第五节任意周期激励的响应

第五节第五节 任意周期激励的响应任意周期激励的响应 前面所讨论的问题都是在振动系统上仅作用一个简谐前面所讨论的问题都是在振动系统上仅作用一个简谐 激励或支承只有一种简谐运动所引起的强迫振动 这种情激励或支承只有一种简谐运动所引起的强迫振动 这种情 况在实际问题中还是比较少的 许多情况是系统上受到一况在实际问题中还是比较少的 许多情况是系统上受到一 种非简谐的周期激励力或支承运动的作用 在一般情况下 种非简谐的周期激励力或支承运动的作用 在一般情况下 一个周期函数都可以展开为傅里叶函数 因此一个周期激一个周期函数都可以展开为傅里叶函数 因此一个周期激 励函数 激励力或支承运动 便可以分解为一系列不同频励函数 激励力或支承运动 便可以分解为一系列不同频 率的简谐函数来处理 设周期激励函数可表达为率的简谐函数来处理 设周期激励函数可表达为 3 31 0 00 1 cossin 2 nn n F tF tT a antbnt 式中式中 激励函数的周期 激励的基频为激励函数的周期 激励的基频为 T 0 2 T 上式表明一个复杂的周期激励函数可以分解为一系列具有上式表明一个复杂的周期激励函数可以分解为一系列具有 基基频整倍数的许多谐波函数的频整倍数的许多谐波函数的叠加 其中叠加 其中 和和 0 a n a n b 是傅氏级数的系数 分别为是傅氏级数的系数 分别为 0 0 2 T aF t dt T 0 0 2 cos T n aF tntdt T 0 0 2 sin T n bF tntdt T 一个有阻尼的弹簧质量系统在周期激励力一个有阻尼的弹簧质量系统在周期激励力作用下作用下 F t 的振动微分方程为的振动微分方程为 a 0 00 1 cossin 2 nn n mxcxkxF t a antbnt 1 上式的第一项上式的第一项表示一个常力 它只会影响系统的静表示一个常力 它只会影响系统的静 0 2 a 平衡位置 设第一项平衡位置 设第一项的解为的解为 代入上式 代入上式 0 2 a xconst 得得 0 2 a x k 2 方程方程 b 00 1 cossin nn n mxcxkxantbnt 的通解可分为成两部分 的通解可分为成两部分 一部分是有阻尼的自由振动的齐次解 由此前的 一部分是有阻尼的自由振动的齐次解 由此前的 讨论知 这部分振动在阻尼作用下经过一段时间后就衰减讨论知 这部分振动在阻尼作用下经过一段时间后就衰减 掉 因此 在考虑稳态振动时同样可以忽略 掉 因此 在考虑稳态振动时同样可以忽略 另一部分是稳态振动的非齐次特解 对于线性系 另一部分是稳态振动的非齐次特解 对于线性系 统 稳态振动的解可以按照叠加原理 将式 统 稳态振动的解可以按照叠加原理 将式 b 右边的任 右边的任 何一项单独地按 何一项单独地按 3 1 式的微分方程一样地求其特解 然 式的微分方程一样地求其特解 然 后把所有的特解叠加起来 就得到稳态振动方程 后把所有的特解叠加起来 就得到稳态振动方程 b 的特 的特 解 例如解 例如 c 0 cos n mxcxkxant 其解为其解为 1 1 1 0 cos nnn xXnt 式中式中 1 2 22 1 1 2 n n nn a X k rr 1 2 2 1 n n n r tg r 0 nn n k rn m 而而 d 0 sin n mxcxkxbnt 其解为其解为 2 2 2 0 sin nnn xXnt 式中式中 2 2 22 1 1 2 n n nn b X k rr 2 1 2 2 1 n nnn n r tgtgtg r 方程方程 的特解为的特解为 00 cossin nn mxcxkxantbnt 1 2 1 2 00 00 2 22 cos sin cos sin 1 2 nnn nnnn nnnn nn xxx XntXnt antbnt krr 方程 方程 b 的特解为的特解为 00 1 cossin nn n mxcxkxantbnt 1 00 2 22 1 cos sin 1 2 n n nnnn n nn xx antbnt krr 则振动微分方程 则振动微分方程 a a 0 00 1 cossin 2 nn n mxcxkxF t a antbnt 的特解为 的特解为 000 2 22 1 cos sin 2 1 2 nnnn n nn xxx aantbnt k krr 3 32 式中式中 2 2 1 n n n r tg r 要注意的是 对于一个受有周期激振力作用的振动系要注意的是 对于一个受有周期激振力作用的振动系 统 可以证明 统 可以证明 在小阻尼的情况下 当在小阻尼的情况下 当 即 即1 n r 或 或 时 第 时 第 个简谐分量就个简谐分量就 0n n 0 1 n n n 会引起系统的共振 因此 当系统的固有频率为激振会引起系统的共振 因此 当系统的固有频率为激振 力频率的整倍数时 系统都将发生力频率的整倍数时 系统都将发生共振 共振 所以在周期所以在周期 性激振力作用下 为了避免共振发生 不仅要使固有频率性激振力作用下 为了避免共振发生 不仅要使固有频率 远离激振力的频率 而且还要远离激振力频率的整倍数 远离激振力的频率 而且还要远离激振力频率的整倍数 但由于高阶共振振幅很小 因此在实际问题中 只要计算但由于高阶共振振幅很小 因此在实际问题中 只要计算 前几个低阶共振就可以了 前几个低阶共振就可以了 例题 例题 计算图示基础具有周期运动所引起的系统稳态响应 计算图示基础具有周期运动所引起的系统稳态响应 已知基础运动规律为已知基础运动规律为 1 t xh T 1Ts m c k 1 k 1 xx T2T t 1 x 0 h m cx kx 11 k x x 解 激励基频为解 激励基频为 0 2 2 rad s T 系统运动微分方程为系统运动微分方程为 11 11 mxcxkk xk xk ht 则激励力为则激励力为 1 11 F tk xk ht 故有故有 0 0 11 0 2 2 T T aF t dt T k htdtk h T 0 0 1 0 2 cos 2 cos 2 0 T n T aF tntdt T k htnt dt T 0 0 1 1 0 2 sin 2 sin 2 T n T bF tntdt T k h k htnt dt Tn 则激励力为则激励力为 1 1 1 sin2 2 n hh F tknt n 11 1 1 1 sin2 2 n hkhk mxcxkk xnt n 令令 2 1 n kk m 2 n c m 0 2 n nn nn r 则由常力项引起的响应为则由常力项引起的响应为 01 1 22 e ahk x kkk 而由力而由力 引起的响应为引起的响应为 1 1 1 sin2 n h knt n 00 2 22 1 2 22 1 1 cos sin