自动控制理论课程设计

1 一 课程设计的目的与要求一 课程设计的目的与要求 本课程为 自动控制原理 的课程设计 是课堂的深化 设置 自动控制原理 课程设计的目的是使MATLAB成为学生的基本技能 熟 悉MATLAB这一解决具体工程问题的标准软件 能熟练地应用MATLAB软件解决控 制理论中的复杂和工程实际问题 并给以后的模糊控制理论 最优控制理论和 多变量控制理论等奠定基础 使相关专业的本科学生学会应用这一强大的工具 并掌握利用MATLAB对控制理论内容进行分析和研究的技能 以达到加深对课堂 上所讲内容理解的目的 通过使用这一软件工具把学生从繁琐枯燥的计算负担 中解脱出来 而把更多的精力用到思考本质问题和研究解决实际生产问题上去 通过此次计算机辅助设计 学生应达到以下的基本要求 1 能用MATLAB软件分析复杂和实际的控制系统 2 能用MATLAB软件设计控制系统以满足具体的性能指标要求 3 能灵活应用MATLAB的CONTROL SYSTEM 工具箱和SIMULINK仿真软件 分析系 统的性能 二 设计正文二 设计正文 1 1 控制系统的数学建模 控制系统的数学建模 相关知识 研究一个自动控制系统 单是分析系统的作用原理及其大致的运动过程是不 够的 必须同时进行定量的分析 才能作到深入地研究并将其有效地应用到实 际工程上去 这就需要把输出输入之间的数学表达式找到 然后把它们归类 这样就可以定量地研究和分析控制系统了 1 有理函数模型 线性系统的传递函数模型可一般地表示为 1 mn asasas bsbsbsb sG nn nn mm mm 1 1 1 1 1 21 将系统的分子和分母多项式的系数按降幂的方式以向量的形式输入给两个变 量和 就可以轻易地将传递函数模型输入到MATLAB环境中 命令格式numden 为 121 mm bbbbnum 2 2 1 121nn aaaaden 3 在MATLAB控制系统工具箱中 定义了tf 函数 它可由传递函数分子分母给 出的变量构造出单个的传递函数对象 从而使得系统模型的输入和处理更加方 便 该函数的调用格式为 G tf num den 4 2 零极点模型 线性系统的传递函数还可以写成极点的形式 5 21 21 n m pspsps zszszs KsG 将系统增益 零点和极点以向量的形式输入给三个变量 Z和P 就可以KGain 将系统的零极点模型输入到MATLAB工作空间中 命令格式为 6 KKGain 7 21m zzzZ 8 21n pppP 在MATLAB控制工具箱中 定义了zpk 函数 由它可通过以上三个MATLAB变量 构造出零极点对象 用于简单地表述零极点模型 该函数的调用格式为 G zpk Z P KGain 9 3 反馈系统结构图模型 设反馈系统结构图如图1所示 图1 1 反馈系统结构图 控制系统工具箱中提供了feedback 函数 用来求取反馈连接下总的系统模 型 该函数调用格式如下 G feedback G1 G2 sign 10 3 其中变量sign用来表示正反馈或负反馈结构 若sign 1表示负反馈系统的模 型 若省略sign变量 则仍将表示负反馈结构 G1和G2分别表示前向模型和反 馈模型的LTI 线性时不变 对象 4 有理分式模型与零极点模型的转换 有了传递函数的有理分式模型之后 求取零极点模型就不是一件困难的事情 了 在控制系统工具箱中 可以由zpk 函数立即将给定的LTI对象G转换成等效 的零极点对象G1 该函数的调用格式为 G1 zpk G 11 例题例题10 6 10 6 生成一个 0 5 wn 1的标准二阶系统 随机生成一个五阶稳定 的系统 并实现两个模型的串联 并联和反馈连接 解 生成一个 0 5 wn 1的标准二阶系统 随机生成一个五阶稳定的系统 并 实现两个模型的串联的程序如下 num1 den1 ord2 1 0 5 G1 tf num1 den1 num2 den2 rmodel 5 G2 t f num2 den2 Gs series G1 G2 运行结果如下 Transfer function 1 336 s 4 0 09719 s 3 1 028 s 2 0 1628 s 0 08916 s 7 7 559 s 6 61 58 s 5 266 3 s 4 529 3 s 3 586 4 s 2 380 7 s 111 1 生成一个 0 5 wn 1的标准二阶系统 随机生成一个五阶稳定的系统 并 实现两个模型的并联的程序如下 num1 