平行线分线段成比例

你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 数学八年级数学八年级 18 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一 是研究比例线段及相似形 的最基本 最重要的理论 运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线 若无平行线 需作平 行线 而作平行线要考虑好哪一点作平行线 一般地是由比的两条线段启发而得 此外 还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形 例 1 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AD a BC b E F 分别是 AD BC 的中点 且 AF 交 BE 于 P CE 交 DF 于 Q 则 PQ 的长为 解题思路 建立含 PQ 的比例式 为此 应首先判断 PQ 与 AD 或 BC 的位置关系 关键是从复杂的图形中分解出基本 图形 并能在多个成比例线段中建立联系 例 2 如图 在 ABC 中 D E 是 BC 的三等分点 M 是 AC 的中点 BM 交 AD AE 于 G H 则 BG GH HM 等于 A 3 2 1 B 4 2 1 C 5 4 3 D 5 3 2 解题思路 因题设条件没有平行线 故须过 M 作 BC 的平 行线 构造基本图形 例 3 如图 ABCD 中 P 为对角线 BD 上一点 过点 P 作一直线分别交 BA BC 的延长线 于 Q R 交 CD AD 于 S T 求证 PQ PT PR PS 解题思路 要证 PQ PT PR PS 需证 由于 PQPR PSPT PQ PT PR PS 在同一直线上 故不能直接应用定理 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 需观察分解图形 例 4 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 1 如果 P E F 分别是 BC AC BD 的中点 求证 AB PE PF 2 如果 P 是 BC 上的任意一点 中点除外 PE AB PF DC 那么 AB PE PF 这 个结论还成立吗 如果成立 请证明 如果不成立 说明理由 解题思路 1 不难证明 对于 2 先假设结论成立 从平行线 出发证明 AB PE PF 即要证明 1 将线段和差问题 PEPF ABAB 的证明转化为与成比例线段相关问题的证明 例 5 如图 过 ABC 的顶点 C 任作一直线 与边 AB 及中线 AD 分别交于 F 和 E 求证 2AEAF EDFB 解题思路 从如何产生或入手 AE ED AF FB 练习一 1 设 K 则 K abc c abc b abc a 2 如图 AD EF BC AD 15 BC 21 2AE EB 则 EF 3 如图 在 ABC 中 AM 与 BN 相交于 D BM 3MC AD DM 则 BD DN 4 如图 ABCD 是正方形 E F 是 AB BC 的中点 连结 EC 交 DB DF 于 G H 则 EG GH HC 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 5 如图所示 ABC 中 D DE BC DF AC 则下列比例式中正确的是 A B AEDE ECBC AECF ECFB C D DEDF BCAC FCEC BCAC 6 如图 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 F 是 AD 上的一点 且 AF FD 1 5 连结 CF 并延长交 AB 于 E 则 AE EB 等于 A 1 10 B 1 9 C 1 8 D 1 7 7 如图 PQ AB PQ 6 BP 4 AB 8 则 PC 等于 A 4 B 8 C 12 D 16 8 如图 EF BC FD AB BD BC 则 BE EA 等于 3 5 A 3 5 B 2 5 C 2 3 D 3 2 9 1 阅读下列材料 补全证明过程 已知 如图 矩形 ABCD 中 AC BD 相交于点 O OE BC 于 E 连结 DE 交 OC 于点 F 作 FG BC 于 G 求证 点 G 是线段 BC 的一个三等分点 2 请你仿照上面的画法 在原图上画出 BC 的一个四等分点 要求 保留画图痕迹 不写画法及证明过程 10 如图 已知在 ABCD 中 E 为 AB 边的中点 AF FD FE 与 AC 相交于 G 求证 AG 1 2 AC 1 5 11 如图 梯形 ABCD 中 AD BC