高一物理天体问题的综合问题粤教版知识精讲

用心 爱心 专心 高一物理天体问题的综合问题高一物理天体问题的综合问题粤教版粤教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 天体问题的综合问题 二 学习目标 1 掌握天体质量和密度问题的求解方法 2 掌握天体表面重力加速度相关问题的分析方法 考点地位 天体的质量和密度的计算问题是天体计算问题中的基础题型 是天体运动 问题中高考考查的易考点 通过对近几年高考试卷统计分析来看 2003 年的全国一卷第 24 题 2005 年广东卷的第 15 题均是以计算题形式考查 2004 年北京卷第 20 题通过选择形式 出现 对于天体表面重力加速度的计算及相关的万有引力与重力的关系理解是天体问题学 习的难点 三 知识体系 1 天体质量计算的几种方法 万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题 天体运动遵循与地面上物体相同的 动力学规律 行星 或卫星 的运动可视为匀速圆周运动 由恒星对其行星 或行星对其 卫星 的万有引力提供向心力 应用万有引力定律 不仅可以计算太阳的质量 还可以计算其他天体的质量 下面以 地球质量的计算为例 介绍几种计算天体质量的方法 1 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为 T 半径为 r 根据万有引力等于向 心力 即 2 2 T 2 rm r mGM 月 月地 可求得地球质量 2 32 GT r4 M 地 2 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和月球运行的线速度 v 由于地球对 月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律 得 r v m r mM G 2 2 月 月地 解得地球的质量为G rvM 2 地 3 若已知月球运行的线速度 v 和运行周期 T 由于地球对月球的引力等于月球做匀 速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律 得 r vm r mM G T 2 vm r mM G 2 2 2 月 月地 月 月地 以上两式消去 r 解得 G2 TvM 3 地 4 若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g 根据物体的重力近似等于地球 对物体的引力 得 2 R mM Gmg 地 解得地球质量为 G gR M 2 地 2 天体密度的计算 1 利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度 用心 爱心 专心 由 3 2 R 3 4 M R GMm mg 和 得 GR4 g3 其中 g 为天体表面重力加速度 R 为天体半径 2 利用天体的卫星来求行星的密度 设卫星绕天体运动的轨道半径为 r 周期为 T 天体半径为 R 则可列出方程 3 2 2 2 R 3 4 M r T 4 m r Mm G 得 32 3 3 232 3RGT r3 R 3 4 GT r4 R 3 4 M 当天体的卫星环绕天体表面运动时 其轨道半径 r 等于天体半径 R 则天体密度为 2 GT 3 典型例题典型例题 问题 1 天体的质量计算问题 例 1 某宇航员踏上一半径为 R 的球状星体 请问宇航员在该星体上能否用常规方法测 量出该星球的质量 如果能 需要何种常用器材 解析 解析 根据在星球表面星球与宇航员的万有引力近似等于宇航员的重力 有 mg R Mm G 2 可知G gRM 2 只要测出该星球表面的重力加速度 即可测出星球的质量 解法一 解法一 在星球表面用天平称量某物体 A 的质量 m 再用弹簧测力计悬吊物体 A 处于 平衡状态 读出弹簧测力计的示数 F 则有 m F g mgF 即 所以 该星球的质量为 mG FR M 2 解法二 解法二 使一物体由静止开始自由下落 用米尺测量落下的高度 h 用秒表测量落下 的时间 t 则有 2 2 t h2 g gt 2 1 h 即 所以 该星球的质量为 2 2 Gt hR2 M 解法三 解法三 在星球表面上 两次用相同的力竖直上抛和平抛同一物体 使两次抛出时的 初速率相等 用秒表测出从竖直上抛到落回抛出点的总时间 0 t 再用卷尺测出平抛的水平 射程 s 和下落高度 h 即可求出 g 值 由平抛运动知识 2 0 gt 2 1 h tvs 消去 t 得h2 s v g 2 2 0 由竖直上抛知识 2 t gv 0 0 将 代入 消去 0 v 得 2 0 2 ht s2 g 用心 爱心 专心 所以 该星球的质量 2 0 22 Ght Rs2 M 变式 1 05 年广东 15 已知万有引力常量G 地球半径R 月球和地球之间的距离r 同步卫星距地面的高度h 月球绕地球的运转周期T1 地球的自转周期T2 地球表面的重 力加速度g 某同学根据以上条件 提出一种估算地球质量M的方法 同步卫星绕地球作圆周运动 由 h T m h Mm G 2 2 2 得 2 32 4 GT h M 请判断上面的结果是否正确 并说明理由 如不正确 请给出正确的解法和结果 请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果 解析 解析 上面结果是错误的 地球的半径 R 在计算过程中不能忽略 正确的解法和结果是 2 2 2 