江苏省2013届高考数学二轮复习教学案：第10讲　等差数列与等比数列

数 列 专题三 等差数列与等比数列 第10讲 1 理解等差 等比数列的概念 掌握等差 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 2 数列是高中的重要内容 考试说明中 等差 等比数列都是 C 级要求 因而考试题多 为中等及以上难度 试题综合考查了函数与方程 分类讨论等数学思想 填空题常常考查等 差 等比数列的通项公式 前 n 项和公式及等差 等比数列的性质 考查运算求解能力 解 答题综合性很强 不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数 不等式 解析几何等方面的 知识 基本上都是压轴题 1 在数列 an 中 an 4n a1 a2 an an2 bn n N 其中 a b 为常数 则 5 2 ab 2 已知等差数列 an 中 a2 6 a5 15 若 bn a2n 则数列 bn 的前 5 项和等于 3 设 an 是公比为正数的等比数列 若 a1 1 a5 16 则数列 an 前 7 项和为 4 已知等比数列 an 满足 a1 0 a1 006 2 则 log2a1 log2a2 log2a3 log2a2 011 例 1 等差数列 an 的各项均为正数 且 a1 1 前 n 项和为 Sn bn 为等比数列 b1 1 前 n 项和为 Tn 且 b2S2 12 b3S3 81 1 求 an与 bn 2 求 Sn与 Tn 3 设 cn anbn cn 的前 n 项和为 Mn 求 Mn 例 2 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 1 S3 9 3 22 1 求数列 an 的通项 an与前 n 项和 Sn 2 设 bn n N 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 Sn n 例 3 设 an 是公差不为零的等差数列 Sn为其前 n 项和 满足 a a a a S7 7 2 22 32 42 5 1 求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn 2 试求所有的正整数 m 使得为数列 an 中的项 amam 1 am 2 例 4 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 2n n N bn 3an 1 试证数列是等比数列 并求数列 bn 的通项公式 an 1 3 2n 2 在数列 bn 中 是否存在连续三项成等差数列 若存在 求出所有符合条件的项 若 不存在 说明理由 3 试证在数列 bn 中 一定存在满足条件 1 r s 的正整数 r s 使得 b1 br bs成等 差数列 并求出正整数 r s 之间的关系 1 2011 广东 等差数列 an 前 9 项的和等于前 4 项的和 若 a1 1 ak a4 0 则 k 2 2011 辽宁 若等比数列 an 满足 anan 1 16n 则公比为 3 2011 湖北 九章算术 竹九节 问题 现有一根 9 节的竹子 自上而下各节的容积 成等差数列 上面 4 节的容积共 3 升 下面 3 节的容积共 4 升 则第 5 节的容积为 升 4 2010 天津 设 an 是等比数列 公比 q Sn为 an 的前 n 项和 记 2 Tn n N 设 Tn0为数列 Tn 的最大项 则 n0 17Sn S2n an 1 5 2011 湖北 成等差数列的三个正数的和等于 15 并且这三个数分别加上 2 5 13 后 成为等比数列 bn 中的 b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 2 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 求证 数列是等比数列 Sn 5 4 6 2009 广东 已知点是函数 f x ax a 0 a 1 的图象上一点 等比数列 an 的前 n 1 1 3 项和为 f n c 数列 bn bn 0 的首项为 c 且前 n 项和 Sn满足 Sn Sn 1 n 2 SnSn 1 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 若数列前 n 项和为 Tn 问 Tn 的最小正整数 n 是多少 1 bnbn 1 1 000 2 009 2011 辽宁 本小题满分 12 分 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列的前 n 项和 an 2n 1 解 1 设等差数列 an 的公差为 d 由已知条件可得Error Error 2 分 解得Error Error 4 分 故数列 an 的通项公式为 an 2 n n N 5 分 2 设数列的前 n 项和为 Sn 即 Sn a1 an 2n 1 a2 2 an 2n 1 故 S1 1 7 分 Sn 2 a1 2 a2 4 an 