高三数学高考新题型选编（共70个题）

用心 爱心 专心 高考数学新题型选编 共高考数学新题型选编 共 7070 个题 个题 1 1 已知函数 1 2 0 nnn f xxaxaxnN 求函数 f x的最小 值 证明 0 0 22 nn n abab abnN 定理 若 123 k a a aa 均为正数 则有 123123 nnnn n kk aaaaaaaa kk 成 立 其中2 kkNk 为常数 请你构造一个函数 g x 证明 当 1231 kk a a aa a 均为正数时 12311231 11 nnnn n kk aaaaaaaa kk 解 解 令 111 2 0 nnn f xnxn ax 得 11 2 2 nn xaxxaxxa 2 分 当0 xa 时 2xxa 0fx 故 f x在 0 a上递减 当 0 xa fx 故 f x在 a 上递增 所以 当xa 时 f x的最小值为 0f a 4 分 由0b 有 0f bf a 即 1 2 0 nnnn f babab 故 0 0 22 nn n abab abnN 5 分 证明 要证 12311231 11 nnnn n kk aaaaaaaa kk 只要证 1 12311231 1 nnnnnn kk kaaaaaaaa 设 g x 1 123123 1 nnnnnn kaaaxaaax 7 分 则 111 12 1 nnn k g xknxn aaax 令 0g x 得 12k aaa x k 8 分 当0 x 12k aaa k 时 11 12 nn k g xn kxxn aaax 11 1212 0 nn kk n aaaxn aaax 故 12 0 k aaa g x k 在上递减 类似地可证 12 k aaa g x k 在递增 所以 12 k aaa xg x k 当时 的最小值为 12 k aaa g k 10 分 用心 爱心 专心 而 1 121212 1212 1 nnnnnn kkk kk aaaaaaaaa gkaaaaaa kkk 1 121212 1 1 n nnnnnn kkk n k kaaaaaakaaa k 1 1212 1 n nnnnn kk n k kaaak aaa k 1 1 1212 1 1 n nnnnn kk n k kaaaaaa k 由定理知 1 1212 0 nnnnn kk kaaaaaa 故 12 0 k aaa g k 12 11 0 0 k kk aaa ag ag k 故 1 12311231 1 nnnnnn kk kaaaaaaaa 即 12311231 11 nnnn n kk aaaaaaaa kk 14 分 2 2 用类比推理的方法填表 等差数列 n a中等比数列 n b中 32 aad qbb 23 3425 aaaa 5243 bbbb 123453 5aaaaaa 答案 5 354321 bbbbbb 3 3 10 定义一种运算 对于自然数n满足以下运算性质 i 1 1 1 ii n 1 1 n 1 1 则n 1 等于 A n B n 1 C n 1 D 2 n 答案 D 4 4 若 nf为 1 2 Nnn 的各位数字之和 如 1971142 17791 则 17 14 f 记 8 20081121 fNknffnfnffnfnfnf kk 则 答案 5 5 5 下面的一组图形为某一四棱锥 S ABCD 的侧面与底面 aa a2a2 a a aa 用心 爱心 专心 1 请画出四棱锥 S ABCD 的示意图 是否存在一条侧棱垂直于底面 如果存在 请给出 证明 如果不存在 请说明理由 2 若 SA 面 ABCD E 为 AB 中点 求二面角 E SC D 的大小 3 求点 D 到面 SEC 的距离 1 存在一条侧棱垂直于底面 如图 3 分 证明 ADSAABSA 且 AB AD 是面 ABCD 内的交线 SA 底面 ABCD 5 分 2 分别取 SC SD 的中点 G F 连 GE GF FA 则 GF EA GF EA AF EG 而由 SA 面 ABCD 得 SA CD 又 AD CD CD 面 SAD AFCD 又 SA AD F 是中点 SDAF AF面 SCD EG 面 SCD SEC则面 SCD 所以二面角 E SC D 的大小为 90 10 分 3 作 DH SC 于 H 面 SEC 面 SCD DH 面 SEC DH 之长即为点 D 到面 SEC 的距离 12 分 在 Rt SCD 中 a a aa SC DCSD DH 3 6 3 2 答 点 D 到面 SEC 的距离为a 3 6 14 分 6 6 一个计算装置有一个入口 A 和一输出运算结果的出口 B 将自然数列 1 nn 中的各 数依次输入 A 口 从 B 口得到输出的数列 n a 结果表明 从 A 口输入1n 时 从 B 口得 1 1 3 a 当2n 时 从 A 口输入n 从 B 口得到的结果 n a是将前一结果 1n a 先乘 以自然数列 n中的第1n 个奇数 再除以自然数列 n a中的第1n 个奇数 试问 1 从 A 口输入 2 和 3 时 从 B 口分别得到什么数 2 从 A 口输入 100 时 从 B 口得到什么数 并说明理由 解 1 21 1 15 15 aa 32 1 37 35 aa 2 先用累乖法得 1 21 21 