EF 经过梯形对角线的交点 O 且 EF AD 1 求证 OE OF 2 求的值 OEOE ADBC 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 3 求证 112 ADBCEF 练习二 1 如图 工地上竖立着两根电线杆 AB CD 它们相距 15cm 分别自两杆上高出地面 4m 6m 的 A C 处 向两侧地面上的 E D B F 点处 用钢丝绳拉紧 以固定电线杆 那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为 m 2 如图 ABCD 的对角线交于 O 点 过 O 任作一直线与 CD BC 的延长线分别交于 F E 点 设 BC a CD b CF c 则 CE 3 如图 D F 分别是 ABC 边 AB AC 上的点 且 AD DB CF FA 2 3 连 DF 交 BC 边的 延长线于点 E 那么 EF FD 4 如图 设 AF 10 FB 12 BD 14 DC 6 CE 9 EA 7 且 KL DF LM FE MN ED 则 KD DN 5 如图 AB EF CD 已知 AB 20 CD 80 BC 10 那么 EF 的值是 A 10 B 12 C 16 D 18 6 如图 ABCD 中 BAD 的平分线交 BD 于 E 交 CD 于 F 交 BC 的延长线于 G 则下列 结论正确的是 A AE EF FG B AE EF EG 22 C AE EG FG C AE EF AG 22 7 如图 在 ABCD 的边 AD 延长线上取一点 F BF 分别交 AC 与 CD 于 E G 若 EF 32 GF 24 则 BE 等于 A 4 B 8 C 10 D 12 E 16 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 8 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 3CD E 是对角线 AC 的中点 直线 BE 交 AD 于点 F 则 AF FD 的值是 A 2 B C D 1 5 3 3 2 9 如图 P 是梯形 ABCD 的中位线 MN 所在直线上的任意一点 直线 AP BP 分别交直线 CD 于 E F 求证 1 2 MNAEBF NPEPFP 10 如图 在四边形 ABCD 中 AC 与 BD 相交于 O 直线 平行于 BD 且与 AB DC BC ADl 及 AC 的延长线分别交于点 M N R S 和 P 求证 PM PN PR PS 11 如图 AB BD CD BD B D 是垂足 AD 和 BC 交于 E EF BD 于 F 我们可以证明 成立 9 不要求证出 以下请回答 若将图中垂直改为 111 ABCDEF AB CD EF 那么 1 还成立吗 如果成立 请给出证明 如果不成立 请说明理由 111 ABCDEF 2 请找出 S S和 S的关系式 并给出证明 ABDABEDABDCA 参考答案 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 例 1 提示 由 推得 PQ AD ab ab APDQ PFQF a b 例 2 选 D 例 3 提示 PQPBPR PSPDPT 例 4 1 略 2 结论仍成立 提示 PFBP CDBC PFCP ABBC 例 5 证明 过点 D 作 DM CF 交 AB 于点 M AEAF EDFM D 为 BC 中点 DM CD BM MF 即 AEAF EDFM 22 2 AFAF FMFB AE ED 2AF FB 练习一 1 2 或 1 2 17 3 7 1 4 5 4 6 5 B 6 A 7 C 8 C 9 略 10 提示 延长 FE 交 CB 的延长线于 H 易证 AEF BEH 1 4 AGAF GCHC 11 1 略 2 1 3 提示 1 EF 20E OEOE ADBC 练习二 1 12 5 2 提示 延长 FO 交 AB 于 G 则 OAG OCF 2 ac bc CFCE BGBE 3 2 1 提示 过 D 作 DG BC 交于 AC 于 G 则 AG GC 2 3 CF FA 2 3 4 5 2 提示 KD LF DN EM 7 6 2 3 LFEM AFAE 5 C 6 B 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 你的考试好帮手 记住我们的网址 快乐阅读网 7 E 提示 GEECBE BEEAEF 8 C 提示 延长 BF CD 交于点 G 9 提示 AD BC 2MN AEAD EPNP BFBC FPNP 10 提示 BOOCOD PRPCPN BOPOOD PMPAPS