高一数学向量、向量的加法与减法人教版知识精讲

用心 爱心 专心 高一数学向量 向量的加法与减法高一数学向量 向量的加法与减法人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 向量 向量的加法与减法 二 重点 难点 1 向量的概念 2 向量的加法与减法的定义 3 会用加法与减法的平行四边形法则和三角形法则作出向量的和与差 典型例题典型例题 例 1 以下命题中真命题的个数是 1 0 aa 2 00 a 3 aa 0 4 向量与向量平行 则 的方向相同或相反 abab A 0B 1C 2D 3 解 解 1 假命题 因为两向量之差仍为向量 所以应 0 aa 2 假命题 因为实数与向量的积是向量 所以应有 00 a 3 真命题 aaa 00 4 假命题 若与中有一个为 则它的方向不确定 ab0 综上 应选择 B 例 2 下列命题中假命题的个数是 1 向量与是共线向量 则 A B C D 四点共线 ABCD 2 四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 DCAB 3 四边形 ABCD 中 DABCCDAB 4 若两非零向量 与的方向相同或相反 则的方向必与或的方向相abba ab 同 A 1B 2C 3D 4 解 解 1 是假命题 共线向量是指平行向量 故与平行不一定 A B C D 四ABCD 点共线 2 真命题 3 假命题 由 ABCD 为四边形 则有 故0 DACDBCAB DABCCDAB 4 假命题 当时 的方向不确定 0 baba 综上 应选择 C 例 3 已知正方形 ABCD 的边长等于 1 求作向量cACbBCaAB 和向量以及 cba cba cba 用心 爱心 专心 D A B C E b a 图 1 解 解 如图 1 由于ACBCABba 又由 延长 AC 至点 E 使得 CE AC 则ACc AEcba 又如图 2 DBADABBCABba D A a B C b c c a b F 图 2 过点 B 作 即 故ACBF cBF DFBFDBcba 如图 3 作 即 ACDG cDG D A a B C b c a b G c 图 3 而 则baADABDB GBDGDBcba 例 4 设 P 是的重心 试证明 ABC 0 PCPBPA A G B M P N C 证明 证明 如图设 M N P 分别是边 BC AC AB 的中点 由 ABC BMABAM CMACAM 用心 爱心 专心 则有 2CMBMACABAM 又由 M 是 BC 中点 故 即0 CMBM 2 1 ACABAM 同理可得 2 1 BABCBN 2 1 CBCACG 故0 2 1 CBCABABCACABCGBNAM 又由点 P 是的重心ABC 则 AMAP 3 2 CGCPBNBP 3 2 3 2 故 3 2 CGBNAMCPBPAP 又由 则0 CGBNAM0 CPBPAP 故0 PCPBPA 例 5 试比较下列向量模的大小 1 与 ba ba 2 与 ba ba 解 解 1 分情况讨论 当 中至少有一个为时 ab0 ba ba 当 均为非零向量时 若与同向 则 abab ba ba 若与异向 则 ab ba ba 若与不共线 则 ab ba ba 2 当与中至少有一个为时 则ab0 baba 当与均为非零向量时 根据向量加减法的平行四边形法则可知 与ab ba 是以 为边的平行四边形的两条对角线的长 如图分三种情况讨论 设 ba a b 与的夹角为 ab D A B C b a b a b a D AB C a b a b a b D C AB a b a b 图 1 图 2 图 3 若 如图 1 则有 900 baba 若 如图 2 则有 90 baba 若 如图 3 则有 18090 baba 例 6 设点 G 为四边形 ABCD 对角线的中点连线 MN 的中点 点 P 为该平面内任意一点 证明 PDPCPBPAPG 4 用心 爱心 专心 D C A P B M GN 证明 证明 如图所示 设四边形 ABCD 的对角线 AC BD 中点分别为 M N 由 PM 为的中线 故APC 2 1 PCPAPM 同理可知 2 1 PDPBPN 又由 G 为 MN 中点 则有 2 1 PNPMPG 4 1 PDPCPBPA 即PDPCPBPAPG 4 特别地 当 P 与 G 重合时可以得到 0 GDGCGBGA 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 下列命题中正确的个数为 1 若向量与共线 与共线 则向量与共线abbcac 2 共线的单位向量都相等 3 向量与反向 则向量与的方向相同ab ba ba a 4 向量与不共线 则 均为非零向量abab A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 平行四边形 ABCD 中 等于 ADCDBC A B C D BDABACBA 3 非零向量 不共线 且 则向量 与 的关系是 ab ba abab A 平行B 垂直C 相交但不垂直D 相等 4 已知的三个顶点 A B C 及平面内一点 P 若 则点ABC ABPCPBPA P 与的位置关系是 ABC A P 在内部ABC B P 在外部ABC C P 在 AB 边上或它的延长线上 D P 在 AC 边上且为 AC 的一个三等分点 二 填空题 用心 爱心 专心 5 已知 AD BE 分别是的边 BC AC 上的中线 且 则ABC bBEaAD BC 6 点 P 为四边形 ABCD 内部一点 点 E F 分cPCbPBaPA dPD 别为 AB CD 的中点 则 EF 三 证明题 7 任意四边形 ABCD 的边 AD BC 的中点分别为 E F 求证 2 1 DCABEF 8 用向量方法证明 四边形为平行四边形的充要条件是它的两条对角线互相平分 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一 1 B 析 1 与 4 正确 2 D3 B4 D 二 5 6 ba 3 4 3 2 2 1 badc 三 7 证法一 如图 则0 AEBAFBEFEAABBFEF 同理 由 则0 DECDFCEF EDDCCFEF 故EDEADCABCFBFEF 2 由 E F 分别为 AD BC 中点 则 0 CFBF0 EDEA 故 2 1 DCABEF D C F B E A 证法二 如图 在平面内取点 O 作 则有OEOF 2 1 2 1 OCOBOFODOAOE 又由OEOFEF 2 1 2 1 DCABODOAOCOBEF D C F B E A O 证法三 如图 作 则四边形 ABGC 为平行四边形 故对角线 AG 过 BCABCG 用心 爱心 专心 中点 F 则 EF 为的中位线 故 又由 ADG DGEF 2 1 ABDCCGDCDG 所以 2 1 DCABEF D C F B E A G 8 证明 先证充分性 若四边形对角线互相平分 如图OBDOOCAO 则有 OBAOAB AOOBOCDODC 故 则四边形 ABCD 为平行四边形DCAB 再证必要性 设 AC 中点为 O1 BD 中点 O2 在平行四边形 ABCD 中