n anN nn 得 100 11 2 1001 2 1001 39999 a aaaa S A BC D E F G H 用心 爱心 专心 7 7 在 ABC中 0 2 0 2 yxACB 给出 ABC满足的条件 就能得到动点A的 轨迹方程 下表给出了一些条件及方程 条件方程 ABC周长为 10 1 C 25 2 y ABC面积为 10 2 C 0 4 22 yyx ABC中 A 90 3 C 0 1 59 22 y yx 则满足条件 的轨迹方程分别为 用代号 1 C 2 C 3 C填入 答案 213 CCC 8 8 已知两个函数 xf和 xg的定义域和值域都是集合 1 2 3 其定义如下表 填写下列 xfg的表格 其三个数依次为 A 3 1 2 B 2 1 3 C 1 2 3 D 3 2 1 答案 D 9 9 在实数的原有运算法则中 我们补充定义新运算 如下 当ab 时 aba 当ab 时 abb 2 则函数 f xxxxx 1222 的最大值等于 C x123 f x 231 x123 g x 132 x123 g f x 用心 爱心 专心 和 仍为通常的乘法和减法 A 1B 1C 6D 12 1010 已知xR x 表示不大于 x 的最大整数 如 3 1 2 1 1 2 0 则 3 使 x 13成立的 x 的取值范围是 答案 答案 2 2 1111 为研究 原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线yx 上 这个课题 我们可 以分三步进行研究 I 首先选取如下函数 yx 21 y x x 2 1 yx 1 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标 yx 21与其反函数y x 1 2 的交点坐标为 1 1 y x x 2 1 与其反函数y x x 2 的交点坐标为 0 0 1 1 yx 1与其反函数yxx 2 10 的交点坐标为 15 2 15 2 1 0 0 1 II 观察分析上述结果得到研究结论 III 对得到的结论进行证明 现在 请你完成 II 和 III 解 解 II 原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线 y x 上2 分 III 证明 设点 a b 是f x 的图象与其反函数图象的任一交点 由于原函数 与反函数图象关于直线 y x 对称 则点 b a 也是f x 的图象与其反函数图象的交点 且有 bf aaf b 若 a b 时 交点显然在直线yx 上 若 a b 且f x 是增函数时 有f bf a 从而有 b a 矛盾 若 b a 且f x 是 增函数时 有f af b 从而有 a b 矛盾 若 a b 且f x 是减函数 有f bf a 从而 a b 成立 此时交点不在直线 y x 上 同理 b22时 W1 W2 此时 把a单位量的水平均分成 2 份后 清洗两次 残留的 农药量较少 当a 22时 W1 W2 此时 两种清洗方式效果相同 当a 22时 W1 W2 此时 把a单位量的水清洗一次 残留的农药量较少 12 1616 直角坐标系中横坐标 纵坐标均为整数的点称为格点 如果函数 f x 的图象恰好通过 k k N 个格点 则称函数 f x 为 k 阶格点函数 下列函数 f x sinx f x x 1 2 3 3 1 x xf xxf 6 0 log 其中是一阶格点函数的有 答案 1717 一水池有 2 个进水口 1 个出水口 一个口进出水速度如图甲 乙所示 某天 0 点到 6 点 该水池的蓄水量如图丙所示 至少打开一个水口 给出以下 3 个论断 进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙 1 0 点到 3 点只进水不出水 2 3 点到 4 点不进水只出水 3 4 点到 6 点不进水 不 出水 则一定不确定的论断是 把你认为是符合题意的论断序号都填上 答案 答案 2 3 1818 已知等比数列 已知等比数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n 若若S Sm m S Sm m 2 2 S Sm m 1 1成等差数列 证明 成等差数列 证明a am m a am m 2 2 a am m 1 1成等差数列 成等差数列 写出写出 的逆命题 判断它的真伪 并给出证明的逆命题 判断它的真伪 并给出证明 证证 S Sm m 1 1 S Sm m a am m 1 1 S Sm m 2 2 S Sm m a am m 1 1 a am m 2 2 由已知由已知 2 2S Sm m 2 2 S Sm m S Sm m 1 1 2 2 S Sm m a am m 1 1 a am m 2 2 S Sm m S Sm m a am m 1 1 a am m 2 2 a am m 1 1 即数列 即数列 a an n 的公比的公比q q 1 1 2 2 1 1 2 2 a am m 1 1 a am m a am m 2 2 a am m 2 2a am m 2 2 a am m a am m 1 1 a am m a am m 2 2 a am m 1 1成等差数列 成等差数列 1 1 2 2 1 1 