高一数学应用举例及本章综合人教实验A版知识精讲

用心 爱心 专心 高一数学应用举例及本章综合人教实验高一数学应用举例及本章综合人教实验 A 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 应用举例及本章综合 二 重点 难点 1 把实际问题抽象成为数学问题 2 相关的最值问题 典型例题典型例题 例1 ABC中 1 求A 2 若 求证 cos cossinsinsinCBACB 4 S 周长不小于4 ABC 12 解 解 1 由已知 22 222222 ab cba ac bca acb b cba c bca cb 222222 2 2 222 cbbcbcabccb 22 2bcabc 0 222 cba ABCRt 90 A 2 4 2 1 bcS8 bc cbcbcbal 22 16 2 cbcb 24324 22 bccbcbcb 12 42416 l 例2 在 O中MN为直径 MN 2 A在MN延长线上NA 1 B为 O上一点 以AB为边向 O外作正 ABC 求的最大值 OACB S四 解 解 设 AOB为 180 0 cos2 222 OBOAOBOAAB 用心 爱心 专心 cos45 sinsin 2 1 OBOAS OAB cos3 4 35 4 3 2 ABS ABC cos3sin 4 35 四 S 3 sin 2 4 35 时 6 5 2 4 35 max 四 S 例3 ABC中 求证 Scba34 222 证 证 Scba34 222 CabCabbabasin32cos2 2222 sin 2 3 cos 2 1 4 2 22 CCabba 6 sin 444 2 22 Cabababba 0 6 sin 1 4 2 2 Cabba Scba34 222 例4 在 ABC中 已知角B 45 D是BC边上一点 AD 5 AC 7 DC 3 求AB 解 解 在 ADC中 14 11 372 537 2 cos 222222 DCAC ADDCAC C 又 1800 C 14 35 sin C 在 ABC中 C AB B AC sinsin 2 65 72 14 35 sin sin AC B C AB 例5 如图 在四边形ABCD中 已知AD CD AD 10 AB 14 BDA 60 求BC的长 BCD 135 用心 爱心 专心 解 解 在 ABD中 设 则xBD BDAADBDADBDBA cos2 222 即 60cos1021014 222 xx 整理得09610 2 xx 解之 舍去 16 1 x6 2 x 由正弦定理 BCD BD CDB BC sinsin 2830sin 135sin 16 BC 例6 如图 在山脚测得山顶仰角 CAB 45 沿倾斜角为30 的斜坡走1000米至S点 又测得山顶仰角为 DSB 75 求山高 解 解 SAB 45 30 15 SBA ABC SBD 45 15 30 ASB 180 30 15 135 在 ABC中 米 21000 2 1 2 21000 30sin 135sin AS AB 米 1000 2 2 2100045sin ABBC 所以山高为1000米 例7 如图 一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内 已知飞机的高度为海拔10 千米 速度为180千米 小时 飞行员先看到山顶的俯角为30 经过2分钟后又看到山顶的 俯角为75 求山顶的海拔高度 解 解 在 ABP中 BAP 30 APB 75 30 45 6 60 2 180 AB 用心 爱心 专心 根据正弦定理 BAP BP APB AB sinsin 30sin45sin 6BP 23 BP 2 333 3045sin 2375sin BP 所以 山顶P的海拔高度为 千米 2 3317 2 333 10 h 例8 某巡逻艇在A处发现北偏东45 相距9海里的C处有一艘走私船 正沿南偏东75 的方 向以10海里 小时的速度向我海岸行驶 巡逻艇立即以14海里 小时的速度沿着直线方向追去 问巡逻艇应该沿什么方向去追 需要多少时间才能追赶上该走私船 解 解 在 ABC中 ACB 45 75 120 AC 9 设需要t小时才能追赶上该走私船 则AB 14t BC 10t 根据余弦定理 ACBBCACBCACAB cos2 222 120cos1092 10 9 14 222 ttt 0273032 2 tt 解得 2 3 t 所以 21 2 3 14 AB15 2 3 10 BC 根据正弦定理 BAC BC ACB AB sinsinBAC sin 15 120sin 21 6186 0 14 35 sin BAC 21 38 BAC 21 8345 BAC 所以 此巡逻艇应该沿北偏东方向去追 需要小时才能追赶上该走私船 21 83 2 3 例9 如图 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为 沿BE方向前进30米至点C处测 得顶端A的仰角为2 再继续前进米至D点 测得顶端A的仰角为 求的大小 310 4 和建筑物AE的高 解 解 在 ABC中 由 BAC ACD ABC 2 可得AC BC 30 在 ADC中 DAC ADE ACD 2 用心 爱心 专心 ADC 180 4 AC 30 310 DCAD 根据正弦定理 ADC AC DAC CD sinsin 2cos2sin2 30 4180sin 30 2sin 310 解得 所以 即 15 2 3 2cos 302 在中 ADE 4 60 AEDRt 310 AD 1560sin310sin ADEADAE 所以 建筑物AE的高为15米 15 例10 如图 在河对岸可以看到两个目标物M N 但不能到达 在河岸边选取相距40米 的P Q两点 测得 MPN 75 NPQ 45 MQP 30 MQN 45 试求两个 目标物M N之间的距离 解 解 在 PQN中 PQ 40 PQN 30 45 75 NPQ 45 PNQ 180 75 45 60 根据正弦定理 NPQ NQ PNQ PQ sinsin 45sin60sin 40NQ 3 640 45sin 