点 A 证明 四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互BCDABCD 1 l 2 l 补 四 解答题 本题满分四 解答题 本题满分 1515 分 分 设 是正数 且 求证 ab1a 1b 55 44 1125 11 1164 ab ab ab x y O P A C BD 第二试 第二试 150150 分钟 分钟 一 一 本题满分 本题满分 5050 分 分 如图 在 中 的内切圆与切于点 ABCDEBCADEDEM 的边上的旁切圆切于点 点是与的交点 求证 ABCBCBCNPBECDMN 三点共线 P 二 二 本题满分 本题满分 5050 分 分 设 为给定的整数 对任意元的数集 作的所有元子集kn2nk nPPk 的元素和 记这些和组成的集合为 集合中元素个数是 求的最大值 QQ Q C Q C A B C D P E N M 三 三 本题满分 本题满分 5050 分 分 设 是互不相同的正整数 求证 12 222 s nnn M 12 s n nn 12 222 22212 s nnn MM 四 四 本题满分 本题满分 5050 分 分 求满足下列条件的所有正整数 1 与互素 2 xyx1y 23 1xxy 20092009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 第一试第一试 一 填空题 本题满分一 填空题 本题满分 5656 分 每小题分 每小题 8 8 分 分 1 2 3 4 5 6 7 8 268 11 36 9 5 23693213871 2 2 解答题 本题满分解答题 本题满分 1414 分 分 解解 因为 2 66 44 3 2sin 2 sincossincos 2 sincos cossinsin cossin2 x xxxx f xxx xxxxx 8 分 令 则 易知函数sin2tx 1 00 1t 2 3 2 23 2 2 t f xt tt 23 2 g tt t 在区间与上都是减函数 所以的值域为 故 1 0 0 1 g t 11 22 的值域 f x 为 14 分 11 22 三 解答题 本题满分三 解答题 本题满分 1515 分 分 解解 设 的倾斜角分别为 由题设知 1 l 2 l 易知直线的参数方程为 0 1 l 1cos 1sin xt yt 代入抛物线方程可化得 22 sin2 sincos10tt 设上述方程的两根为 则 由参数 的几何意义 得 1 t 2 t 1 2 2 1 sin t t t 5 分 2 1 sin AP BP 同理 2 1 sin CP DP 7 分 若 四点共圆 则 即 ABCDAP BPCP DP 22 sinsin 因为 所以 0 sinsin 又由 不重合 则 所以 11 分 1 l 2 l 反过来 若 则因 故 且 0 sinsin 0 0 所以 即 22 11 sinsin AP BPCP DP 故 四点共圆 15 分ABCD 四 解答题 本题满分四 解答题 本题满分 1515 分 分 解解 因为 且 5432 432 11 11 aaaaa aaaa 43232 81511aaaaaaaa 432 32223aaaa 42432 2121aaaaa 2 2 22 12110aaaa 1a 所以 即 10 分 432 32 15 1 18 aaaa a aaa 5 4 15 1 18 a a a 同理可证 5 4 15 1 18 b b b 于是 15 分 55 44 1125 1 1 1164 ab ab ab 20092009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 加加 试试 一 一 本题满分 本题满分 50 分 分 证证 设与交于点 BEMN P 因为 所以 DEBC BPBC PEDE BPBN P EEM 故只需证明 或 10 分 BCBN DEEM BNEM BCDE 如图 设 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心 1 O 2 O 为切点 则 FGHI 1 2 EMAEDEAD AHABBHABBN 1 2 AHAIABBCAC 1 2 BNAHABACBCAB 30 分 又 ADE ABC 故可设 ABBCAC k ADDEAE 则 1 2 ACBCAB BN BCBC 2 2 k AEk DEk AD k DE AEDEADEM DEDE 故结论成立 50 分 二 二 本题满分 本题满分 50 分 分 解解 的最大值为 10 分 Q C k n C 因共有个元子集 故显然有 20 分P k n Ck k Qn CC 下面我们指出 对集合 相应的等于 即的任意两个不 2 2 2 2 n P Q C k n CP 同的k 元子集的元素之和不相等 从而的最大值为 Q C k n C A B C D P E N M A B C D P E N M O1 O2 F G I H 事实上 若上述的集合有两个不同的元子集Pk 12 2 2 2 k rrr A 12 2 2 2 k sss B 使得与的元素之和相等 则AB 设 1212 222222 kk rsrrss M 因 可视为正整数的二进制表示 由于互不相同 互不相同 故由正整数的二进制M i r i s 表示的唯一性 我们由 推出 集合必须与相同 从而子集 12 k r rr 12 k s ss 矛盾 AB 这就证明了我们的断言 50 分 三 三 本题满分 本题满分 50 分 分 证证 对 s 归纳 1 当时 结论显然成立 10 分1s 2 假设时结论成立 当时 不妨设 sk 1sk 121kk nnnn 由归纳假设可知 则 12 122 22 12 2 k nn n M 1121 122222 2222 12 22 kk nnnnn n M 所以只要证明 1 12 12 22 12 n n MM 此即 30 分 1 1 2 12 2 1 2 n n MM 因为正整数 所以 121kk nnnn 1222 312 11 222221 222 k nnnn nnn 故 1121 22222 2 kk nnnnn M 1121 2222 k nnnn M 所以 11 111 22 12 2 12 2 1 22 22 nn nnn MM 即时 命题成立 1sk 因此 由数学归纳法可知 命题对所有正整数成立 50 分s 四 四 本题满分 本题满分 50 分 分 解解 显然 满足要求 10 分1x 1y 对于 方程可化为 1x 1y 2 111yyyx x 显然 因为 故一定是的一个因子 设xy 11x y x 2