管理类联考数学复习笔记

199 概念篇 整数 1 0 是自然数 最小的自然数是 0 1 既不是质数 也不是合数 2 偶数 2n 奇数 2n 1 或 2n 1 其中 n 属于整数 3 奇数与偶数 相邻两整数必有一奇一偶 在一个加 减 算式中 判断其结果的奇偶性 只取决于奇数的 个数 奇数个奇数为奇 其余均为偶 4 奇数的正整数次幂是奇数 偶数的正整数次幂是偶数 5 最小的质数是 2 20 以内的质数有 2 3 5 7 11 13 17 19 6 最小的合数是 4 20 以内的合数有 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 7 公倍数和公约数 对于两个整数 两数之积等于最小公倍数乘以最大公约数 8 因式定理 如果多项式 f a 0 那么多项式 f x 必定含有因式 x a 反过来 多项式 f x 含有因式 x a 则立 即推 f a 0 可以进一步理解 当因式为 0 时 原表达式也为 0 9 10 整除的特点 能被 2 整除的数 个位为 0 2 4 6 8 能被 3 整除的数 各数位数字之和必能被 3 整除 能被 5 整除的数 个位为 0 或 5 能被 9 整除的数 各数位数字之和必能被 9 整除 199 习题篇 答案 1 已知 3a2 2a 5 是一个偶数 那么整数 a 一定是 A 奇数 B 偶数 C 任意数 D 0 E 质数 解析 因为 2a 是偶数 所以 3a2 5 也是偶数 所以 3a2是奇数 a 一定是奇数 考点 奇数和偶数的概念和计算 2 2 5 7 11 都是质数 如果把其中的三个数相乘 再减去第四个数 这样得到的数中 是质数的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 E 0 解析 列举法进行依次计算即可 3832 1175 1037 1152 1495 1172 5911 752 所得结果均为质数 考点 质数的概念 3 已知两个自然数的和是 50 它们的最大公约数是 5 这两个自然数的乘积一定是 A 9 的倍数 B 7 的倍数 C 45 的倍数 D 75 的倍数 E 18 的倍数 解析 设两个自然数分别为 a b 且 a4 解析 条件 1 把 a 4 代入 有 m 2 6 3m 4 即 m 2 3m 6 4 有 或或 4632 2 mm m 4632 22 mm m 4632 2 mm m 解之得 m 2 故条件 1 2 都充分 考点 绝对值不等式 9 m 增大 2 倍 1 m 2 的分母增大 2 要保持分数值不变 2 m 2 的分母变为原来的 2 倍 要保持分数值不变 解析 条件 1 2 其实分母都变成了 4 即分母变为原来的 2 倍了 所以要保持值不变 则分子也应 变为 2m 即增大 1 倍 均不充分 考点 分数的性质 12 10 ba 7 51 ba 02 ab 解析 条件 1 和 2 单独都不充分 联合起来 有或 则7 5 ba7 5 ba 所以条件 1 和条件 2 联合起来充分 12 ba 考点 绝对值的三角不等式及其性质 199 概念篇 整式与分式 1 乘法公式 acbcabcbacba babababa babababa bababa babbaaba bababa 222 33 2 2222 2233 2233 22 3223 3 22 2 2 单项式是有限个数字与字母的乘积 多项式是有限个单项式组成的 二者统一称为整式 3 若单项式所含字母相同 并且相同字母的次数也相同 则称为同类项 4 两个多项式相等 则其对应次数项的系数相等 两个多项式任意取值时 多项式的值都相等 5 因式分解方法 1 提公因式法 2 公式法 利用上述公式 3 求根法 若某一元二次方程的根是 则就是这个一元二次方程的一个因式 1 x 1 xx 4 十字相乘法 6 余式定理 若除以得到商式 余式是 则 其中的次数小于 xF xf xg xR xF xf xg xR xR 的次数 则 xf 1 若有使 则ax 0 af aRaF 2 除以的余式为 除以的余式为 xF ax aF xF bax a b F 3 对于 若时 0 则是的一个因式 若是的一个因式 则 xFax aF ax xF ax xF 也将此结论称为是因式定理 0 af 7 分式中分母不为 0 则分式有意义 8 最简分式 既约分式 分子和分母没有正次数的公因式的分式叫作最简分式 或既约分式 习题 1 老师在黑板上写一道数学题 已知两多项式 A B 若 B 为 2x2 3x 3 求 A B 其中 A 的多项式被擦 掉了 而甲误将 A B 看成 A B 结果求得答案为 4x2 x 5 则此题正确的答案为 A 8x2 7x 1B 10 x2 5x 7C 4x2 x 5 D 10 x2 x 7E 8x2 x 7 解析 A B 4x2 x 5 A 4x2 x 5 2x2 3x 3 6x2 4x 2 A B 6x2 4x 2 2x2 3x 3 8x2 7x 1 选 A 考点 多项式的计算 2 若的三边长为满足 则为 ABC cba bcacabcba 222 ABC A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形E 