4 4 的逆命题是 若的逆命题是 若a am m a am m 2 2 a am m 1 1成等差数列 则 成等差数列 则S Sm m S Sm m 2 2 S Sm m 1 1成等差数列 成等差数列 设数列设数列 a an n 的公比为的公比为q q a am m 1 1 a am mq q a am m 2 2 a am mq q2 2 由题设 由题设 2 2a am m 2 2 a am m a am m 1 1 即 即 2 2a am mq q2 2 a am m a am mq q 即 即 2 2q q2 2 q q 1 1 0 0 q q 1 1 或或q q 1 1 2 2 当当q q 1 1 时 时 A A 0 0 S Sm m S Sm m 2 2 S Sm m 1 1不成等差数列 不成等差数列 逆命题为假逆命题为假 1919 2005 年底 某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查 抽取 1000 户 按 时间 0 1 1 时间 0 2 1 时间 0346 6 5 65 20 15 用心 爱心 专心 本地区确定的标准 情况如右表 本地区在 十一五 规划中明确 提出要缩小贫富差距 到2010 年 要实现一个美好的愿景 由右边圆图显示 则中等收入家庭的数 量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基 础要降低的百分比分别为 B A 25 27 5 B 62 5 57 9 C 25 57 9 D 62 5 42 1 2020 一个三位数abc称为 凹数 如果该三位数同时满足a b且b c 那么所有不同的 三位 凹数 的个数是 答案 答案 三位 凹数 可分两类 一类是 aba 共有 2 10 C 45 另一类是 abc a c 共 有 2 3 10 C 240 故共有 45 240 285 个 2121 定义运算 c a bcad d b 若复数 i i x 3 2 i i y 1 4 ix xi 3 则 y 答案 答案 4 2222 从装有1n 个球 其中n个白球 1 个黑球 的口袋中取出m个球 0 mn m nN 共有 1 m n C 种取法 在这 1 m n C 种取法中 可以分成两类 一类是取出 的m个球全部为白球 共有 0110 1111 mmm nnn CCCCCC 即有等式 1 1 mmm nnn CCC 成立 试根据上述思想化简下列式子 1122mmmkm k nknknkn CCCCCCC 1 kmn k m nN 答案 答案 m n k C 根据题中的信息 可以把左边的式子归纳为从nk 个球 n 个白球 k 个黑 球 中取出 m 个球 可分为 没有黑球 一个黑球 k 个黑球等 1k 类 故有 m n k C 种取法 2323 定义运算x y yxy yxx 若 m 1 m m 1 则 m 的取值范围是 2 1 m 高收入中等收入低收入 125 户400 户475 户 用心 爱心 专心 2424 在公差为 0 dd的等差数列 n a中 若 n S是 n a的前n项和 则数列 304020301020 SSSSSS 也成等差数列 且公差为d100 类比上述结论 相应地在 公比为 1 qq的等比数列 n b中 若 n T是数列 n b的前n项积 则有 100 30 40 20 30 10 20 q T T T T T T 且公比为也成等比数列 2525 考察下列一组不等式 2 2 1 2 1 2 2 5 2 5 3344 2233 525252 525252 525252 将上述不等式在左右两端仍为 两项和的情况下加以推广 使以上的不等式成为推广不等式的特例 则推广的不等式为 0 0 nmbababababa mnnmnmnm 2626 对任意实数yx 定义运算cxybyaxyx 其中cba 为常数 等号右边的运 算是通常意义的加 乘运算 现已知63 2 42 1 且有一个非零实数m 使得对任 意实数x 都有xmx 则 m 5 2727 对于任意实数x 符号 x 表示x的整数部分 即 x 是不超过x的最大整数 在实 数轴 R 箭头向右 上 x 是在点x左侧的第一个整数点 当x是整数时 x 就是x 这个函数 x 叫做 取整函数 它在数学本身和生产实践中有广泛的应用 那么 1024 log 4 log 3 log 2 log 1 log 22222 8204 2828 我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻 05 年 8 月 在 上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前 各种媒体就两俱乐部对于 杜威的转会费协商过程纷纷 爆料 媒体 A 凯尔特人俱乐部出价已从 80 万英镑提高到了 120 万欧元 媒体 B 凯尔特人俱乐部出价从 120 万欧元提高到了 100 万美元 同 时增加了不少附加条件 媒体 C 凯尔特人俱乐部出价从 130 万美元提高到了 120 万欧元 请根据表中提供的汇率信息 由于短时间内国际货币的汇率变化不大 我们假定比值 为定值 我们可以发现只有媒体 C 填入媒体的字母编号 的报道真实性强一些 用心 爱心 专心 2929 已知二次函数 