基于傅里叶级数的定积分计算技巧

Vo 1 1 3 NO 3 M a v 2 Ol 0 高等数学研究 S TUDI ES I N C LLE GE MATHEMATI CS 31 基于傅里叶级数的定积分计算技巧 郑 晨 邱 为钢 湖州 师范学院理 学院 浙江湖州 3 1 3 0 0 0 摘 要 对数 三角函数可 以在长度为 的区间上展 开为傅 里叶级数 通过交换 积分 和求 和 的次 序 对数 三角 函数的定积 分就 转化为无 穷求 和形式 后者可 以通过基本 的求 和方法求 出 关键词 定积分 傅里 叶级 数 对数 三角 函数 中图分类 号 O1 7 2 1 O1 7 4 2 理工科专业对 于高 等数 学的要求是非常强的解 析计算能力 反应在定 积分的计算上 不仅要掌握 常 见的技巧 如文 1 的变量代换方法 文 2 的交换和 减半换元法 文E 3 的递 推方法 文E 4 3的积分公式 法 也 需要 掌握 一些 特 殊 的 技 巧 这 些 技 巧 在 教科 书 上不 大容 易找 到 我们 通 过一 些 实例 来 具体说 明这些 方法 侧重 点在 于计 算 技 巧 收敛 性 交换 积 分求 和次 序等严格要求 可以通 过计 算结果反过来判断验算 对于定义在有限区间的定积分 特别是积分区间长度 是 丌整数倍 的积分 可 以尝试 利用 傅 里 叶级数 来 展开 收藕 日期 2 0 0 8 1 2 0 3 修改 日期 2 0 1 0 0 3 1 0 基金项 目 浙江省省级精品课程基金资 助 作者简介 郑晨 1 9 8 7 男 浙江海宁人 大学本科在读学生 邱为钢 1 9 7 5 男 江苏张 家港 人 博 士 副 教授 从事数 学物理的研究工作 E ma i l wg q i u h u t c z j C F I 这个函数 逐步分项积分 交换积分和求和次序 这样 积分就转化为无穷求 和形式 这个无穷求和形式简单 的话 就能求出积分的值 首先考察积分 区间在 O 丌 的以下两个定积分 r l m 一 I t I n 2 s i n d t d 0 厶 r i 2 J 一 l t I n 2 s i n 告 d t J 0 厶 它们含有对数三角 函数 采用普通积分方法 如分部 积分 变量代换等 很难求 出 现尝试把它们展开为傅 里 叶级 数 在 复变 函数 中对 数 函数 的级 数展 开是 一月 i n 1 一 一一 兰 1 1 n 级数 的 收敛 域 是 l z l l z 1 00 一 0 0 o o 0 o 0 0 C 0 仲 t 对任 意 的 C 上 述积 分 曲线 1 9 都 不 与 Y一 0 相 交 即 解 Y一 0的各点并没有破坏解的唯一性 故它不是题 中微 分方程 的奇解 参 考文献 1 丁同仁 李承治 常微分方程教程 M 2版 北京 高等教 育 出 版 社 2 0 0 4 9 9 1 2 0 2 丁同仁 李 承治 常 微分方 程教程 M 北 京 高等教 育出 版 社 1 9 9 1 1 0 4 3 何永葱 关于 常微 分方程奇 解判别 的注i eE J 内江师范高 等专科学校学 报 2 0 0 0 1 5 2 l 一 2 4 东北 师范大学微分方 程教研 室 常微 分方程 M 2版 北 京 高等 教育 出版社 2 0 0 5 1 0 1 1 0 9 On t he Co ns i s t e nc y o f P i n Si ng ul a r S o l ut i o n KoNG Zh i Ho n g W ANG H u i 1 I e p t o f M a t h Ta i y u a n No r ma l Un i v e r s i t y Ta i y u a n 0 3 0 0 1 2 PRC 2 Xi a n Un i v e r s i t y o f P o s t s a n d Te l e c o mmu n i c a t i o n s Xi a n 7 1 0 0 6 1 PRC Ab s t r a c t I t S a n i ndi s pe n s a bl e s t e p but a l wa y s be i gn or e d t o e x a m i ne t he c ons i s t e nc y o f P w h i l e s o l v i n g o r t e s t i n g s i n g u l a r s o l u t i o n b y p d i s c r i min a n t w h e r e P mu s t b e e q u a 1 t o dj a n d U 3 7 Y一 z i s o n e o f t h e c u r v e s o f P d i s c r i mi n a n t W i t h o u t t h