以上结论均不正确 解析 变形 则bcacabcba 222 0 222 bcacabcba 得到 为等边三角形 选 C0 2 222 bcacabcba cbacbcaba 0 222 ABC 考点 完全平方公式的运用及常用的结论 cbacbcaba 0 222 3 若多项式能被整除 则实数 axxaxxf3 223 1 xa A 0B 1C 0 或 1 D 2 或 1E 2 或 1 解析 整除 则直接令即可 计算得 选 E1 x12或 a 考点 余式定理 4 将因式分解为 76 3 xx A 71 2 xxxB 71 2 xxxC 7 1 2 xxx D 7 1 2 xxxE 7 1 2 xxx 解析 7 1 1 6 1 1 661 76 2 2 33 xxx xxxx xxxx 选 A 考点 因式分解和乘法公式 199 概念篇 函数 1 一元二次函数的定义 一元二次函数是指只有一个未知数 且未知数的最高次数为二次的多项式函数 一元二次函数可以表示为 一般式 0 2 acbxaxy 顶点式 0 4 4 2 2 2 a a bac a b xay 两点式 0 21 axxxxay 2 一元二次函数的图像和性质 一元二次函数的图像是一条抛物线 图像的顶点坐标为 对称轴是直线 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 当 函数图像开口向上 y 有最小值但无最大值 当 函数图像开口向下 y0 a a bac y 4 4 2 min 0 a 有最大值但无最小值 a bac y 4 4 2 max 当 函数在区间上是减函数 在上是增函数 0 a a b 2 a b 2 当 函数在区间上是增函数 在上是减函数 0 a a b 2 a b 2 3 一元二次函数的图像与 x 轴的交点 当时 函数图像与 x 轴有两个交点 04 2 acb 当时 函数图像与 x 轴有一个交点 04 2 acb 当时 函数图像与 x 轴没有交点 04 2 acb 习题 1 设实数 x y 满足 则的最小值为 32 yxyyx2 22 解析 由代入得 可以看成关于 y 的二次函数 利用一元二次函数的图像和yx2 3 91052 222 yyyyx 性质 得到最小值为 4 总结 本题首先将已知等式代入所求的表达式中 化为只含有一个未知数的函数 从而借助于抛物线来求解最值 2 已知抛物线的对称轴为 且过点 1 1 那么cbxxy 2 1 x b c 解析 根据一元二次函数的图像和性质及点的坐标 得到 2 2 11 1 2 c b cb b 总结 根据抛物线的特征来列方程 从而得到系数 3 设 1 a b 成等差数列且 a b 是两个不相等的实数 则函数的最小值与 0 的关系 baxxxf 2 2 解析 根据等差数列的性质可得 根据一元二次函数的图像可知1212 abba 2 22 2 min 112 4 44 aaaab ab xf 同时 a b 是两个不相等的实数可知 综上所述 1 a 0 min xf 总结 本题考查了等差中项的性质应用 以及二次函数最值的基本问题 199 概念篇 方程 1 含有未知数的等式叫做方程 使得方程 组 成立的未知数叫做方程 组 的解 2 一元一次方程 方程中 只含一个未知数且未知数的次数为 1 二元一次方程 方程中 只含有两个未知 数且未知数的次数都为 1 3 一元一次方程的解 bax 1 有唯一解时 当 a b xa0 2 有无穷多解 时 当xba00 3 无解 时 当xba00 4 二元一次方程组及其解 222 111 cybxa cybxa 1 若方程组有唯一解 2 1 2 1 b b a a 2 若方程组有无穷多解 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 3 若方程组无解 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 5 一元二次方程 0 0 2 acbxax 求根的方式 21 x x 1 配方法 2 求根公式 方程的根 其中称为一元二次方程的根的判 04 2 4 2 2 acb a acbb x acb4 2 别式 时 方程无实根 当0 实根 时 方程有两个相等的当0 实根 时 方程有两个不等的当0 3 韦达定理 描述一元二次方程根与系数的关系 两根分别为 a c xx a b xxxx 212121 则有 习题篇 1 若方程恰好有两个正整数的解则的值是 037 2 pxx 21 x x p xx11 21 解 根据韦达定理 可知 37 21 xxpxx 21 又为正整数解 且两根的积 37 为质数 所以得 21 x x 带入 得 2 37 1 21 xx38 p p xx11 21 总结 灵活地应用韦达定理 2 已知关于的一元二次方程有两个相异实根 则求的取值范围 x 0112 22 xkxkk 解 由题意知 解得且 04 12 0 2 2 2 kk k 4 1 k0 k 总结 考查点为判别式与一元二次 方程的实根个数的关系 1 是方程的两实根 则的最大值 21 x x 0532 22 kkxkx 2 2 2 1 xx 解 195610 53222 2 