den1 ord2 1 0 5 G1 tf num1 den1 num2 den2 rmodel 5 G2 t f num2 den2 Gp parallel G1 G2 运行结果如下 Transfer function s 5 6 309 s 4 96 76 s 3 330 1 s 2 2154 s 1883 s 7 7 309 s 6 105 7 s 5 436 6 s 4 2587 s 3 4371 s 2 4039 s 1883 生成一个 0 5 wn 1的标准二阶系统 随机生成一个五阶稳定的系统 并 实现两个模型的负反馈的程序如下 4 num1 den1 ord2 1 0 5 G1 tf num1 den1 num2 den2 rmodel 5 G2 t f num2 den2 Gf feedback G1 G2 1 运行结果如下 Transfer function s 5 7 902 s 4 20 31 s 3 21 67 s 2 9 436 s 1 404 s 7 8 902 s 6 29 21 s 5 49 88 s 4 51 41 s 3 32 51 s 2 9 918 s 1 607 2 2 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 相关知识 时域分析法是一种直接准确的分析方法 易为人们所接受 它可 以接受系统时域内的全部信息 时域分析法包括稳定性分析 稳态性能分析 动态性能分析三大方面 在MATLAB软件中稳定性能的分析可以直接求出特征根 或用古尔维茨判据判定稳定性 而稳态误差的求取可根据静态误差系数 利用 求极限的方法求取 还可以直接从响应曲线中读取 对控制系统性能的分析 主要方法是从稳定性 稳态性能 动态性三个方面 着手 即通常所说的 快 稳 准 时域分析法 就是根据输入 输出微分方程或传递函数数学模型 在时间域中分析控制系统的稳定性 稳态 性能 动态性能 稳定性的概念 设控制系统处于某一起始的平衡状态 在外作用的影响下 它离开了平衡状态 当外作用消失后 如果经过足够长的时间它能恢复到起始 的平衡状态 则称这样的系统为稳定的系统 否则为不稳定的系统 线性定常系统稳定的充要条件是 闭环系统特征方程式的所有根全部为负实 数或具有负实部的共轭复数 也就是所有闭环特征根全部位于复平面的左平面 如果至少有一个闭环特征根分布在右半平面上 则系统就是不稳定的 如果没 有右半平面的根 但在虚轴上有根 则系统是临界稳定的 代数稳定判据 1 劳斯判据 若劳斯表中第一列所有元素都大于零 则系 统是稳定的 如劳斯表第一列出现负元素 则系统不稳定 2 古尔维茨判据 将特征方程的系数按下列规则组成一个n阶行列式 叫古尔维茨行列式 古尔维 茨行列式构造的规则是 主对角线元素自左上向右下依次为an 1 an 2 a1 a2 a0 在主对角线以下的各行中各项系数的下标逐次增加 而 在主对角线以上的各行中各项系数的下标逐次减小 当系数的下标小于零或大 5 于n时 行列式中的各项取零 系统稳定的充分必要条件是古尔维茨行列式的各阶主子行列式均大于零 即 Di 0 i 1 2 n 单位阶跃响应的求法 控制系统工具箱中给出了一个函数step 来直接求取线性系统的阶跃响应 如果已知传递函数为 den num sG 则该函数可有以下几种调用格式 step num den 12 step num den t 13 或 step G 14 step G t 15 该函数将绘制出系统在单位阶跃输入条件下的动态响应图 同时给出稳态值 对于式 13和15 t为图像显示的时间长度 是用户指定的时间向量 式12和14 的显示时间由系统根据输出曲线的形状自行设定 如果需要将输出结果返回到MATLAB工作空间中 则采用以下调用格式 c step G 16 此时 屏上不会显示响应曲线 必须利用plot 命令去查看响应曲线 10 24 10 24 已知二阶系统的传递函数为 求当 2 nn 2 2 n s2s s 0 3 n 1 2 3 4 5 10时的阶跃响应和脉冲响应曲线 求当 n 2 0 0 5 0 7 1 2 3 10时的阶跃响应和脉冲响应曲线 解 获得当 0 3 n 1 2 3 4 5 10时的阶跃响应和脉冲响应曲线编程 如下 for ks 1 2 10 定义ks从1到10取值 wn ks w2 wn wn num w2 den 1 2 0 3 ks w2 figure 1 step num den hold