近轴物点近轴光线成象的条件

3 8 近轴物点近轴光线成象的条件 到此为止 我们仅研究了光线从单独一点发出而为球面反射或折射后所产生的象点 特别是在近轴光线条件下的成象问题 但是物体总是有一定形状和大小的 点光源实际上 是不存在的 然而物体上的每一点仍然可以看做是一个发光点 问题在于不在主轴上的任 意一个发光点 Q 所发的光束 经球面反射或折射后是否仍能保持光束的单心性 应在怎 样的条件下才能保持单心 而成象于单独的一点 对于这些问题前面有时已经遇到 但 Q 还没有严格证明过 根据费马原理可以推论 物体上任一发光点所发的光束经球面反射或折射后 能成Q 象于单独一点的条件是 从所发出的所有光线到达点时的光程都应该相等 下面 QQ Q 根据这个条件分别讨论球面反射和球面折射的情况 一 近轴物在近轴光线条件下球面反射的成象公式 从点作直线段垂直于主轴 从象点作直线段也垂直于主轴 图 3 26 QQP Q Q P 为球面镜顶点 为入射点 OA Q P Q P O A A y y x h i i 图 3 26 令 OPs OPsh OAx PQy P Qy AA 垂直于主轴 从延任一光线到的光程为QQA Q 2222 QAQQAAQ sxyhsxyh 当物点和入射点离开主轴都很近的情况下 和 h 都要比和QAyh y sx 小得多 如果利用二项式定理将上式展开并略去高次项 即得 见附录 3 3 sx 22 2 22 112 2 yyyy QAQssh ssss h ssr 要使所有从点发出的光线到点的光程都相等 必须满足这样的一个条件 即 Q Q 应与无关 即上式中含有和的各项都应等于零 即 QAQhh 2 h 3 32 112 0 ssr 和 3 33 0 yy ss 3 32 式和 3 15 式有相同的形式 但 3 15 式只对主轴上的物点适用 3 32 式 表示 如果和有相同的值 则 和 也应当有相同的 S 值 就是说如果物QPs Q P 是垂直于主轴的线段 则象也是垂直于主轴的线段 这是符合理想成象的要求的 3 33 式仅表示 与之比 取决于与之比 在近轴物成象 不大 的情况下 从图中 yy ssy 的几何关系也可以直接看出 这是一定能够满足的 从上述推导过程可以看出 不在主轴上的一个发光点能够理想成象于单独一个象点Q 必须同时满足下列两个限制条件 1 Q 1 光线必须是近轴的 在图 3 26 中必须有 近似式才能适用 hr 2 2xhr 即 的展开式中 u 的所有高次项都可略去 3 32 式正 5 3 sin 53 uuuu 是根据这一条件得出的 2 物点必须是近轴的 即物点离主轴的距离 y 必须比它离球面顶点的距离小得s 多 这样的光程 的展开式中 和的所有高次项才可略去 QAQ 2 yh sx 2 yh sx 即在 53 15 2 3 1 iiitgi 的展开式中 略去 的所有高次项 3 33 式也符合这个条件 i 满足上述条件的理想成象理论也称为一级近似理论 二 近轴物在近轴光线条件下球面折射的物象公式 球面折射时的情况也可用同样方法处理 Q A P Q PO s s y x n n u i h i u y 图 3 27 图 3 27 表示不在主轴上的点成象于点 在近轴物点近轴光线的条件下 从沿任一Q QQ 光线到的光程按上节所讨论的结果为 Q r n r n s n s nh s yn s ny h s yn s y snns s hy nxsn s hy nxsn hyxsnhyxsnQAQ 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 22 故与无关的条件为 QAQh 3 34 0 nnnn ssr 和 3 35 0 nyn y ss 3 34 式和 3 18 式也有相同的形式 线状物如果垂直于主轴 线状象PQ 也垂直于主轴 P Q 从图 3 27 可以看到 为光线的入射角 是它的折射角 POQi QO P OQi 如果点是近轴的 即Q sin sin iiii 则从图可见由此可得 isyisy ysi ysi 在这样的近轴条件下 也可以用近似的折射定律 于是上式又可写作 in in ysn ysn 这便是 3 35 式 二 亥姆霍兹 拉格朗日定理 由于和有同样的值 和也有同样的值 故上式中也可认为是对于QPs Q P s s s 和而言的 从作任一入射线和折射线 它们的倾斜角为和 在近P PPPA APu u 轴光线的条件下 故上式又可写作 hsus u 3 36 n y unyu 由上式可见 和受到近轴物点的限制 和受到近轴光线的限制 上式正好把这y yu u 两个限制条件联系起来了 这个关系式便是亥姆霍兹 拉格朗日定理 凡物点不在主轴上而 能理想成象 即能够保持光束单心性的 都必须满足亥姆霍兹 拉格朗日定理 如果把反射 认为是折射的特例 即 则由上式可得适用于球面反射的 3 33 式 nn 亥姆霍兹 拉格朗日定理还可作如下的解释 令 3 37 y y 横向放大率 和 tgu tgu 在近轴光线条件下 3 38 u u 角度放大率 角度放大率 又可叫光束会聚比 表示任意一条光线和主轴的夹角在通过光具组前后 的比 即光束会聚和发散程度之比 于是 亥姆霍兹 拉格朗日定理又可写作 3 39 n n 即和的乘积应该是一常数 也就是说横向放大率愈大 角度放大率就愈小 这个定理限制了用光学系统改变光束形式的自由 要用光学系统把一个光束改变成为 具有任何预先给定形式的另一光束 并不是随心所欲的 换句话说 象的横向放大率的改 变 永远伴随着角度放大率的改变 希望在不改变角度放大率的条件下改变象的横向放大 率是不可能的 这一重要的原则性的限制 在光学系统聚集成象的各种问题中 具有特殊 的意义 要使共轴的两个球面折射时能产生理想的象 每一次折射都必须遵从亥姆霍兹 拉格朗 日定理 先考虑两个球面和 图 3 28 11 A 22 A P A1 A2 B1 B2 P2 n1 n1 n2 y1 y2 n2 y2 u2 u2 u1 图 3 28 左边介质的折射率为 右边为 同样 以和分别表示两边介质的折 11 A 1 n 1 n 2 n 2 n 22 A 射率 从线状物处作任意的入射线与主轴成交角 折射线与主轴所成的PQ 1 PA 1 u 12 AB 交角为和 第二次折射后 与主轴的交角为 以 和 分别表示对于 1 u 2 u 22 B P 2 u 1 y 1 y 第一个界面的物长和象长 都垂直于主轴 而以和分别表示对于界面的物长 2 y 2 y 22 A 和象长 每个界面上折射所成的象如果都是理想的 则都应满足亥姆霍兹 拉格朗日定理 1