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 kkk kkkxxxxxx 因为方程有两个实数根则 05342 2 2 kkk 解得 3 4 4 k 根据抛物线的图像可知 当时 取到最大值 18 4 k 2 2 2 1 xx 总结 灵活应用韦达定理和判别式 与一元二次方程的实根个数 的关系 199 概念篇 不等式 1 不等式的解集 对于含有未知数的不等式 能使其成立的未知数的值的集合 叫做这个不等式的解集 2 一元二次不等式 1 方法一 可通过一元二次函数图象进行求解 根据二次项系数的正负 开口方向 顶点坐标 对称轴等 采用数形结合的思想 进行初步判定解集情况 再利用求根公式求出方程的两个实数根 写出解集 2 方法二 可利用用配方法解一元二次不等式 3 含绝对值的不等式 解含绝对值不等式一般有两种思路 1 利用绝对值的性质去掉绝对值符号 2 利用平方进行等价变换 4 高次不等式 先不等式变形 使不等式两边 一边为 0 然后再解相对应的高次等式的根 最后利用穿根法求解 1 最高次项的系数一定为正 才可以从数轴右上角开始 2 穿线法则是奇穿偶不穿 即含 x 的因式 偶数次幂和奇数次幂 5 分式不等式 先转化成整式不等式再进行求解 注意分母必须有意义 习题篇 1 设则不等式的解是 10 x1 1 23 2 2 x x 解 则 10 x01 2 x 0 1 123 01 1 23 1 1 23 2 22 2 2 2 2 x xx x x x x 即 2 2 2 2 012 2 xx 又 10 x 解集为 2 2 0 x 总结 对于分式不等式通常 先转化成整式不等式 再进行求解 同时注 意分母必须有意义 2 关于 x 的方程有两个相异实根 且两根均在区间上 则实数的取值范围 011 2 xax 20 a 解 区间根问题 根据题意 知 解得 02 00 2 2 1 0 041 2 f f a a 1 2 3 a 总结 区间根问题使用 两点式 解题 方法 即看顶点 横坐标相当于 对称轴 纵坐标相当于 再 看端点 根所分布区间的端点 对于一元二次方程的不等式问题 要有数形结合的思想 即先画出 函数图象的草图再进行求解 3 已知不等式的解集是 则 022 2 xxa 2 1 3 1 a 解 根据题意知 2 1 3 1 21 xx 由韦达定理可知 6 1 2 1 3 12 21 a xx 即12 a 总结 注意一元二次不等式 一元二次 方程之间的关系 199 概念篇 数列 一 数列 数列的定义 依一定次序排列的一组数 数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列的一般表达式为 或简记为 项数有限的数列称为有穷数列 项数无限的数列称为无穷数列 123 n a a aa n a 数列通项 其中叫做数列的通项 自然数 n 叫做的序号 如果通项与 n 之间的函数关系可以用 n a n a n a n a 一个关于 n 的解析式表达 则称为数列的通项公式 f n n af n n a 数列的前 n 项和 记作 对于数列显然有 n s n a 12nn Saaa 二 等差数列 是等差数列等价于 n a 1 nn aad d 为常数 等差数列的通项公式 1 1 n aan d nm aan m d 等差中项 若成等差数列 则 b 是的等差中项 且 a b c a c 2 ac b 等差数列的前 n 项和 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n nd Sna 三 等比数列 是等比数列等价于 n a 1 n n a q q a 为常数 等比数列的通项公式 1 1 nn m nnm aa qaa q 等比中项 若成等比数列 则 b 是的等比中项 且 a b c a c 2 bac 等比数列的前 n 项和 1 1 1 1 n n aq Sq q 习题 1 数列的前 n 项和 则它的通项 n a 2 42 n Snn n a 解 当时 1 n 3 11 Sa 当时 2 n 38 21 1 4 24 2 2 1 nnnnnSSa nnn 从而 2 38 1 3 nn n an 总结 要注意分情况讨论 2 数列的前 n 项和 则它的通项 n a 3 3 2 nn Sa n a 解 当时 1 n6 3 2 3 1111 aaSa得 当时 2 n 整理得 即3 2 3 3 2 3 11 nnnnn aaSSa 1 3 nn aa3 1 n n a a 因此是首项为 公比的等比数列 即 n a6 1 a3 q n n a32 总结 要注意分情况讨论 本题先得到 与的关系式 再求出通项 n a 1 n a n a 3 设三数成等差数列 若分别是和的等比中项 求 a b c x y a b b c 22 xy 解 由题意得所以 bcy abx cab 2 2 2 222 2bcabyx 总结 考查了等差 等比数列的中项 习题 1 一元二次函数的最大值为 xxy 1 解 方法一 用二次函数求最值 4 1 2 1 2 2 xxxy 4 1 max y 方法二 用平均值定理求最值 4 1 2 1 1 2 xx xx 总结 本题考点二次函数的最值 平 