2n 所以 当 n 1 时 得 a1 Sn 2 a2 a1 2 an an 1 2n 1 an 2n 1 1 9 分 1 2 1 4 1 2n 1 2 n 2n 1 1 2n 1 2 n 2n 所以 Sn n 1 适合 综上数列的前 n 项和 Sn 12 分 n 2n 1 an 2n 1 n 2n 1 专题三 数 列 第 10 讲 等差数列与等比数列 1 若数列 an bn 的通项公式分别是 an 1 n 2007 a bn 2 且 1 n 2008 n an bn对任意 n N 恒成立 则常数 a 的取值范围是 答案 2 1 解析 a 0 时 an的最大值为 a n 取奇数 bn的最小值为 1 a 0 bn 0 an bn恒成立 a 0 时 an的最大值为 a n 取偶数 bn 2 a 2 综 上 a 2 1 2 已知无穷数列 an 中 a1 a2 am是首项为 10 公差为 2 的等差数列 am 1 am 2 a2m是首项为 公比为 的等比数列 其中 m 3 m N 并对任意的 1 2 1 2 n N 均有 an 2m an成立 1 当 m 12 时 求 a2 010 2 若 a52 试求 m 的值 1 128 3 判断是否存在 m m 3 m N 使得 S128m 3 2 010 成立 若存在 试求出 m 的 值 若不存在 请说明理由 解 1 m 12 时 数列的周期为 24 2 010 24 83 18 而 a18是等比数列中的项 a2 010 a18 a12 6 6 1 2 1 64 2 设 am k是第一个周期中等比数列中的第 k 项 则 am k k 1 2 7 1 128 1 2 等比数列中至少有 7 项 即 m 7 则一个周期中至少有 14 项 a52最多是第三个周期中的项 若 a52是第一个周期中的项 则 a52 am 7 m 52 7 45 1 128 若 a52是第二个周期中的项 则 a52 a3m 7 3m 45 m 15 1 128 若 a52是第三个周期中的项 则 a52 a5m 7 5m 45 m 9 1 128 综上 m 45 或 15 或 9 3 2m 是此数列的周期 S128m 3表示 64 个周期及等差数列的前 3 项之和 S2m最大时 S128m 3最大 S2m 10m 2 m2 11m 1 2 m m 1 2 1 2 1 1 2 m 1 1 2 1 2m m 11 2 125 4 1 2m 当 m 6 时 S2m 31 30 1 64 63 64 当 m 5 时 S2m 30 63 64 当 m 7 时 S2m 7 2 29 30 11 2 125 4 63 64 当 m 6 时 S2m取得最大值 则 S128m 3取得最大值为 64 30 24 2 007 63 64 由此可知 不存在 m m 3 m N 使得 S128m 3 2 010 成立 基础训练 1 1 解析 an 为等差数列 则 Sn 2n2 n a 2 b 1 2 1 2 2 90 解析 an 3n bn 6n 3 127 4 2 011 解析 log2a1 log2a2 log2a3 log2a2 011 log2 a1a2a3 a2 011 log2 a1a2 011 a2a2 010 a1 005a1 007 a1 006 log2 22 1 005 2 log222 011 2 011 例题选讲 例 1 解 1 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 则 d 为正数 an 1 n 1 d bn qn 1 依题意有Error Error 解得Error Error 或Error Error 舍去 故 an 1 2 n 1 an 2n 1 bn 3n 1 2 Sn 1 3 5 2n 1 n2 Tn 1 3n 1 3 3n 1 2 3 cn 2n 1 3n 1 Mn 1 3 3 5 32 2n 1 3n 1 3Mn 1 3 3 32 5 33 2n 1 3n 得 2Mn 1 2 3 2 32 2 3n 1 2n 1 3n Mn n 1 3n 1 变式训练 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 S3 S2成等差数列 1 求 an 的公比 q 2 若 a1 a3 3 求 Sn 解 1 依题意有 a1 a1 a1q 2 a1 a1q a1q2 由于 a1 0 故 2q2 q 0 又 q 0 从而 q 1 2 2 由已知可得 a1 a1 2 3 故 a1 4 1 2 从而 Sn 4 1 1 2 n 1 1 2 8 3 1 1 2 n 例 2 解 1 由已知得Error Error d 2 故 an 2n 1 Sn n n 22 2 由 1 得 bn n 假设数列 bn 中存在三项 bp bq br p q r 互不相等 成等比 Sn n2 数列 则 b bpbr 即 q 2 p r 2 q222 q2 pr 2q p r 0 p q r N Error Error 2 2 pr p r 2 0 p r 这与 p r 矛盾 p r 2 