on figure 2 impulse num den hold on end 图2为系统的单位阶跃响应曲线 图3为系统的单位脉冲响应曲线 6 02468101214161820 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 Step Response Time sec Amplitude 图图2 2 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 02468101214161820 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Impulse Response Time sec Amplitude 图图3 3 单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线 获得当 n 2 0 0 5 0 7 1 2 3 10时的阶跃响应和脉冲响应曲线编程 如下 wn 2 w2 wn wn num w2 ks 0 0 5 0 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 for i 1 7 定义i从1到7 den 1 2 wn ks i w2 figure 1 step num den hold on figure 2 7 impulse num den hold on end 运行结果为 ks Columns 1 through 12 0 0 5000 0 7000 1 0000 2 0000 3 0000 4 0000 5 0000 6 0000 7 0000 8 0000 9 0000 Column 13 10 0000 得到图4为系统的单位阶跃响应曲线 图5为系统的单位脉冲响应曲线 0510152025 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 Step Response Time sec Amplitude 图图4 4 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 8 0510152025 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 Impulse Response Time sec Amplitude 图图5 5 单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线 3 3 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 相关知识 频域分析法使用控制系统的频率特性作为数学模型 并且不必求 解系统的微分方程或动态方程 而是绘制出系统频率特性的图形 然后通过频 域与时域之间的关系来分析系统的性能 因而比较方便 频率特性不仅可以反 映系统的性能 而且还可以反映系统的参数和结构与系统性能的关系 频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种经典方法 采用这种方法可 直观地表达出系统的频率特性 分析方法比较简单 物理概念比较明确 对于 诸如防止结构谐振 抑制噪声 改善系统稳定性和暂态性能等问题 都可以从 系统的频率特性上明确地看出其物理实质和解决途径 在MATLAB中 专门提供 了频域分析的有关函数 如bode nyquist margin等等 频率特性的图示方法 1 幅相频率特性曲线 乃奎斯特曲线 当频率w 由零到正无穷变化时 在极坐标系中幅频和相频随w变化的曲线 2 对数频 率特性曲线 伯德图 它由对数幅频特性和对数相频特性曲线组成 它以 logw为横坐标 以20logA w 为纵坐标 3 对数幅相特性曲线 尼科尔斯 曲线 它是在直角坐标中以w为参变量 相频特性为线性分度的横轴 对数幅 频特性为线性分度的纵轴的一条曲线 9 典型环节的频率特性 比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节 一阶微 分环节 二阶振荡环节 二阶微分环节 延迟环节以及不稳定环节 频率特性的稳定判据 主要介绍一下乃奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充 分必要条件是 