均值不等式 2 已知三数成等差数列 又成等比数列 设是方程的两个根 且则cba 0 2 cbxax 33 解 由于三数成等差数列 又成等比数列 故 原方程可化为cba 0 cba 01 2 xx 根据韦达定理得 54 2 2 33 总结 考查了数列与方程根 3 设方程的两个实数根和满足则的值为 053 2 mxx 1 x 2 x1 11 21 xx m 解 根据韦达定理 有 51 3 5 3 11 21 21 21 m m xx xx xx 总结 借助韦达定理求出两根的导数 和 4 设 其中则对于满足的值 的最小值是 2020 axxaxy20 a0 20 xaxy 解 由于 20 xaxxaxaxy 402020 当时 取得最小值是20 xy20 y 总结 根据取值范围进行绝对值的化 简 然后根据的取值范围讨x 论的变换范围 y 充分条件判断题充分条件判断题 1 设 a b 是两个不相等的实数 则函数的最小值小于零 baxxxf 2 2 1 1 a b 成等差数列 2 1 a b 成等比数列 解 题干欲证最小值 00 4 44 2 2 ab ab 条件 1 根据等差数列性质可得 1212 abba 01212 222 aaaaab 当时 有 1 a012 2 aa 又因 a b 是两个不相等的实数是两个不相等的实数 所以 故 即充分 1 a012 2 aa 2 ab 条件 2 根据等比数列的性质可得 ba 2 则 0 故不充分 2 ab 22 aa 总结 抛物线的最小值 2 1log x a 1 2 1 2 4 1 2 xa 4 6 12 xa 解 题干欲证 log1log1log1 aaa xxx 或 条件 1 则对数单调减小 有故充分 11 1 2 ax a 且 1 loglog1 aa x a 条件 2 则对数单调减大 有故也充分 12axa 且loglog1 aa xa 总结 考查了对数函数的单调性 平面几何 1 三角形相关结论 1 三角形外角等于不相邻的两个内角之和 2 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 3 三角形的 四心 内心 内切圆圆心 角平分线的交点 内心到三边的距离相等 外心 外接圆圆心 三边的垂直平分线的交点 重心 三条中线的交点 重心将中线分成 2 1 两段 垂心 三条高的交点 4 直角三角形的勾股定理 勾股定理 常用的勾股数要记住 3 4 5 6 8 10 5 12 13 直角三角形与内切圆半径的关系 设直角三角形三边分别为 a b c c 为斜边 内切圆半径为 r 则 2rabc 5 相似三角形面积的比等于相似比的平方 6 三角形面积公式 通用的公式 2 1 cpbpappahS 其中 是三角形的周长的一半 半周长 2 1 cbap 等腰三角形的面积 为腰长 为底边 ba a baS 42 1 2 2 等边三角形的面积 2 4 3 aS 2 四边形 1 梯形 设上底为 a 下底为 b 高为 h 则中位线 l a b 2 面积 S a b h 2 2 平行四边形 设两边为 a b 以 b 为底边的高为 h 则面积 S bh 3 菱形 设四边边长均为 a 以 a 为底边的高为 h 则面积 S ah l1l2 2 其中 l1 l2分别为对角线的长 3 圆和扇形 1 扇形 设 为扇形角的弧度数 为扇形角的角度 r 为扇形半径 则 弧长 rl 2 360 扇形面积 lrrS 2 1 360 2 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 3 等弧对等角 同一段弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍 直径所对的圆周角为直角 习题 1 三角形的两边长分别为 2 和 9 周长为偶数 则第三边的长为 解 设第三边长为 x 则 7 x 11 由于周长为偶数 所以第三边长为奇数 故 x 等于 9 总结 考查了三角形边的关系 三角形 任意两边之和大于第三边 两边 只差小于第三边 2 梯形 ABCD 的上底与下底分别为 5 7 E 为 AC 与 BD 的交点 MN 过点 E 且平行于 AD 则 MN 解 根据梯形的性质 可知 CEBAED 相似于 7 5 EC AE BCME AC AE BC ME 12 5 12 5 ADME CA CE AD NE 12 7 12 7 6 35 NEMEMN 总结 相似三角形的性质 3 P 是以 a 为边长的正方形 P1是以 P 的四边中点为顶点的正方形 P2是以 P1的四边中点为顶点的正方形 Pi是 以 Pi 1的四边中点为顶点的正方形 则 P6的面积是 解 后一个正方形 Pi的面积是前一个正方形 Pi 1面积的 正方形 P 面积是 2 1 2 a 正方形 P1面积是正方形 P2面积是递推知 2 2 a 22 2 a 正方形 P6面积是 即 64 2 2 6 2a a 总结 归纳递推关系 立体几何 一 长方体 设长方体三条相邻的棱长分别为 a b c 1 体积 Vabc 2 全面积 2 Sabbcca 3 体对角线 222 dabc 4 当时 为正方体abc 二 圆柱体 设圆柱体的高为 底半径为 轴截面为矩形 