故数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 变式训练 设 Sn为数列 an 的前 n 项和 Sn kn2 n n N 其中 k 是常数 1 求 a1及 an 2 若对于任意的 m N am a2m a4m成等比数列 求 k 的值 解 1 当 n 1 a1 S1 k 1 n 2 an Sn Sn 1 kn2 n k n 1 2 n 1 2kn k 1 经检验 n 1 式成立 an 2kn k 1 n N 2 am a2m a4m成等比数列 a am a4m 22m 即 4km k 1 2 2km k 1 8km k 1 整理得 mk k 1 0 对任意的 m N 成立 k 0 或 k 1 例 3 解 1 设公差为 d 则 a a a a 由性质得 3d a4 a3 d a4 a3 因为 2 22 52 42 3 d 0 所以 a4 a3 0 即 2a1 5d 0 又由 S7 7 得 7a1 d 7 7 6 2 解得 a1 5 d 2 所以 an 的通项公式为 an 2n 7 前 n 项和 Sn n2 6n 2 解法 1 设 2m 3 t amam 1 am 2 2m 7 2m 5 2m 3 则 t 6 所以 t 为 8 的约数 amam 1 am 2 t 4 t 2 t 8 t 因为 t 是奇数 所以 t 可取的值为 1 当 t 1 m 2 时 t 6 3 2 5 7 3 是数列 an 中的项 8 t 当 t 1 m 1 时 t 6 15 数列 an 中的最小项是 5 不符合 8 t 所以满足条件的正整数 m 2 解法 2 因为 am 2 6 为数列 an 中的项 amam 1 am 2 am 2 4 am 2 2 am 2 8 am 2 故为整数 又由 1 知 am 2为奇数 所以 am 2 2m 3 1 即 m 1 2 经检验 符 8 am 2 合题意的正整数只有 m 2 例 4 解 1 证明 由 an an 1 2n 得 an 1 2n an 所以 1 an 1 1 3 2n 1 an 1 3 2n 2n an 1 3 2n 1 an 1 3 2n an 1 3 2n an 1 3 2n 又因为 a1 所以数列 an 2n 是首项为 公比为 1 的等比数列 2 3 1 3 1 3 1 3 所以 an 2n 1 n 1 即 an 2n 1 n 所以 bn 2n 1 n 1 3 1 3 1 3 2 假设在数列 bn 中 存在连续三项 bk 1 bk bk 1 k N k 2 成等差数列 则 bk 1 bk 1 2bk 即 2k 1 1 k 1 2k 1 1 k 1 2 2k 1 k 即 2k 1 4 1 k 1 若 k 为偶数 则 2k 1 0 4 1 k 1 4 0 所以 不存在偶数 k 使得 bk 1 bk bk 1成等差数列 若 k 为奇数 则当 k 3 时 2k 1 4 而 4 1 k 1 4 所以 当且仅当 k 3 时 bk 1 bk bk 1成等差数列 综上所述 在数列 bn 中 有且仅有连续三项 b2 b3 b4成等差数列 3 要使 b1 br bs成等差数列 只需 b1 bs 2br 即 3 2s 1 s 2 2r 1 r 即 2s 2r 1 1 s 2 1 r 3 若 s r 1 在 式中 左端 2s 2r 1 0 右端 1 s 2 1 r 3 1 s 2 1 s 3 3 1 s 3 要使 式成立 当且仅当 s 为偶数时 又 s r 1 且 s r 为正整数 所以当 s 为不小于 4 的正偶数 且 s r 1 时 b1 br bs成等差数列 若 s r 2 时 在 式中 左端 2s 2r 1 2r 2 2r 1 2r 1 由 2 可知 r 3 所以 r 1 4 所以左端 2s 2r 1 16 当且仅当 s 为偶数 r 为奇数时 取 右端 1 s 2 1 s 3 0 所以当 s r 2 时 b1 br bs不成等差数列 综上所述 存在不小于 4 的正偶数 s 且 s r 1 使得 b1 br bs成等差数列 高考回顾 1 10 2 4 3 解析 设该数列为 an 首项为 a1 公差为 d 依题意 67 66 Error Error 即Error Error 解得Error Error 则 a5 a1 4d a1 7d 3d 4 3 21 66 67 66 4 4 解析 不妨设 a1 1 则 an n 1 an 1 22 n Sn S2n 2 n 1 2 1 an 1 1 2 1 2 2n 1 2 1 a 2n 1 1 2 1 Tn 17Sn S2n an 1 17 an 1 1 2 1 a 2 n 1 1 2 1 an 1 1 2 1 an 1 16 an 1 17 因为函数 g x x x 0 在 x 4 时 取得最小值 16 x 所以 Tn 在 an 1 4 时取得最大值 1 2 1 an 1 16 an 1 17 此时 an 1 n 4 解得 n 4 即 T4为数列 Tn 的最大项 则 n0 4 2 5 解 1 设成等差数列的三个正数分别为 a d a a d 则 a d a a d 15 a 5 数列 bn 中的 b3 b4 b5依次为 7 d 10 18 d 则