Rxaaxxxf 2 同时满足 不等式 0 xf的解集有且只 有一个元素 在定义域内存在 21 0 xx 使得不等式 21 xfxf 成立 设数列 n a的前n项和 nfSn 1 求数列 n a的通项公式 2 试构造一个数列 n b 写出 n b的一个通项公式 满足 对任意的正整数n都有 nn ab 且2lim n n n b a 并说明理由 3 设各项均不为零的数列 n c中 所有满足0 1 ii cc的正整数i的个数称为这个数 列 n c的变号数 令 n n a a c 1 n为正整数 求数列 n c的变号数 解 1 0 xf的解集有且只有一个元素 4004 2 aaaa或 当0 a时 函数 2 xxf 在 0上递增 故不存在 21 0 xx 使得不等式 21 xfxf 成立 当4 a时 函数 44 2 xxxf在 2 0上递减 故存在 21 0 xx 使得不 等式 21 xfxf 成立 综上 得4 a 44 2 xxxf 44 2 nnSn 2 要使2lim n n n b a 可构造数列knbn 对任意的正整数n都有 nn ab 当2 n时 52 nkn恒成立 即kn 5恒成立 即 325 kk 用心 爱心 专心 又0 n b Nk 2 3 nbn 等等 3 解法一 由题设 2 52 4 1 1 3 n n n cn 3 n时 0 3252 8 32 4 52 4 1 nnnn cc nn 3 n时 数 列 n c递增 0 3 1 4 a 由50 52 4 1 n n 可知0 54 aa 即3 n时 有且 只有1个变号数 又 3 5 3 321 ccc 即0 0 3221 cccc 此处变号数有2个 综上得 数列 n c共有3个变号数 即变号数为3 解法二 由题设 2 52 4 1 1 3 n n n cn 2 n时 令 42 2 9 2 7 2 5 2 3 0 32 72 52 92 0 1 nnnn n n n n cc nn 或或 又 5 3 21 cc 1 n时也有0 21 cc 综上得 数列 n c共有3个变号数 即变号数为3 3030 在 R 上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 0 上变化 求x2 2y的最大值 3 由 22 2 10 4 xy b b 能否确定一个函数关系式 yf x 如能 求解析式 如不能 再加什么条件就可使xy 之间建立函数关系 并求出解析式 用心 爱心 专心 解 1 2 2 31 101 44 bb b 4 分 2 根据 22 2 10 4 xy b b 得 2 2 2 4 1 y x b 5 分 2 222 2 22 4 24 124 44 ybb xyyybyb bb 7 分 2 2 max 4224 4 b bbxyb 当时 即时 22 2 max 424 44 bb bbxy 当时 即0时 2 2 max 244 2 404 4 bb xy b b 10 分 2 不能 11 分 如再加条件xy0 就可使xy 之间建立函数关系 12 分 解析式 2 2 2 2 1x0 10 x b y x x b 14 分 不唯一 也可其它答案 3232 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板 随着铁钉的深入 铁钉所受的阻力会越来越大 使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 1 Nk k 已知一个铁钉受击3次后 全部进入木板 且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 7 4 请从这个实事中 提炼出一个不等式组是 1 7 4 7 4 7 4 1 7 4 7 4 2 kk k 3333 已知 NxxxP 91 记 cdabdcbaf 其中Pdcba 例 如 4 3 2 1f 104321 设Pyxvu 且满足 66 39 vxyufyxvuf和 则有序数组 yxvu 用心 爱心 专心 是 9 1 6 8 15 7 3 9 105 27 vyxu vyxu vyxu vyxu 3434 12 9 3 理 设P表示幂函数 65 2 cc xy在 0上是增函数的c的集合 Q表示不等式 121 cxx对任意Rx 恒成立的c的集合 1 求QP 2 试写出一个解集为QP 的不等式 文 设P表示幂函数 86 2 cc xy在 0上是增函数的c的集合 Q表示不等式 cxx 41对任意Rx 恒成立的c的集合 1 求QP 2 试写出一个解集 为QP 的不等式 解 理 1 幂函数 65 2 cc xy在 0上是增函数 065 2 cc 即 32 P 又不等式121 cxx对任意Rx 恒成立 112 c 即 1 0 Q 32 1 0 QP 2 一个解集为QP 的不等式可以是 0321 xxxx 文 1 幂函数 86 2 cc xy在 0上是增函数 086 2 cc 即 42 P 又不等式cxx 41对任意Rx 恒成立 3 c 即 3 Q 43 QP 2 一个解集为QP 的不等式可以是 0 4 3 x x 3535 理 已知 axxxaxf 2 2 2 1 32 为正常数 用心 爱心 专心 1 可以证明 定理 若a Rb 则ab ba 2 当且仅当ba 时取等号 