其中一边长为底面圆的直径 另一边为圆柱的高 母线长 hr 侧面展开图为矩形 其中一边长为底面圆的周长 另一边为圆柱的高 母线长 1 体积 2 Vr h 2 侧面积 2Srh 侧 3 全面积 2 22Srhr 三 球 设球半径为 R 1 体积 3 4 3 VR 2 面积 2 4SR 四 长方体 正方体 圆柱与球的关系 设圆柱底面半径为 球半径为 圆柱的高为 rRh 内切球外接球 长方体无体对角线2lR 正方体 棱长2aR 体对角线2 23 lRRa 圆柱 只有轴截面是正方形的圆柱才有 此时有22rhR 22 2 2hrR 习题 1 一个长方体 有共同顶点的三条对角线长分别为 它的体对角线长是 cba A 222 cba B 222 2 1 cba C 222 4 1 cba D 2 22 2 cba E 2 22 3 cba 解析 设长方体长 宽 高分别为 体对角线为zyx l 则有 222222222 cxzbzyayx 所以体对角线长是 2 22 222 2 cba zyxl 答案选择 D 考点 考查了对角线与体对角线的关系 2 现在一个半径为 R 的球体 拟用刨床将其加工成正方体 则能加工成的最大正方体的体积是 A 3 3 8 R B 3 9 38 R C 3 3 4 R D 3 3 1 R E 3 9 3 R 解析 正方体内接于球体时体积最大 设正方体长为 a 则 所以正方体体积 3 2 32 R aaR 33 9 38 RaV 答案选择 B 总结 本题考查了正方体的内切球 3 一圆柱体的高与正方体的高相等 且它们的侧面积也相等 则圆柱体的体积与正方体体积比值是 A 4 B 3 C 3 D 4 E 解析 设正方体棱长为 a 圆柱体底面半径为 r 因为 圆柱体侧面正方体侧面 SS 所以 2 24 2 a rara 因此 3 2 23 42 aa a arVaV 圆柱体正方体 圆柱体的体积与正方体体积比值是 4 答案选择 A 总结 本题考查了圆柱体的体积与正方体 体积 解析几何 上 一 平面直角坐标系一 平面直角坐标系 1 定义平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应 x y y x O 2 有向线段的定比分点 设点 点是直线上不同于点的一点 若 则称为点分有 11 A xy 22 B xy P xyABB AP PB uu u v uuv P 向线段所成的比 AB uu u v 分点的坐标为 P 1212 11 xxyy xy 特别地 当时 点为线段的中点 则 1 PAB 1212 22 xxyy xy 二 平面直线二 平面直线 1 直线方程 1 点斜式 过点 斜率为的直线方程为 000 P xyk 00 yyk xx 2 斜截式 斜率为 在轴上的截距为的直线方程为kyb ykxb 3 两点式 过两个不同的点 的直线方程为 111 P x y 222 P xy 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 且 4 截距式 在轴上的截距为 在轴上的截距为的直线方程为xayb 1 00 xy ab ab 且 5 一般式 不全为零 0AxByC A B 2 两条直线的位置关系 设两条直线 或 111 lyk xb 222 lyk xb 1111 0lA xB yC 2222 0lA xB yC 两条直线的位置关系有四种 1 重合 111 1212 222 ABC kk bb ABC 2 平行 111 1212 222 ABC kk bb ABC 3 相交 11 12 22 AB kk AB 4 垂直 12 1k k 1212 0A AB B 习题 1 若三个数成等差数列 则直线必经过点 bk 1 bkxy A 21 B 21 C 21 D 21 E 12 解析 由成等差数列知即直线化为bk 1 2 bk 2kb 即 过定点2 kkxy 12 xky 2 1 答案选择 A 总结 本题考查了定点如何求 2 已知直线和直线互相垂直 则等于 0312 1 yaxal 02321 2 yaxala A 1B 1C 1 D 2 3 E 0 解析 两直线垂直 则 01132112 aaaaaa 可得 1 a 答案选择 C 总结 本题考查了两直线的位置关 系 3 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A 1 2 B 3 4 C 0 3 则顶点 D 的坐标为 A 4 3 B 4 3 C 4 3 D 4 4 E 3 4 解析 设平行四边形 ABCD 的对角线 AC BD 的交点为 E x y 可知 E 为 AC 的中点 所以 2 1 2 23 2 1 2 01 yx E 也是 BD 的中点 所以 2 1 2 4 2 1 2 3 DD yx 解得 3 4 D D y x 答案选择 C 总结 利用平行四边形的性质求点 坐标 解析几何 中 平面直线平面直线 3 直线夹角 1 倾斜角 直线斜率的计算公式 k 设为直线 的倾斜角 则 l 0 tan 2 k 设是直线 上的两个不同的点 则 111222 P x yP xyl 21 12 21 yy kxx xx 直线的斜率为0AxByC 0 A kB