Mm GmRh RhT 得 23 2 2 4 Rh M GT 方法一 方法一 对月球绕地球作圆周运动 由 2 2 2 Mm Gmr rT 得 23 2 2 4r M GT 方法二 方法二 在地面重力近似等于万有引力 由 2 Mm Gmg R 得 2 gR M G 例 2 1969 年 7 月 21 日 美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印 迈出 了人类征服宇宙的一大步 在月球上 如果阿姆斯特朗和同伴奥尔德林用弹簧测力计测出 质量为 m 的仪器的重力为 F 而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱 在月球表面附近飞行一 周 记下时间为 T 试回答 只利用这些数据 能否估算出月球的质量 为什么 解析 解析 设月球的质量为 M 半径为 R 表面的重力加速度为 g 根据万有引力定律 有 2 R Mm GmgF 根据指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球表面的重力加速度 有 R T 2 m F ga 2 月 则月球的质量可以表示为 34 43 mG16 TF M 所以 在已知引力常量 G 的条件下 才能利用上式估算出月球的质量 问题 2 天体密度的计算 例 3 如果在一个星球上 宇航员为了估测星球的平均密度 设计了一个简单的实验 他 先利用手表 记下一昼夜的时间 T 然后 用弹簧测力计测一个砝码的重力 发现在赤道 上的重力仅为两极的 90 试写出星球平均密度的估算式 解析 解析 设星球的质量为 M 半径为 R 表面重力加速度为 g 平均密度为 砝码的 质量为 m 砝码在赤道上失重 10 901 表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为 用心 爱心 专心 mg1 0FF 向 而一昼夜的时间 T 就是星球的自转周期 根据牛顿第二定律 有 R T 2 m mg1 0 2 根据万有引力定律 星球表面的重力加速度为RG 3 4 R M G g 2 所以 星球平均密度的估算式为 2 GT 30 变式 2 地核的体积约为整个地球体积的 16 地核的质量约为地球质量的 34 试估 算 地核的平均密度为 kg m3 结果取两位有效数字 解析 解析 由题意可知地核体积 0 V占地球体积 V 的 16 地核质量 m 占地球质量 M 的 34 地球和地核的平均密度分别为 0 0 V m V M 两式之比解得地核平均密度 8 17 MV mV 0 0 可见 只要知道地球的平均密度 即可求得地核的平均密度 0 解法一 解法一 利用记住的地球质量kg100 6M 24 和半径m104 6R 6 求地球平均密度 地球平均密度 3 36 24 3 m kg 104 6 14 3 3 4 100 6 R 3 4 M 33 m kg105 5 将上式代入 式可得 34 0 m kg102 1 解法二 解法二 由地球半径 R 求地球平均密度 在地面附近可近似认为mg R Mm G 2 地球质量为 G gR M 2 地球平均密度 RG4 g3 R 3 4 M 3 33 3 116 m kg105 5 m kg 1067 6 104 614 3 4 8 93 将上式代入 式可得 34 0 m kg102 1 解法三 解法三 借助第一宇宙速度求地球平均密度 卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周 运动的速度 第一宇宙速度s m109 7v 3 1 由 R mv R GMm 2 1 2 得地球质量 G Rv M 2 1 代入数据可求得地球平均密度为 GR4 v3 R 3 4 M 2 2 1 3 用心 爱心 专心 3 11 2 6 2 3 m kg 1067 6 104 614 3 4 109 73 33 m kg105 5 将结果代入 式得 34 0 m kg102 1 解法四 解法四 借助人造地球卫星的最小环绕周期 靠近地球表面的卫星运转周期 约为 min85 T 由 2 2 2 T 4 m R GMm R 得 2 32 GT R4 M 则地球平均密度为 3 2112 3 m kg 60851067 6 14 3 3 GT 3 R 3 4 m 33 m kg104 5 将结果代入 式得 34 0 m kg1015 1 解法五 解法五 由月球绕地球运行的轨道半径 r 和周期求地球平均密度 月球轨道半径m104 660R60r 6 m1084 3 8 月球公转周期s1036 2 s360024 3 27T 6 由 2 2 2 T 4 mr r Mm G 得 2 32 GT r4 M kg 1036 2 1067 6 1084 3 14 3 4 2 611 3 82 kg100 6 24 则地球密度 3 3 6 24 3 m kg 104 614 3 3 4 100 6 R 3 4 M 33 m kg105 5 代入 式得 34 0 m kg102 1 答案 答案 4 102 1 用心 爱心 专心 问题 3 天体表面重力加速度的求解 例 4 2004 年北京卷 1990 年 5 月 紫金山天文台将他们发现的第 2752 号小行星命名 为吴健雄星 该小行星的半径为km16 若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体 小行星密度与地球相同 已知地球半径km6400R 地球表面重力加速度为 