推广到三个正数时结论是正确的 试写出推广后的结论 无需证明 2 若 0 xf在 2 0上恒成立 且函数 xf的最大值大于1 求实数a的取值 范围 并由此猜测 xfy 的单调性 无需证明 3 对满足 2 的条件的一个常数a 设 1 xx 时 xf取得最大值 试构造一 个定义在 NkkxxxD 24 2 且上的函数 xg 使当 2 2 x时 xfxg 当Dx 时 xg取得最大值的自变量的值构成以 1 x为首项的等差数 列 解 1 若a b Rc 则 3 3 abc cba 当且仅当cba 时取等号 2 0 2 1 2 1 2232 xaxxxaxf在 2 0上恒成立 即 22 2 1 xa 在 2 0上恒成立 2 0 2 1 2 x 2 2 a 即2 a 又 3 2 3 22222 22222 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 a xaxax xaxaxxf 222 2 1 xax 即ax 3 6 时 2 6 2 6 4 63 62 9 1 9 62 3 33 max aaaf 又 ax 3 6 2 0 6 0 a 综上 得 6 2 a 易知 xf是奇函数 ax 3 6 时 函数有最大值 ax 3 6 时 函 数有最小值 用心 爱心 专心 故猜测 2 3 6 3 6 2aax时 xf单调递减 aax 3 6 3 6 时 xf单调递增 3 依题意 只需构造以4为周期的周期函数即可 如对 Nkkkx 24 24 2 24 kx 此时 kxfkxgxg44 即 Nkkkxkxkxaxg 24 24 4 2 1 4 3 2 文 已知函数 xbbaxxf 22 242 2 1axxg Rba 当0 b时 若 xf在 2上单调递增 求a的取值范围 求满足下列条件的所有实数对 ba 当a是整数时 存在 0 x 使得 0 xf是 xf的最大值 0 xg是 xg的最小值 对满足 的条件的一个实数对 ba 试构造一个定义在 2 xxD 且 Nkkx 22上的函数 xh 使当 0 2 x时 xfxh 当Dx 时 xh取得最大值的自变量的值构成以 0 x为首项的等差数列 解 当0 b时 xaxxf4 2 若0 a xxf4 则 xf在 2上单调递减 不符题意 故0 a 要使 xf在 2上单调递增 必须满足 2 2 4 0 a a 1 a 若0 a xbbxf 2 242 则 xf无最大值 故0 a xf为 二次函数 要使 xf有最大值 必须满足 024 0 2 bb a 即0 a且5151 b 此时 a bb xx 2 0 24 时 xf有最大值 用心 爱心 专心 又 xg取最小值时 axx 0 依题意 有Za a bb 2 24 则 2 22 1524 bbba 0 a且5151 b Zaa 50 2 得1 a 此时 1 b或3 b 满足条件的实数对 ba 是 3 1 1 1 当实数对 ba 是 3 1 1 1 时 xxxf2 2 依题意 只需构造以 2 或 2 的正整数倍 为周期的周期函数即可 如对 kkx2 22 0 22 kxNk 此时 kxkxkxfkxhxh22222 2 故 Nkkkxkxkxxh 2 22 222 2 3636 有穷数列 an Sn为其前 n 项和 定义 n SSSS n n T 321 为数列 an 的 凯森和 如果有 99 项的数列 a1 a2 a3 a99的 凯森和 为 1000 则有 100 项的数列 1 a1 a2 a3 a4 a99的 凯森和 100 T 991 3737 先阅读下列不等式的证法 再解决后面的问题 已知Raa 21 1 21 aa 求证 2 1 2 2 2 1 aa 证明 构造函数 2 2 2 1 axaxxf 2 2 2 1 2 2 2 2 121 2 22 22 aaxxaaxaaxxf 因为对一切 x R 恒有 xf 0 所以 84 2 2 2 1 aa 0 从而得 2 1 2 2 2 1 aa 1 若Raaa n 21 1 21 n aaa 请写出上述结论的推广式 2 参考上述解法 对你推广的结论加以证明 解 1 若Raaa n 21 1 21 n aaa 求证 nn aaa 1 22 2 2 1 4 2 证明 构造函数 22 2 2 1 n axaxaxxf 6 22 2 2 121 2 2 nn aaaxaaanx 9 22 2 2 1 2 2 n aaaxnx 11 因为对一切 x R 都有 xf 0 所以 44 22 2 2 1n aaan 0 从而证得 nn aaa 1 22 2 2 1 14 3838 已知两个向量 log log1 22 xxa log2txb 0 x 用心 爱心 专心 1 若t 1 且ba 求实数x的值 2 对t R写出函数baxf 具备的性质 解 1 由已知得0log2log 2 2 2 xx 2 分 2log0log 22 xx或 4 分 解得1 x 或 4 1 x 6 分 2 xtxxf 2 2 2 log 1 log 8 分 具备的性质 偶函数 当 2 1 log2 t x 即 2 1 2 t x 时 xf取得最小值 4 1 2 t 写出值域为 4 1 2 t 也可 单调性 在 2 0 2 1 t 上递减 2 2 1 t 上递增 由对称性 在 0 2 2 1 t 上递增 在 2 2 1 t 递减 14 分 