B 2 到角 直线按逆时针方向旋转到直线时所转的角 记作 1 l 2 l 0 设直线的斜率分别为 且 则 12 ll 12 k k 12 1k k 21 12 tan 1 kk k k 3 夹角 直线到的角和直线到的角中较小的角 记作 有 1 l 2 l 2 l 1 l 0 2 21 12 tan 1 kk k k 4 两条平行直线的距离 设直线的方程分别为为 则两条直线的距离为 12 l l 12 0 0AxByCAxByC 12 22 CC d AB 5 两种对称 1 两点关于直线对称 垂直 平分 点关于轴的对称点为 a bx ab 点关于轴的对称点为 a by a b 点关于原点的对称点为 a b ab 点关于的对称点为 a byx b a 点关于的对称点为 a byx ba 2 直线和直线关于直线对称 交于一点 到角相等 直线关于轴的对称直线为ykxb xykxb 直线关于轴的对称直线为ykxb yykxb 直线关于直线的对称直线为ykxb yx xkyb 直线关于直线的对称直线为ykxb yx xkyb 习题 1 设点 则线段 AB 的垂直平分线的方程为 4 7 A 6 5 B A 0145 yxB 0156 yxC 0156 yx D 0257 yxE 0752 yx 解析 设点 P x y 为 AB 的垂直平分线上任意一点 则 可得PBPA 2222 6547 yxyx 解得0156 yx 答案选择 C 总结 本题巧妙地利用了线段垂直平 分线的性质 2 条件充分判断 直线 L 的方程为 0 934 yx 1 L 经过两条直线和的交点 0132 yx043 yx 2 L 与直线垂直 0743 yx 解析 条件 1 和 2 显然单独不充分 联合起来 有 两条直线和的交点为 直线 L 的斜率是0132 yx043 yx 9 7 3 5 y x 所以直线 L 的方程为 3 4 k 0 934 yx 总结 考查了两直线的位置关系 点 斜式确定直线的方程 3 点关于直线的对称点是 7 2P03 yx A 5 4 B 4 5 C 4 5 D 5 4 E 7 2 解析 设点 垂直平分得由对称轴将 b PPaP 5 4 03 2 7 2 2 1 2 7 b a ba a b 答案选择 B 总结 点关于直线对称 解题要点 两点连线垂直平分对称轴 解析几何 下 三 圆三 圆 在一个平面内 线段绕它固定的一个端点旋转一周 另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆 第一OAA 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合 第二定义 1 圆的方程 1 标准方程 圆心为 半径为 r 的圆的方程为 a b 222 xaybr 2 一般方程 2222 0 40 xyDxEyFDEF 一般方程可通过配方化为标准方程 22 22 4 224 DEDEF xy 2 点与圆的关系 设点到圆的圆心的距离为 pp P xy 222 00 xxyyr d 1 点在圆内 dr 222 00 pp xxyyr 2 点在圆上 dr 222 00 pp xxyyr 3 点在圆外 dr 222 00 pp xxyyr 3 直线与圆的关系 直线 圆 为圆心到直线 的距离 l ykxb 222 00 Oxxyyr d 00 xyl 直线与圆的交点坐标即是方程组的解 222 00 ykxb xxyyr 1 相交 dr 2 相切 dr 3 相离 dr 4 圆的切线方程 1 已知圆方程 22 0 xyDxEyF 若已知切点在圆上 则切线只有一条 其方程是 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 当在圆外时 表示过两个切点的切点弦方程 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 过圆外一点的切线方程可设为 再利用相切条件求 这时必有两条切线 注意不 00 yyk xx k 要漏掉平行于轴的切线 y 斜率为 k 的切线方程可设为 再利用相切条件求 必有两条切线 ykxb b 2 已知圆方程 222 xyr 过圆上的点的切线方程为 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率为的圆的切线方程为 k 2 1ykxrk 5 圆与圆的关系 设两圆方程分别为 圆心距为 222 1111 Oxxyyr 222 2222 O xxyyr d 圆与圆的交点坐标即是方程组的解 222 111 222 222 xaybr xaybr 1 内含 12 drr 2 内切 12 drr 3 相交 1212 rrdrr 4 外切 12 drr 5 外离 12 drr 习题篇 1 曲线上点到直线的最短距离是 02 22 yxx01243 yx A 5 3 B 5 4 C 1 D 3 4 E 2 解析 圆的方程为 圆心到直线的距离 11 2 2 yx 01 01243 yx rd 1 5 9 169 123 所以最短距离为 5 4 rd 答案选择 B 总结 先确定直线与圆的关系 这 里最短距离等于为圆心到已 知直线的距离减圆的半径 