当w由零变化到正无穷是 系统的开环幅相频率特性曲线逆时针 包围 1 j0 的圈数N等于开环传递函数在s右半平面极点数p的一半 即 N p 2 由穿越次数判别闭环系统的稳定性 所谓穿越是指开环幅相频率特性曲线穿 越 1 j0 点以左的负实轴 若沿频率w增加方向 且开环幅相频率特性曲线 自上向下穿过 1 j0 点以左的负实轴 称为正穿越 反之 若沿频率w增加方 向 且开环幅相频率特性曲线自下向上穿过 1 j0 点以左的负实轴 称为 负穿越 因此奈氏判据可叙述如下 若开环传递函数有p个右极点 则闭环系统稳定的 充要条件是 当w由零到正无穷变化时 开环幅相频率特性曲线正负穿越次数之 差为p 2 通常使用稳定裕量来表示系统的相对稳定性 它包括幅值裕量和相角裕量 用MATLEB求取稳定裕量 同前面介绍的求时域响应性能指标类似 由MATLAB里bode 函数绘制的伯德 图也可以采用游动鼠标法求取系统的幅值裕量和相位裕量 此外 控制系统工具箱中提供了margin 函数来求取给定线性系统幅值裕量 和相位裕量 该函数可以由下面格式来调用 Gm Pm Wcg Wcp margin G 17 可以看出 幅值裕量与相位裕量可以由LTI对象G求出 返回的变量对 Gm Wcg 为幅值裕量的值与相应的相角穿越频率 而 Pm Wcp 则为相位裕量的 值与相应的幅值穿越频率 若得出的裕量为无穷大 则其值为Inf 这时相应的 频率值为NaN 表示非数值 Inf和NaN均为MATLAB软件保留的常数 如果已知系统的频率响应数据 我们还可以由下面的格式调用此函数 Gm Pm Wcg Wcp margin mag phase w 其中 mag phase w 分别为频率响应的幅值 相位与频率向量 10 33 单位负反馈系统开环传递函数为 试确定系统的稳 12 0 100 1 ss sG 定裕量kg和r 并判定闭环稳定性 解 确定系统的稳定裕量编程如下 10 G tf 100 0 2 1 0 Gm Pm Wcg Wcp margin G 运行结果为 Gm Inf Pm 12 7580 Wcg Inf Wcp 22 0825 再利用Nyquist曲线求单位负反馈构成的闭环系统稳定性 num 100 den 2 1 0 nyquist num den 得到Nyquist曲线如图 200 180 160 140 120 100 80 60 40 200 4000 3000 2000 1000 0 1000 2000 3000 4000 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 图6 系统的Nyquist曲线 因为右半平面的开环极点数p 0 根据奈氏判据 右半平面的闭环极点数z p a b 0 所以闭环系统稳定 4 4 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析 相关知识 根轨迹法是古典控制理论的另一种重要的分析方法 它是分析和 设计线性控制系统的一种图解方法 它便于工程上使用 特别是适用于多回路 系统的研究 应用根轨迹法比其他方法更为简便 直观 根轨迹分析包括一般 根轨迹 零度根轨迹 参量根轨迹和带迟延系统的根轨迹的绘制以及用根轨迹 法分析系统 11 但是要绘制出系统精确的根轨迹是很烦琐很难的事 因此在教科书中经常以 简单系统的图示解法得到 而在现代计算机技术和软件平台的支持下 绘制系 统的根轨迹变得轻松自如了 在MATLAB中 专门提供了绘制根轨迹的有关函数 如rlocus rlocfind pzmap sgrid等等 直接由系统开环零 极点的分布确定系统闭环极点的图解方法 称为根轨迹 法 它是在已知开环零 极点分布的基础上 研究某些参数变化是系统闭环极 点的变化规律 从而分析参数变化对系统性能的影响 绘制根轨迹的依据有两方面 1 系统闭环零 极点与开环零 极点 2 根轨迹方程 绘制一般根轨迹的基本法则 1 根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于开 环极点数 即特征方程的阶次n 2 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹的各 分支是连续的且对称于实轴 3 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极 点 终止于开环零点 如果开环零点数m小于开环极点数n 则有n