说明 写出一个性质得 3 分 写出两个性质得 5 分 写出三个性质得 6 分 包括写出函数 的零点 1 x 1 2 t x 等皆可 写出函数的定义域不得分 写错扣 1 分 3939 对于集合N 1 2 3 n 及其它的每一个非空子集 定义一个 交替和 如下 按照递减的次序重新排列该子集 然后从最大数开始交替地减 加后继的数 例如集合 1 2 4 6 9 的交替和是 9 6 4 2 1 6 集合 5 的交替和为 5 当集合N中的n 2 时 集合N 1 2 的所有非空子集为 1 2 1 2 则它的 交替和 的总和 S2 1 2 2 1 4 请你尝试对n 3 n 4 的情况 计算它的 交替和 的总和S3 S4 并 根据其结果猜测集合N 1 2 3 n 的每一个非空子集的 交替和 的总和Sn n 2n 1 不必给出证明 4040 若 AB 是过二次曲线中心的任一条弦 M 是二次曲线上异于 A B 的任一点 且 AM BM 均与坐标轴不平行 则对于椭圆1 2 2 2 2 b y a x 有 2 2 a b KK BMAM 类似地 对于 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 有 BMAM KK 2 2 b a 4141 已知 xxflg 用心 爱心 专心 1 46 2 xfxxfxg 求 xg的最小值 2 P Q 关于点 1 2 对称 若点 P 在曲线 C 上移动时 点 Q 的轨迹是函数 xxflg 的图象 求曲线 C 的轨迹方程 3 在中学数学中 从特殊到一般 从具体到抽象是常见的一种思维形式 如从 xxflg 可抽象出 2121 xfxfxxf 的性质 试分别写出一个具体的函数 抽象出下列相应的性质 由 xh 可抽象出 2121 xhxhxxh 由 x 可抽象出 2121 xxxx 1 2 644 lglg 6 1 xx xx g xx 3 等号当 x 2 时成立 min 1g x 4 2 设 P x y 则 Q 2 x 4 y 5 由 4 y lg 2 x 可得 y 4 lg 2 x 3 h x y 2x等 x y lgx 等 11 4242 已知函数 1 2 0 4 f tatbttR a a 的最大值为正实数 集合 0 x ax xA 集合 22 bxxB 1 求A和B 2 定义A与B的差集 AxxBA 且 Bx 设a b x均为整数 且Ax EP为x取自BA 的概率 FP为x取自 BA 的概率 写出a与b的二组值 使 3 2 EP 3 1 FP 3 若函数 tf中 a b 是 2 中a较大的一组 试写出 tf在区间 2 8 n n 上的 最大值函数 g n的表达式 答案 1 4 12 Rttbattf a 配方得 a b a b tatf 4 12 2 由0 a得 最大值10 4 1 b a b 3 分 0 xaxA bxbxB 6 分 2 要使 3 2 EP 3 1 FP 可以使 A中有 3 个元素 BA 中有 2 个元素 BA 中有 1 个元素 则 2 4 ba 9 分 A中有 6 个元素 BA 中有 4 个元素 BA 中有 2 个元素 则 3 7 ba 12 分 用心 爱心 专心 3 由 2 知 2 8 2 1 42 16 f ttttnn 13 分 g n 2 21 168 21 168 2 1 16 42 0 4 0 nnn n nn 18 分 4343 在数学拓展课上 老师规定了一种运算 a b bab baa 例如 1 2 1 3 2 2 则函数 xxxfcossin 的值域为 1 2 2 4444 已知点列 B1 1 y1 B2 2 y2 Bn n yn n N 顺次为一次函数 12 1 4 1 xy图象上的点 点列 A1 x1 0 A2 x2 0 An xn 0 n N 顺次为 x 轴正半轴上的点 其中 x1 a 0 a 1 对于任意 n N 点 An Bn An 1构成以 Bn为顶点的等腰三角形 求 yn 的通项公式 且证明 yn 是等差数列 试判断 xn 2 xn是否为同一常数 不必证明 并求出数列 xn 的通项公式 在上述等腰三角形 AnBnAn 1中 是否存在直角三角形 若有 求出此时 a 值 若不 存在 请说明理由 解 1 12 1 4 1 n ny n N yn 1 yn 4 1 yn 为等差数列 4 2 xn 1 xn 2 为常数 6 x1 x3 x5 x2n 1及 x2 x4 x6 x2n都是公差为 2 的等 差数列 x2n 1 x1 2 n 1 2n 2 a x2n x2 2 n 1 2 a 2n 2 2n a xn 当n为偶数a n 当n为奇数1 an 10 3 要使 AnBnAn 1为直角三形 则 AnAn 1 2 n B y 2 12 1 4 n xn 1 xn 2 12 1 4 n 当 n 为奇数时 xn 1 n 1 a xn n a 1 xn 1 xn 2 1 a 2 1 a 2 12 1 4 n a 412 11n n 为奇数 0 a 1 取 n 1 得 a 3 2 取 n 3 得 a 6 1 若 n 5 则 无解 14 当偶数时 xn 1 n a xn n a xn 1 xn 2a 2a 2 12 1 4 n a 12 1 4 n n 为偶数 0 a 1 取 n 2 得 a 12 7 若 n 4 则 无解 1A1A2A3A4A5 