2 已知直线过圆的圆心 则的最大值为 0 003 babyax0124 22 yyxxba A 16 9 B 16 11 C 4 3 D 8 9 E 4 9 解析 圆的方程为 圆心到 2 22 21 2 yx 12 直线得 0 003 babyax32 ba 利用均值不等式得则 当且仅当时 达 2223abba 8 9 ab 2 3 4 3 ba 到最大值 答案选择 D 总结 以解析几何为背景 利用二 次函数或者基本不等式求最 值 3 设 P 是圆上的一点 该圆在点 P 的切线平行于直线 则点 P 的坐标为 2 22 yx02 yx A 11 B 1 1 C 20 D 02 E 11 解析 设 根据题意可知 可得方程 baP 02 yxOP直线 可以解出 11 2 22 a b ba 1 ba 答案选择 E 方法二 利用排除法 因为切点在第一象限或第三象限 所以答案选择 E 总结 画草图可以判断出圆 与平行于直线2 22 yx 的切线相切 02 yx 切点在第一象限或第三象限 习题 1 已知两点 则直线的倾斜角为 acbQcbaP PQ A 45B 90C 120D 135E 60 解析 设直线的倾斜角为 PQ 1tan ab ba ab cbac 且所以 180 0 135 答案选择 D 总结 直线的倾斜角取值范围 要记清 180 0 2 直线到直线 的角是 13 1 xyl 2 l2 y A 120B 90C 06D 135E 03 解析 由题意 知0 3 21 kk 根据到角公式3 1 tan 21 12 kk kk 直线到直线的角为 1 l 2 l 120 答案选择 A 总结 求到角时 一定要明确哪条 直线到哪条直线 3 等腰三角形两边长 4 和 6 则它的面积是 A 28B 1528或 C 73D 7328或E 15 解析 由三角形的性质知 等腰三角形的边长为 4 4 6 或 4 6 6 所以28244 2 1 7376 2 1 SS或 答案选择 D 总结 三角形有两种情况 要分情 况求 4 若 P 2 1 为圆的弦 AB 的中点 则直线 AB 的方程为 251 2 2 yx A 03 yxB 03 2 yxC 032 yx D 01 yxE 052 yx 解 根据题意知圆心 所以 0 1O 1 1 1 21 10 po k 由于 所以ABPO 1 AB k 那么直线 AB 的方 即21 xy03 yx 答案选择 A 总结 本题考查了圆的弦中点 的性质 两条直线垂直时 其 斜率关系 充分条件判断题充分条件判断题 1 正方形 ABCD 的面积为 1 1 AB 的直线方程为 2 1 xy 2 AD 的直线方程为 xy 1 解 条件 1 令 所以 A 点的坐标为得 0 y 2 2 x 0 2 2 正方形 ABCD 的面积为 1 条件 1 充分 1 2 2 ADAO 条件 2 令 所以 A 点的坐标为得 0 y1 x 01 正方形 ABCD 的面积为 2 条件 2 不充分 2 1 ADAO 答案选择 A 总结 对于解析几何中的面积问题 求正方形面积时 通过交点求 出边长即可 2 已知圆 C 及直线 则直线被圆 C 截得的弦长为 042 22 ayax03 yxl32 1 12 a 2 12 a 解 圆 C 的圆坐标为 半径为则圆心到直线 2 a2 r 03 yxl 的距离那么 2 32 a d 012 2 1 4232 2 2 aa a 解得 21 a 所以条件 1 充分 条件 2 不充分 答案选 A 总结 本题考查了直线与圆相交的情 况 要注意弦长与圆半径的关 系 加法与乘法计数原理 一 加法原理和乘法原理 加法原理加法原理 做一件事 完成它有类办法 在第一类办法中有种不同的方法 在第二类办法中有种不n 1 m 2 m 同的方法 在第类办法中有种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 n n m 12n Nmmm L 乘法原理乘法原理 做一件事 完成它需要分成个步骤 做第一步有种不同的方法 做第二步有种不同的方n 1 m 2 m 法 做第步有种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 n n m 12n Nm mm L 二 加法原理和乘法原理的异同 相同点 分类计数原理和分步计数原理 回答的都是关于做一件事的不同方法种数的问题 不同点 加法原理是完成这件事的分类计数方法 每一类都可以独立完成这件事 乘法原理是完成这这件 事的分步计数方法 每个步骤都不能独立完成这件事 习题 1 3 个女生和 5 个男生排成一排 如果女生必须在一起 则共有 种不同排法 A 4220B 4320C 4300D 2220E 286 解析 将三个女生捆绑在一起 把她们看成一个整体 同 5 个男生合住在一起共有 6 个元 素 所以共有 36 36 4320pp 答案选 B 总结 本题考查了排队问题中 对 于相邻问题要采用捆绑法 2 七个人排成一排 甲 乙 丙三个互不相邻的排法共有 种 A 840B 1020C 1100D 1340E 1440 解析 先将除甲 乙 丙之外的 4 个人全排列 有种排法 4 4 p 再将甲 乙 丙插入四个人形成的 5 