m条根轨迹终 止于无穷远处 4 根轨迹的渐近线 渐近线的位置可由渐近线与实轴交点的 坐标和渐近线与实轴正方向的夹角确定 5 实轴上的根轨迹 实轴上某一区 域 若其右侧的开环实数零 极点个数之和为奇数 则该区域必是根轨迹 6 根轨迹的分离点和回合点 两条或两条以上的根轨迹在复平面上的某一点 相遇后又分开 称改点为分离点或回合点 7 根轨迹的出射角和入射角 当 开环极点根轨迹起点处的切线与水平线正向的夹角称为出射角 同理在开环零 点根轨迹终点处的切线与水平线正方向的夹角称为入射角 8 根轨迹与虚轴 的交点 根轨迹可能与虚轴相交 交点坐标w及相对应的临界放大系数值 可由 劳斯判据求得 也可在特征方程中令s jw然后是特征方程的实部和虚部分别为 零求得 例题10 22 单位负反馈系统开环传递函数为 4 1 ss k sG 试利用根 6 4 2 sss k sG 6 4 8 3 sss sk sG 6 4 5 4 sss sk sG 轨迹法研究开环极点对系统根轨迹的影响 并绘制它们的单位阶跃响应 解 用根轨迹法研究开环极点对系统根轨迹的影响编程如下 num 1 den poly 0 4 subplot 2 2 1 rlocus num den num1 num den1 conv den 1 6 subplot 2 2 2 rlocus num1 den1 num2 1 8 den2 den1 subplot 2 2 3 rlocus num2 den2 12 绘制单位阶跃响应编程如下 num3 1 5 den3 den2 subplot 2 2 4 rlocus num3 den3 figure 2 num den cloop num den num1 den1 cloop num1 den1 num2 den2 cloop num2 den2 num3 den3 cloop num3 den3 t 0 0 1 50 step num den t hold on step num1 den1 t step num2 den2 t step num3 den3 t 4 3 2 10 2 1 0 1 2 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 20 10010 20 10 0 10 20 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 8 6 4 20 20 10 0 10 20 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 6 4 20 10 5 0 5 10 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 图7 开环极点对系统根轨迹的影响 13 05101520253035404550 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 Step Response Time sec Amplitude 图8系统的阶跃响应曲线 系统的阶跃响应曲线如上图所示 由此可以看出 增加左半平面的开环极点 或增加一对左半平面开环零极点 极点比零点靠近虚轴 即极点比零点作用强 会使元根轨迹上相应点向右上方移动 而系统的动态响应时间延长 5 5 控制系统的校正控制系统的校正 相关知识 一个完整的自动控制系统设计包括静态设计和动态设计两个部分 亦称系统的综合 静态设计包括选择执行元件 测量元件 比较元件和放大元 件等 即把系统不可变部分确定下来 而由不可变部分组成的控制系统往往不 能满足性能指标的要求 甚至不能正常工作 动态设计则是根据性能指标的要 求选择校正装置的形式和参数 使校正后系统的性能指标完全满足给定的性能 指标要求 即控制系统的校正 校正方式有串联校正 反馈校正 前馈校正 复合校正等等 常用的校正方 法有频率法校正和根轨迹法校正 控制系统的时域分析法 根轨迹分析法和频域分析法都是在已知系统结构和 参数的前提条件下 计算或估算出系统的性能指标 这类问题称为系统分析 在控制系统的性能分析结果中 若部分性能指标不能满足设计要求 则需要对 控制器的结构或参数做适当调整 使之能够达到设计指标的要求 这类问题可 称为系统校正 线性控制系统的性能指标 1 时域指标 包括调节时间ts 超调量 峰值 时间tp 开环增益K 静态误差Kp Kv Ka和静态误差ess 2 