g 这个小行 星表面的重力加速度为 A g400B g 400 1 C g20D g 20 1 答案 答案 B 变式 3 2006 南昌三模 如图所示 火箭内平台上放有测试仪器 火箭从地面启动以 后 以加速度 2 g 竖直向上做匀加速运动 升到某一高度时 测试仪器对平台的压力为启动 前压力的 18 17 已知地球半径为 R 求火箭此时离地面的高度 g 为地面的重力加速度 解析 解析 1 设仪器质量为 m 起飞前仪器对平台压力 01 mgN 在某高度时 由 2 g mmamgN 0 h2 得 0h2 mg 2 1 mgN 由题意知 18 17 2 1 g g mg mg 2 1 mg N N 0 h 0 0h 1 2 得 0h g 9 4 g 根据万有引力定律 0 2 mg R Mm G h 2 mg hR Mm G 两式相比 用心 爱心 专心 h 0 g g R hR 代入 式得 2 3 R hR R 2 1 h 模拟试题模拟试题 答题时间 25 分钟 1 某球状行星具有均匀的质量密度 当行星自转周期为下列哪个值时 其赤道上的物 体将要飞离地面 A G 4 3 B G 3 4 C G 3 D G 2 关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实 下列说法中正确的是 A 天王星 海王星和冥王星都是运用万有引力定律 经过大量计算以后而发现的 B 在 18 世纪已发现的 7 个行星中 人们发现第七颗行星 天王星的运动轨道总是 同根据万有引力定律计算出来的理论轨道有较大的偏差 于是有人推测 在天王星轨道之 外还有一个行星 是它的存在引起了上述偏差 C 海王星是牛顿运用了万有引力定律经过大量计算而发现的 D 冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维列合作研究后共同发现的 3 利用下列哪一组数据可以计算出地球的质量 A 已知地球的半径 地 R和地球表面的重力加速度g B 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径 r 和周期 T C 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径 r 和线速度 v D 已知地球绕太阳做匀速圆周运动的线速度 v 和周期 T 4 为了连续改变反射光的方向 并多次重复这个过程 方法之一是旋转由许多反射镜面 组成的多面体棱镜 简称镜鼓 如图所示 当激光束以固定方向入射到镜鼓的一个反射面 上时 由于反射镜绕竖直轴旋转 反射光就可在屏幕上扫出一条水平线 依此 每块反射 镜都将轮流扫描一次 如果要求扫描的范围 45且每秒扫描 48 次 那么镜鼓的反射镜 面数目和镜鼓旋转的转速分别为 A 8 min r360B 16 min r180C 16 min r360D 32 min r180 5 有科学家推测 太阳系的第九颗行星可以说是 隐居 着的地球的 孪生兄弟 从 地球上看 它永远在太阳的 背面 永远与地球 太阳在一条直线上 因此 人类一直未 能发现它 由以上信息可以确定 A 这颗行星的轨道半径与地球相等 B 这颗行星的半径等于地球的半径 用心 爱心 专心 C 这颗行星绕太阳公转的周期与地球相同 D 这颗行星的自转周期与地球相同 6 我国的 探月工程 已经启动 计划在 2007 年前向月球发射一颗绕月探测卫星 已 知月球半径约为地球半径的 4 1 月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的 6 1 则由 此可知 A 月球质量约为地球质量的 16 1 倍 B 月球质量约为地球质量的 36 1 倍 C 近月卫星的速度约为近地卫星的速度的 6 6 倍 D 近月卫星的速度约为近地卫星的速度的 12 6 倍 7 根据观测 某行星外围有一个模糊不清的环 为了判断该环是连续物还是卫星群 又 测出了环中各层的线速度 v 的大小与该层至行星中心的距离 R 下列判断中正确的是 A 若 v 与 R 成正比 则环是连续物 B 若 v 与 R 成反比 则环是连续物 C 若 2 v与 R 成正比 则环是卫星群 D 若 2 v与 R 成反比 则环是卫星群 8 我们赖以生存的银河系的恒星中大约有 1 4 是双星 假设某双星由质量不等的星体 1 s和 2 s构成 两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 c 做匀速圆周运动 由天文观察测得其运动周期为 T 1 s到 c 点的距离为 1 r 1 s和 2 s的距离为 r 已知引力常 量为 G 由此可求出 2 s的质量为 A 2 1 22 GT rrr4 B 2 3 1 2 GT r4 C 2 32 GT r4 D 2 1 22 GT rr4 试题答案试题答案 1 C 赤道上的物体飘离地面时 向万 FF 即R T 4 m R GMm 2 2 2 得 GM R4 T 32 2 而 3 R 3 4 M 代入上式得 G 3 T2 2 B 天王星 1781 年由英国天文学家侯失勒用望远镜观测发现 英国剑桥大学的亚当斯 和法国的天文爱好者勒维列各自独立地计算出天王星的理论轨道 发现与实际轨道有较大 的偏差 从而预言天王星外还存在一未知天体 德国的伽勒用望远镜观测到了这颗新行星 即海王星 而冥王星直到 1930 年才在青年天文学家汤豹用望远镜拍摄的底片上现身 用心 爱心 专心 3 A B C 由 G gR M 2 可选 A 由