个空中 有种排法 5 5 p 所以共有 43 45 1440pp 答案选 E 总结 本题考查了排队问题中 对 于不相邻问题要采用插空法 3 5 个数的算术平均值为 25 现在去掉一个数 剩余数的算术平均值为 31 则去掉的数为 A 1B 6C 11D 124E 2 解析 5 个数的和为 25 5125 剩余数 4 个数的和为 31 4124 则去掉的数为 1 答案选 A 总结 本题较为简单 考察了算术 平均值的定义 排列组合 二 排列与排列数公式二 排列与排列数公式 1 排列 从个不同元素中 任取个元素 按照一定的顺序排成的一列 叫做从个不同元素中任取个元n m mn nm 素的一个排列 注 两个排列相同的条件 含有相同元素 元素排列顺序完全相同 2 排列数 从个不同元素中任取个元素的所有排列的种数 叫做从个不同元素中任取个元素的排列数 n m mn nm 用符号 或 表示 当时 即从个不同元素中取出个元素的排列 叫做个元素的全排列 也 m n p m n Amn nnn 叫的阶乘 用符号 表示 nn 注 排列与排列数的不同 排列不是数 而排列数是一个数 所以 符号只表示排列数 而不表示具体 m n p 的排列 3 排列数公式 排列数公式如下 1 2 1 m n pn nnnm L m n n p nm m n pn 注意 规定 1 2 3nn L 0 1 0 1 n P mkm k nnn k pp p 4 元素可重复的排列 从个不同元素中 每次取出个元素 其中允许元素重复出现 再按照一定的顺序排成一列 那么第一 nm 第二 第位上选取的方法都是个 所以从个不同元素中 取出个可重复元素的排列种数是个 Lmnnm m n 三 组合与组合数公式三 组合与组合数公式 1 组合 从个不同元素中 任取 个元素并成的一组 叫做从个不同元素中任取个元素的一个组合 nmmn nm 注 不同元素 只取不排 无序性 相同的组合 元素相同 2 组合 从个不同元素中任取 个元素的所有组合的总数 叫做从个不同元素中任取个元素的组合数 nmmn nm 用符号表示 m n C 规定 显然 1 0 1 n C n n C 3 组合数公式 1 2 1 m m n n m m m n m n p C p n nnnm C m n C m nm L 排列是先组合再排列 mmm nnm PCP 4 组合数的两个性质 mn m nn CC 注 此性质作用 当时 计算可变为计算 能够使运算简化 2 n m m n C n m n C 1 1 mmm nnn CCC 注 此性质作用 恒等变形 简化运算 四 常用组合恒等式四 常用组合恒等式 1 012 2 nn nnnn CCCC L 2 0241 2n nnn CCC L 3 1351 2n nnn CCC L 概率 1 随机试验和随机事件 1 随机试验 若试验满足条件 试验可在相同条件下重复进行 试验的结果具有很多可能性 试验前不能确切知道会出现何种结果 只知道所有可能出现的结果 这样的试验叫作随机试验 简称试验 常记为 E 2 样本空间 样本点 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间 记为 样本空间的元素 即 E 的每个结果 称为样本点 记为 ei 3 随机事件 随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 常记为 A B C 4 基本事件 必然事件 不可能事件 由一个样本点组成的单点集 称为基本事件 基本事件也叫样本点 样本点一般不可再分 样本空间包含所 有样本点 在每次试验中总是要发生的 称为必然事件 常记为 每次试验中一定不发生的事件 称为不可能事件 记为 2 事件的关系及运算 1 如果事件的发生必然导致事件的发生 则称事件包含事件 或称事件包含于事件 记作 ABBAAB BAAB 或 2 如果事件包含事件 且事件包含事件 即 BAAB BAAB 且 也就是说 二事件与中任一事件发生必然导致另一事件的发生 则称事件与相等 记作 ABAB BA 3 二事件与中至少有一事件发生 这一事件叫做事件与的并 记作 ABAB BA n 个事件中至少有一事件发生 这一事件叫做事件的并 记作 n AAA 21 n AAA 21 1 21i n i n AAAA 简记为 4 二事件与都发生 这一事件叫做事件与事件的交 记作 ABAB 或ABBA n 个事件都发生 这一事件叫做的交 记作 n AAA 21 n AAA 21 1 2121i n i nn AAAAAAA 简记为或 5 如果二事件与不可能同时发生 即 AB AB 则称二事件与是互不相容的 或互斥的 AB 通常把两个互不相容事件与的并记作 AB BA 如果 n 个事件中任意两个事件不可能同时发生 即 n AAA 21 1 njiAA ji 则称这 n 个事件是互不相容的 或互斥的 通常把 n 个互不相容事件的并记作 n AAA 21 1 21 n i in AAAA简记为 6 如果二事件与是互不相容的 并且它们中必有一事件发生 即二事件与中有且仅有一事件发 ABAB 生 即 BAAB且 则称事件与事件是对立的 或互逆的 称事件是事件的对立事件 或逆事件 同样事件也是事件 A