e c o n s i s t e n c y o f P t h e wh o l e s o l v i n g pr o c e d ur e wi l l be i l l o gi c a l a nd u na v a i l i ng Ke y Wo r d s C o n s i s t e n c y o f户 d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s i n g u l a r s o l u t i o n P d i s c r i mi n a n t e n v e l o p e 3 2 高等数学研 究 2 0 1 0年 5月 在单位圆周上 Z e 代 入 1 式 对 比实 部 得 到 对 数 正 弦 函数 的 傅 里 叶 级 数展 开 l n 2 s i n t 一一 0 2 l 对于 2 式可以作各种各样 的操作 首 先 把 2 式 两边从 0到 r 积 分 得 到 1 f 0 1 n 2 s in 号 一 o 把 2 式 两 边 从0 到 号积 分 由 积 分 f d C O S J 0 先算积分 再求和 得到 1 珊 一 n 一 1 J O G 1 一 0 干 一 H L 厶 Z 1 1 其中 G是 C a t a l a n常数 先算积分 再求和 得到 2 一 号 茎 1 一 1 2 把 2 式两边开三次方 再从 0到 7 r 积分 得到 f I 0 3 一一 0 f 1 m I n 1 把 2 式两边乘以 t 再从 0到 丌积分 由积分 r 一 先算积分 再求和 得到 I 1 1 一 一 其中 是 R i e ma n n Z e t a函数 把 2 式 两 边 乘 以 再 从0 到 号积 分 由 积 分 zc s d 一 s in 等 c s 等一 先算积分 再求和 得到 1 3 5 J 1 3 一 号 G 1 一 号 G 把 2 式两 边平方 再 从 0到 丌积分 得到 由积分 上 f c 0 s c o s d m nJ 0 c s c s m d f 一号 由积分 c o s c o s co s 出 c s c s s n t d 号 r z 卜 一 w 先算积分 再求和 得到 I 0 3 一 利用积分代换 mn m q n 一 f e nrkn t 3 先求和 再算积分 3 式 中的无穷求和转化为积分 3 一 一 瓢 lo g z 1 一 d t 4 作变量代换 e 则 4 式转化 为 J o 3 一一 3 4 r J f 1X 1 l g 1 一 d z 一 擎 3 这个积分可以通过产生 函数法来求得 以上就是 m 取小 的 自然数 时候积分 J m 1 和 J n 的值 以上结果都和 Ma t h e ma t i c a解析或 数值计算对比 结果一致 当 数值大时 就必须 使用其他方法 将在后续文章中说明 参考文献 E 1 3张俊祖 定积分的一些计算方法和技巧l J 高等数学研 究 1 9 9 6 4 2 7 2 8 2 李开丁 李莉 定积分的两种换元法及其应用 J 高等 数学研究 1 9 9 9 2 4 1 5 1 8 3 王贵君 递推序列 在一些 定积 分 计算 中的巧妙应 用 J 3 高等数学研究 2 0 0 0 3 4 2 9 3 2 4 钱林 杨巧林 妙用公式求 积分 J 高等数学研究 2 0 0 4 7 6 4 5 4 7 I nt e g r a t i o n Te c h ni q u e s Ba s e d o n Fo u r i e r S e r i e s ZHENG Ch e n Q U W e i Ga n g S c h o o l o f s c i e n c e Hu z h o u Te a c h e r s C o l l e g L Hu z h o u Z h oi a n g 3 1 3 0 0 0 PRC A b s t r a c t A l o g a r i t h m o f t r i g o n o me t r i c f u fi c t i o n c a n b e e x p a n d e d a s Fo u r i e r s e r i e s o n a n i n t e r v a l o f l e n g t h 7 c Ex c h a n g i n g t h e o r d e r o f i n t e g r i o n a n d s u mma t i o n o n e c a n t r a n s f o r m t h e d e f i n i t e i n t e g r a l o f t h i s l o g a r i t h m i n t o a n i n f i n i t e s f