60sin 40 NQ 在 PQM中 MQP 30 MPQ 75 45 120 PMQ 180 30 120 30 根据正弦定理 MPQ MQ PMQ PQ sinsin 120sin30sin 40MQ 340120sin 30sin 40 MQ 在 MNQ中 根据余弦定理 MQNNQMQNQMQMN cos2 222 3 8000 45cos340 3 640 2 340 3 640 222 MN 两个目标物M N之间的距离米 3 1540 MN 模拟试题模拟试题 答题时间 60分钟 1 如图 为了测量障碍物两侧A B间的距离 给定下列四组数据 测量时应当选用数 用心 爱心 专心 据 A B C D ba a bab 2 边长为5 7 8的三角形的最大角与最小角之和的 A 90 B 120 C 135 D 50 3 两灯塔A B与海洋观察站C的距离都为10km 灯塔A在C北偏东15 B在C南偏东 则A B之间的距离为 45 A B C D km35km310km315km320 4 海上有A B两个小岛相距10海里 从A岛望C岛和B岛成60 的视角 从B岛望C岛和 A岛成75 的视角 则B C间的距离是 A 海里B 海里C 海里D 海里310 3 610 2565 5 在 ABC中 已知 则C 2 222444 baccba A 30 B 45 C 45 或135 D 30 或150 6 ABC中 若 B 30 则BC 32 AB3 AC 7 如图 为了测定河的宽度 在一岸边选定两点A B 望对岸标记物C 测得 CBA 75 AB 120m 则河的宽度为 30 CAB 8 某市在 旧城改造 中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 已 知这种草皮每平方米元 则购买这种草皮至少要 a A 450a元B 225a元C 150a元D 300a元 9 一个三角形两边为3 5 其夹角余弦值是方程的根 则此三角形面0675 2 xx 积为 A 6B 12C 15D 30 10 在 ABC中 若 则 ABC的形状一定是 CABsinsincos2 A 等腰直角三角形B 直角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 11 三角形的两边之差为2 夹角的余弦值为 这个三角形的面积为14 那么这两边分 5 3 别为 A 3 5B 4 6C 6 8D 5 7 12 已知A B C是 ABC的三个内角 则在下列各结论中 不正确的为 用心 爱心 专心 A cos sinsin2sinsinsin 222 CBCBCBA B cos sinsin2sinsinsin 222 CACACAB C CBABACcossinsin2sinsinsin 222 D cos sinsin2sinsin sin 222 BACBBABA 13 在 ABC中 AB 4 ABC的面积为 则AC 3 B3 14 如图 在 ABC中 BC 10 B 60 C 45 则点A到边BC的距离是 15 一货轮航行到M处 测得灯塔S在货轮的北偏东15 相距20海里处 随后货轮按北 偏西30 的方向航行 半小时后 又测得灯塔在货轮的北偏东45 求货轮的速度 16 如图 在某点B处测得建筑物AD的顶端A的仰角为15 沿BD方向前进 米至点C处测得顶端A的仰角为60 求建筑物AD的高 31030 17 已知 ABC的三个内角A B C 满足 BA BA C coscos sinsin sin 1 判断 ABC的形状 2 设三边成等差数列且 求 ABCcba 2 6cmS ABC 三边的长 18 已知圆内接四边形ABCD的边长AB 2 BC 6 CD DA 4 求四边形ABCD的面积 用心 爱心 专心 19 在 ABC中 求分别满足下列条件的三角形形状 60 Bacb 2 BaAbtantan 22 BA BA C coscos sinsin sin sin sin 2222 BAbaBAba 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 C 2 B3 B4 D5 B6 37 60m 8 C 9 A 10 C11 D12 D13 13 14 3515 15 解 如图所示 SMN 15 30 45 SNM 180 45 30 105 NSM 180 45 105 30 由正弦定理 105sin 20 30sin MN 26 10 MN 26 20 2 1 26 10 所以 货轮的速度为海里 小时 26 20 16 解 在 ABC中 ABC 15 31030 BC CAB 60 15 45 根据正弦定理 ABC AC CAB BC sinsin 15sin45sin 31030AC 310 3045sin 45sin 31030 AC 在 ADC中 米 1560sin310sin ACDACAD 17 解 1 C BA BA sin sinsin coscos c ba ac bac bc acb 22 222222 化简整理得0 222 bacba ABC为直角三角形 222 cba 2 由已知得 222 cba bca2 6 2 1 ab 解得 cma3 cmb4 cmc5 18 解 如图 连续BD 则四边形面积 CCDBCAADABSSS CBDABD sin 2 1 sin 2 1 180 CACAsinsin AACDBCADABSsin16sin 2 1 在 ABD中 由余弦定理得AABDcos1620cos42242 222 在 CDB中 CBDcos4852 2 CAcos4852cos1620 又 ACcoscos 2 1 cos A A 120 得38sin16 AS 用心 爱心 专心 19 解 由余弦定理 2 1 22 60cos 222222 ac bca ac bca acacca 22 0 2 ca 由及可知 ABC为等边三角形ca ca 60 B 由 B Ba A Ab BaAb cos sin cos sin tantan 22 22 A B a b BA AB 2 2 2 2 sin sin cossin cossin BBAAcossincossin A B或A B 90