B1 B2 B3 B4 Bn AnAn 1234nxO y 用心 爱心 专心 综上可知 存在直角三形 此时 a 的值为 3 2 6 1 12 7 18 4545 证明 当 a 1 时 不等式 23 a 1 2 a 1 3 aa 成立 要使上述不等式 23 a 1 2 a 1 3 aa 成立 能否将条件 a 1 适当放宽 若能 请 放宽条件并简述理由 若不能 也请说明理由 请你根据 的证明 试写出一个类似的更为一般的结论 且给予证明 解 1 证 1 1 a a a a 5 a 1 a 1 2 a 1 3 323 a 1 1 1 a a 5 a 1 3 0 原不等式成立 6 2 a 1 与 a5 1 同号对任何 a 0 且 a 1 恒成立 上述不等式的条件可放宽 为 a 0 且 a 1 9 3 根据 1 2 的证明 可推知 若 a 0 且 a 1 m n 0 则有 nm a 1 n a 1 m aa 12 证 左式 右式 1 1 a a1 a 1 aa a a nmn m a 1 n m a 1 n mn a 1 a 1 nm mmnm 14 若 a 1 则由 m n 0 am n 0 am n 0 不等式成立 若 0 a 1 则由 m n 0 0 am n 1 0 am n 1 不等式成立 16 4646 为了保证信息安全传输 有一种称为秘密密钥密码系统 其加密 解密原理如下图 明文 密文 密文 明文 现在加密密钥为 y loga x 2 如下所示 明文 6 通过加密后得到密文 3 再发送 接受方通过解密密钥解密得明文 6 问 接受方接到密文 4 则解密 后得到明文为 14 4747 规定 a b baab a b R 若 1 k 3 则函数 f x k x 的值域为 1 4848 同学们都知道 在一次考试后 如果按顺序去掉一些高分 那么班级的平均分将降低 反之 如果按顺序去掉一些低分 那么班级的平均分将提高 这两个事实可以用数学语 言描述为 若有限数列 n aaa 21 满足 n aaa 21 则 结论用数学式子表示 1 2121 nm n aaa m aaa nm 和 1 2121 nm n aaa mn aaa nnmm 加密密钥密码发送解密密钥密码 用心 爱心 专心 4949 已知数列 3021 aaa 其中 1021 aaa 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 201110 aaa 是公差为d的等差数列 302120 aaa 是公差为 2 d的等差数列 0 d 1 若40 20 a 求d 2 试写出 30 a关于d的关系式 并求 30 a的取值范围 3 续写已知数列 使得 403130 aaa 是公差为 3 d的等差数列 依次类推 把 已知数列推广为无穷数列 提出同 2 类似的问题 2 应当作为特例 并进行研究 你能得到什么样的结论 解 1 3 401010 10 2010 ddaa 4 分 2 0 11010 22 2030 ddddaa 8 分 4 3 2 1 10 2 30 da 当 0 0 d时 30 7 5 a 12 分 3 所给数列可推广为无穷数列 n a 其中 1021 aaa 是首项为 1 公差为 1 的等 差数列 当1 n时 数列 1 1011010 nnn aaa 是公差为 n d的等差数列 14 分 研究的问题可以是 试写出 1 10 n a关于d的关系式 并求 1 10 n a的取值范围 16 分 研究的结论可以是 由 323 3040 11010ddddaa 依次类推可得 1 1 10 1 1 1 10 110 1 1 10 dn d d d dda n n n 当0 d时 1 10 n a的取值范围为 10 等 18 分 5050 定义一种运算 对于Nn 满足以下运算性质 12 2 3 2 2 2 22 nn 则2 2004的数值为 3004 5151 已知命题 平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD 所成角分别为 则1coscos 22 若把它推广到空 间长方体中 试写出相应的命题形式 A B C D A1 B1 C1 D1 用心 爱心 专心 长方体 1111 DCBAABCD 中 对角线CA1与棱 11111 DABAAA 所成的角分别为 则 1coscoscos 222 2sinsinsin 222 或是 长方体 1111 DCBAABCD 中 对角线 CA1与平面DACABA 1111 所成的角分别为 则2coscoscos 222 1sinsinsin 222 或是 长方体CA1中 对角面 11ACC A与平面 1111 ADDAABBA 所成的 二面角分别为 则1coscos 22 5252 如果一个数列的各项都是实数 且从第二项开始 每一项与它前一项的平方差是相同 的常数 则称该数列为等方差数列 这个常数叫这个数列的公方差 1 设数列 n a是公方差为p的等方差数列 求 n a和 1n a 2 nnN 的关系式 2 若数列 n a既是等方差数列 又是等差数列 证明该数列为常数列 3 设数列 n a是首项为2 公方差为2的等方差数列 若将 12310 aaaa 这种顺 序的排列作为某种密码 求这种密码的个数 1 解 解 由等方差数列的定义可知 22 1nn