福建省长泰一中高考数学一轮复习《直线和平面垂直》学案

用心 爱心 专心1 第第 4 4 课时课时 直线和平面垂直直线和平面垂直 4 4 点到平面距离 过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离 5 5 直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时 这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距 离 例例 1 1 OA OB OC 两两互相垂直 G 为ABC 的垂心 求 证 OG平面 ABC 证明 证明 OA OB OC 两两互相垂直 OA 平面 OBC OA BC 又 G 为 ABC 的垂心 AG BC BC 面 OAG BC OG 同理可证 AC OG 又 BC AC C OG 平面 ABC 1 求证 MN CD 2 若PDA 45 求证 MN 面 PCD 证明 证明 1 连AC 取中点 O 连 NO MO 并且 MO 交 CD 于 R N 为 PC 中点 NO 为 PAC 的中位线 NO PA 而 PA 平面 ABCD NO 平面 ABCD MN 在平面 ABCD 的射影为 MO 又 ABCD 是矩形 M 为 AB 中点 O 为 AC 中点 MO CD CD MN 基础过关基础过关 典型例题典型例题 B A C O G P M B C D A N 用心 爱心 专心2 2 连 NR 则 NRM 45 PDA 又 O 为 MR 的中点 且 NO MR MNR 为等腰三角形 且 NRM NMR 45 MNR 90 MN NR 又 MN CD MN 平面 PCD 变式训练 2 PD 垂直于平面 ABCD 所在平面 PB AC PA AB 求证 ABCD 是正方形 PC BC 证明 略 例例 3 3 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PD 底面 ABCD AD PD E F 分别 为 CD PB 的中点 1 求证 EF 平面 PAB 2 设 AB BC 求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小 2 1 证明 证明 连结 EP PD 底面 ABCD DE 在 平面 ABCD 中 PD DE 又 CE ED PD AD BC Rt BCE Rt PDE PE BE F 为 PB 中点 EF PB 由垂线定理得 PA AB 在 Rt PAB 中 PF AF 又 PE BE EA EFP EFA EF FA PB FA 为平面 PAB 内的相交直线 EF 平面 PAB 2 解 解 不防设 BC 1 则 AD PD 1 AB PA AC PAB 为等腰直223 角三角形 且 PB 2 是其斜边中点 BF 1 且 AF PB PB 与平面 AEF 内两条相交 直线 EF AF 都垂直 PB 平面 AEF 连结 BE 交 AC 于 G 作 GH BP 交 EF 于 H 则 GH 平面 AEF GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角 由 EGC BGA 可知 EG GB EG EB AG AC 2 1 3 1 3 2 3 32 由 EGH BGF 可知 GH BF 3 1 3 1 sin GAH 6 3 AG GH AC 与面 AEF 所成的角为 arc sin 6 3 变式训练变式训练 3 3 如图 在三棱锥 A BCD 中 平面 ABD 平面 BCD BAD BDC 90 AB AD 3 BC 2CD 求 2 1 求 AC 的长 2 求证 平面 ABC 平面 ACD 3 求 D 点到平面ABC 的距离 d A B D C P D A B C F E 用心 爱心 专心3 解 解 1 2 略 30 3 因 VA DBC DC BD OA 6 3 1 2 1 3 又 VD ABC AB AC d d 3 1 2 1 15 VA BCD VD ABC 则d 6 解得 d 153 5 56 例例 4 4 如图 棱长为 4 的正方体 AC1 O 是正方形 A1B1C1D1的中心 点 P 在棱 CC1上 且 CC1 4CP 1 求直线 AP 与平面 BCC1B1所成角的大小 2 设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H 求证 D1HAP 3 求点 P 到平面 ABD1的距离 答案 答案 1 APB arctan 17 174 2 AP 在面 AC 上的射影为 AC 又 AC BD PA BD 而 BD B1D1 B1D1 AP 而 B1D1在平面 D1AP 上的射影为 D1H D1H AP 3 面 ABD1 面 BC1 过 P 作 PM BC1于 M 则 PM 2 23 变式训练变式训练 4 4 三棱锥 V ABC 的三条侧棱 VA VC 两两垂直 顶点 V 在底面内的射影是 H 1 求证 H 是 ABC 的垂心 2 ABCABHABV SSS 2 V E H A C B D 1 证明 证明 连结 AH 交 BC 于 D 点 连接 CH 交 AB 于 E 点 VA VB VA VC VB VC V VA VBC 面 又 BCVBC 面 BC VA VH ABC 面 BCABC 面 BC VH 又 VA VH A BC VHA 面 又 ADVHA 面 AD BC 同理可得 CE AB H 是 ABC 的垂心 2 连接 VE 在Rt VEC 中 VE2 EH EC AB2 VE2 AB2 EH EC 4 1 4 1 即 ABCABHABV