三角函数推导及公式大全

三角函数诱导公式三角函数诱导公式 公式一 设 为任意角 终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin 2k sin k Z cos 2k cos k Z tan 2k tan k Z cot 2k cot k Z 公式二 设 为任意角 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式三 任意角 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式四 利用公式二和公式三可以得到 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式五 利用公式一和公式三可以得到 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan cot 2 cot 公式六 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 cos sin 2 cos cos 2 sin cos 2 sin tan 2 cot tan 2 cot cot 2 tan cot 2 tan 诱导公式记忆口诀 诱导公式记忆口诀 奇变偶不变 符号看象限奇变偶不变 符号看象限 奇 偶 指的是 2 的倍数的奇偶 变与不变 指的是三角函数的名 称的变化 变 是指正弦变余弦 正切变余切 反之亦然成立 符号看象 限 的含义是 把角 看做锐角 不考虑 角所在象限 看 n 2 是 第几象限角 从而得到等式右边是正号还是负号 以 cos 2 sin 为例 等式左边 cos 2 中 n 1 所以右边符号为 sin 把 看成锐 角 所以 2 2 y cosx 在区间 2 上小于零 所以右 边符号为负 所以右边为 sin 符号判断口诀 全 S T C 正 这五个字口诀的意思就是说 第一象限内任何一个角的四种 三角函数值都是 第二象限内只有正弦是 其余全部是 第三象 限内只有正切和余切是 其余全部是 第四象限内只有余弦是 其余全部是 也可以这样理解 一 二 三 四指的角所在象限 全正 正弦 正切 余弦指的是对应象限三角函数为正值的名称 口诀中未提及的都是负值 ASTC 反 Z 意即为 all 全部 sin tan cos 按照将字母 Z 反过来写所占的象限对应的三角函数为正值 另一种口诀 正弦一二切一三 余弦一四紧相连 言之为正 万能公式推导万能公式推导 sin2 2sin cos 2sin cos cos2 sin2 因为 cos2 sin2 1 再把分式上下同除 cos 2 可得 sin2 2tan 1 tan2 然后用 2 代替 即可 同理可推导余弦的万能公式 正切的万能公式可通过正弦比余弦得到 三倍角公式推导三倍角公式推导 tan3 sin3 cos3 sin2 cos cos2 sin cos2 cos sin2 sin 2sin cos2 cos2 sin sin3 cos3 cos sin2 2sin2 cos 上下同除以 cos3 得 tan3 3tan tan3 1 3tan2 sin3 sin 2 sin2 cos cos2 sin 2sin cos2 1 2sin2 sin 2sin 2sin3 sin 2sin3 3sin 4sin3 cos3 cos 2 cos2 cos sin2 sin 2cos2 1 cos 2cos sin2 2cos3 cos 2cos 2cos3 4cos3 3cos 即 sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos 和差化积公式推导和差化积公式推导 首先 我们知道 sin a b sinacosb cosasinb sin a b sinacosb cosasinb 我们把两式相加就得到 sin a b sin a b 2sinacosb 同理 若把两式相减 就得到 cosasinb sin a b sin a b 2 同样的 我们还知道 cos a b cosacosb sinasinb cos a b cosacosb sinasinb 所以 把两式相加 我们就可以得到 cos a b cos a b 2cosacosb 同理 两式相减我们就得到 sinasinb cos a b cos a b 2 这样 我们就得到了积化和差的公式 cosasinb sin a b sin a b 2 sinasinb cos a b cos a b 2 好 有了积化和差的四个公式以后 我们只需一个变形 就可以得到和差化积 的四个公式 我们把上述四个公式中的 a b 设为 x a b 设为 y 那么 a x y 2 b x y 2 把 a b 分别用 x y 表示就可以得到和差化积的四个公式 sinx siny 2sin x y 2 cos x y 2 sinx siny 2cos x y 2 sin x y 2 cosx cosy 2cos x y 2 cos x y 2 cosx cosy 2sin x y 2 sin x y 2 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 商的关系 sin cos tan sec csc cos sin cot csc sec 平方关系 sin2 cos2 1 1 tan2 sec2 1 cot2 csc2 同角三角函数关系六角形记忆法同角三角函数关系六角形记忆法 构造以 上弦 中切 下割 左正 右余 中间 1 的正六边形为模型 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积 主要是两条虚线 两端的三角函数值的乘积 下面 4 个也存在这种关系 由此 可得商数关系式 平方关系 在带有阴影线的三角形中 上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角 函数值的平方 总结总结 两角和差公式 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 二倍角的正弦 余弦和正切公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 2tan 1 tan2 tan 1 2 sin 1 cos 1 cos sin 半角的正弦 余弦和正切公式 sin2 2 1 cos 2 cos2 2 1 cos 2 tan2 2 1 cos 1 cos tan 2 1 cos sin sin 1 cos 万能公式 sin 2tan 2 1 tan2 2 cos 1 tan2 2 1 tan2 2 tan 2tan 2 1 tan2 2 三倍角的正弦 余弦和正切公式 sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos tan3 3tan tan3 1 3tan2 三角函数的和差化积公式 sin sin 2sin 2 cos 2