aap 2 nnN 5 分 2 证法一 证法一 n a是等差数列 设公差为d 则 11nnnn aaaad 又 n a是等方差数列 2222 11nnnn aaaa 7 分 1111 nnnnnnnn aaaaaaaa 即 2 11 20 nnnn d aaaad 10 分 0d 即 n a是常数列 11 分 证法二 证法二 n a是等差数列 设公差为d 则 1nn aad 1 又 n a是等方差数列 设公方差为p 则 22 1nn aap 7 分 2 代入得 2 20 n ddap 1 2 3 同理有 2 1 20 n ddap 4 两式相减得 即 2 1 2 20 nn d aad 10 分 0d 即 n a是常数列 11 分 证法三 证法三 接证法二 1 2 由 得出 若0d 则 n a是常数列 8 分 1 2 用心 爱心 专心 若0d 则 22 n dp a d 是常数 0d 矛盾 10 分 n a是常数列 11 分 3 依题意 22 1 2 nn aa 2 nnN 2 1 4a 2 42 1 22 n ann 22 n an 或22 n an 13 分 即该密码的第一个数确定的方法数是1 其余每个数都有 正 或 负 两种 确定方法 当每个数确定下来时 密码就确定了 即确定密码的方法数是 9 2512 种 故 这种密码共512种 16 分 5353 已知函数 1 2 log 1 f xx 当点 00 P xy 在 yf x 的图像上移动时 点 0 0 1 2 xt QytR 在函数 yg x 的图像上移动 1 若点P坐标为 1 1 点Q也在 yf x 的图像上 求t的值 2 求函数 yg x 的解析式 3 当0t 时 试探求一个函数 h x使得 f xg xh x 在限定定义域为 0 1 时有最小值而没有最大值 解 解 1 当点P坐标为 1 1 点Q的坐标为 11 1 2 t 2 分 点Q也在 yf x 的图像上 1 2 1log 11 2 t 即0t 5 分 根据函数 yf x 的单调性求得0t 请相应给分 2 设 Q x y 在 yg x 的图像上 则 0 0 1 2 xt x yy 即 0 0 21xxt yy 8 分 而 00 P xy 在 yf x 的图像上 010 2 log 1 yx 代入得 1 2 log 2 yg xxt 为所求 11 分 用心 爱心 专心 3 1 2 1 log 2 x h x xt 或 1 2 3 2 log 2 x h x xt 等 15 分 如 当 1 2 1 log 2 x h x xt 时 f xg xh x 111 222 1 log 1 log 2 log 2 x xxt xt 1 2 2 log 1 x 2 1x 在 0 1 单调递减 2 011x 故 1 2 2 log 1 0 x 即 f xg xh x 有最小值0 但没有最大值 18 分 其他答案请相应给分 参考思路 在探求 h x时 要考虑以下因素 h x在 0 1 上必须有意义 否则不能 参加与 f xg x 的和运算 由于 f x和 g x都是以 1 2 为底的对数 所以构造的函 数 h x可以是以 1 2 为底的对数 这样与 f x和 g x进行的运算转化为真数的乘积运算 以 1 2 为底的对数是减函数 只有当真数取到最大值时 对数值才能取到最小值 为方 便起见 可以考虑通过乘积消去 g x 乘积的结果可以是x的二次函数 该二次函数的 图像的对称轴应在直线 1 2 x 的左侧 否则真数会有最小值 对数就有最大值了 考虑到 该二次函数的图像与x轴已有了一个公共点 1 0 故对称轴又应该是y轴或在y轴的 右侧 否则该二次函数的值在 0 1 上的值不能恒为正数 即若抛物线与x轴的另一个公 共点是 0 a 则12a 且抛物线开口向下 5454 如图 一个计算装置有两个数据输入口 与一个运算结果输出口 当 分 别输入正整数nm 时 输出结果记为 nmf 且计算装置运算原理如下 若 分别输入 1 则1 1 1 f 若 输入固定的正整数 输入的正整数增大 1 则输出结果比原来增大 3 若 输入 1 输入正整数增大 1 则输出结果为原来 3 倍 试求 1 1 mf的表达式 Nm 2 nmf的表达式 Nnm 3 若 都输入正整数n 则输出结果 nnf能否为 2005 若能 求出相应的n 若不能 则请说明理由 用心 爱心 专心 解 1 112 31 131 231 131 mm fmfmfmf 2 133131 232 31 1 nnmfnmfnmfnmf m 3 133 1 nnnf n 20057471837 7 6 f 200522082138 8 7 f nnf输出结果不可能为2005 5555 对数列 n a 规定 n a 为数列 n a的一阶差分数列 其中 1 Nnaaa nnn 对自然数k 规定 n ka 为 n a的k阶差分数列 其中 11 1 1 n k n k n k n k aaaa 1 已知数列 n a的通项公式 2 Nnnnan 试判断 n a n a 2 是否为等 差或等比数列 为什么 2 若数列 n a首项1 1 a 且满足 2 1 2 Nnaaa n nnn 求数列 n a的通项公式 3 对 2 中数列 n a 是否存在等差数列 n b 使得 n n nnnn aCbCbCb 2 2 1 1 对一切自然Nn 都成立 若