频域指标 开 14 环增益K 穿越频率wc 相位裕量r和幅值裕量Kg 主要校正方法 1 根轨迹串联校正 当系统的性能指标以时域形式给出时 一般采用根轨迹法进行设计与校正比较方便 根轨迹校正的优点是能根据s平面 上闭环零极点的分布 直接估算系统的时域性能 根轨迹串联校正步骤 确定 满足控制系统设计指标的主导极点的位置 绘制原系统的根轨迹 通过系统性 能分析确定校正方案 计算校正装置参数 系统性能指标校验 根轨迹串联校 正包括串联超前校正和串联滞后校正 2 频率法串联校正 当设计要求所提 供的技术指标是频域指标时 通常采用频率法进行系统的串联校正 频率法串 联校正的最大优点是可以用图示的方法直观地展现出校正前后系统的性能指标 和校正装置产生的校正效果 频率法串联校正包括 串联超前校正和串联滞后校正 串联超前校正利用其相位超前和幅值增加的特性使穿越频率wc和相位裕量同 时有所增加 一般校正步骤为 计算原系统动态特性 计算超前网络的补偿角 计算校正装置的参数a 计算校正后的穿越频率 计算校正装置的时间常数 获 得超前校正网络传递函数 动态性能校验 串联滞后校正 利用其高频段幅值减小 但对相频特性影响较小这一特点 通过减小穿越频率达到提高系统相位裕量的目的 一般校正步骤为 计算原系 统的动态指标 利用满足静态指标的开环传递函数即其Bord曲线 计算辐角条 件满足相角裕量时所对应的频率 计算校正装置的参数a 计算校正装置的时间 常数T 获得滞后校正网络传递函数 动态性能校验 根据自动控制理论 利用波德图进行串联校正设计的步骤如下 1 根据要求的稳态品质指标 求系统的开环增益值 2 根据求得的值 画出校正前系统的Bode图 并计算出剪切频率 相位穿 越频率 相位裕量 增益裕量 要求利用MATLAB软件编程进行辅助设计 以检验 性能指标是否满足要求 若不满足要求 则执行下一步 3 分析 写出详细的理论分析过程 包括三种串联校正方法的特点及比较 并选择串联校正的类型 引前 滞后或滞后 引前校正 画出串联校正结构图 4 确定校正装置传递函数的参数 5 画出校正后的系统的Bode图 并校验系统性能指标 要求利用MATLAB软 件编程进行辅助设计 若不满足 跳到第三步 否则进行下一步 6 提出校正的实现方式及其参数 15 10 35 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试设计串 11 0 s 200 s sG 联超前校正装置 使校正后系统的放大系数保持不变 相位裕量不小于45 幅值穿越角频率不低于50 rad s 解 由于校正后的放大系数不变 Kg1 Kg2 200 被控对象的传递函数为 G s 200 s 0 1s 1 系统程序为 k0 200 n1 1 d1 conv 1 0 0 1 1 mag phase w bode k0 n1 d1 绘制伯德图 figure 1 margin mag phase w 显示幅相裕量 hold on figure 2 s1 tf k0 n1 d1 sys feedback s1 1 定义负反馈闭环传递函数 step sys 绘制阶跃响应曲线 系统的伯德图为 图9 未校正系统的伯德图 16 图10 单位阶跃响应 由图9 10可知系统的 幅值裕度Gm 66dB 穿越频率 cg 2e 003s 1 相角裕度Pm 12 8deg 截止频率 cp 44 2s 1 根据要求的相角裕度 45 并附加一安全量10 即取 55 根据超前校正的原理 可知Kg2 200 设超前校正器的传递函数为 Gc s Ts 1 Ts 1 为了不改变校正后系统的稳态性能 式 中的 已 经包含在 Kg2 中 校正环节的程序 k0 200 n1 1 d1 conv 1 0 0 1 1 G0 tf k0 n1 d1 建立校正前系统开环传递函数 mag phase w bode G0 绘制伯德图 Mag 20 log10 mag Pm 45 Pm1 Pm 10 增加安全裕量 Qm Pm1 pi 180 alpha 1 sin Qm 1 sin Qm Lcdb 10 log10 alpha 求取系统参量值 wc spline Mag w Lcdb 使用立方差值函数 T 1 wc sqrt alpha 17 Tz alpha T Gc tf T 1 Tz 1 获得传递函数 Transfer function 0 03998 s 1 0 s 1 校正的结果是否满足 k0 200 n1 1 d1 conv