《走向清华北大》2012高考总复习 精品13函数模型及其应用

第十三讲函数模型及其应用第十三讲函数模型及其应用 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后的括号 内 1 精选考题 杭州调研题 2002 年初 甲 乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企 业 精选考题年初在经济指标对比时发现 这两家企业在 2002 年和 2009 年缴纳的地税均相 同 其间每年缴纳的地税按各自的规律增长 企业甲年增长数相同 而企业乙年增长率相同 则精选考题年企业缴纳地税的情况是 A 甲多B 乙多 C 甲乙一样多D 不能确定 解析 设企业甲每年缴纳的地税组成数列 an 由于企业甲年增长数相同 所以数列 an 是等差数列 则 an是关于 n 的一次函数 设企业乙每年缴纳的地税组成数列 bn 由于企业 乙年增长率相同 所以数列 bn 是等比数列 则 bn是关于 n 的指数形函数 根据题意 a1 b1 a8 b8 如图知 a9 b9 故精选考题年企业乙缴纳的地税多 答案 B 2 精选考题 北京海滨模拟题 北京电视台某星期六晚播出的一档节目中有这样一道 抢答题 小蜥蜴体长 15 cm 体重 15 g 已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比 问 当小蜥蜴 长到体长为 20 cm 时 它的体重大约是 A 20 gB 25 g C 35 gD 40 g 解析 假设小蜥蜴从 15 cm 长到 20 cm 体形是相似的 这时蜥蜴的体重正比于它的体积 而 体积与体长的立方成正比 记体长为 l 的蜥蜴的体重为 wt 因此有 w20 w15 35 56 g 合 3 3 20 15 理的答案应该是 35 g 选 C 答案 C 3 精选考题 长沙模拟题 在一次数学实验中 运用计算器采集到如下一组数据 x 2 0 1 001 0 2 0 3 0 y0 240 5112 023 988 02 则 x y 的函数关系与下列哪类函数最接近 其中 a b 为待定系数 A y a bxB y a bx C y ax2 bD y a b x 解析 解法一 作散点图 由散点图可知 应选 B 解法二 从表中发现 0 在函数的定义域内而否定 D 函数不具奇偶性 从而否定 C 自变量 的改变量相同而函数值的改变量不同而否定 A 故选 B 答案 B 4 精选考题 江门诊断题 我国为了加强对烟酒生产的宏观管理 除了应征税收外 还 征收附加税 已知某种酒每瓶售价为 70 元 不收附加税时 每年大约销售 100 万瓶 若每销售 100 元国家要征附加税 x 元 叫做税率 x 则每年销售量将减少 10 x 万瓶 如果要使每年在 此项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元 则 x 的最小值为 A 2B 6 C 8D 10 解析 100 10 x 70 112 2 x 8 100 x 答案 A 5 已知 A B 两地相距 150 千米 某人开汽车以 60 千米 小时的速度从 A 地到达 B 地 在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米 小时的速度返回 A 地 汽车离开 A 地的距离 x 千米 与时间 t 小时 之间的函数表达式是 A x 60t B x 60t 50t C 60 02 5 1505 3 5 tt x t t D 60 02 5 150 2 53 5 15050 3 5 3 56 5 tt xt tt 解析 到达 B 地需要 2 5 小时 150 60 所以当 0 t 2 5 时 x 60t 当 2 5 t 3 5 时 x 150 当 3 50 42 Q xa x 若不管资金如何投放 经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于 5 万元 则 a 的最小值应为 A B 55 C 3D 解析 设对乙商品投入资金 x 万元 则投入甲商品的资金为 20 x 3 万元 0 x 20 则纯利润 S x 20 42 xa x 依题意应有 S x 5 恒成立 即 5 20 42 xa x 即 a 2 x 由于 0 x 20 20 555 a 2 a 2 x 的最大值为 即的最小值为 答案 A 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 把正确答案填在题后的横线上 7 精选考题 武汉联考题 已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95 76 设质量为 1 的 镭经过 x 年剩留质量为 y 则 y 关于 x 的函数关系是 答案 x 0 100y0 9576 x 8 精选考题 温州统考题 某服装商贩同时卖出两套服装 卖出价为 168 元 套 以成本 计算一套盈利 20 而另一套亏损 20 则此商贩 填赚或赔多少钱 解析 设盈利的那套服装成本价为 x 则 x 20 x 168 x 140 元 设亏损的那套服装成本 价为 y 则 y 20 y 168 y 210 元 所以商贩赔 210 168 168 140 14 元 答案 赔 14 元 9 在不考虑空气阻力的情况下 设火箭的最大速度 v m s 和燃料的质量 M kg 火箭 除 燃料外 的质量 m kg 的函数关系是 v 2000 ln 1 M m 当燃料质量是火箭质量的 倍时 火箭的最大速度可达 12 km s 解析 2000 ln 1 M m 12000 e6 1 M m 答案 e6 1 10 一水池有两个进水口 一个出水口 每水口的进 出水速度如图甲 乙所示 某天 0 点 到 6 点 该水池的蓄水量如图丙所示 至少打开一个水口 给出以下 3 个论断 0 点到 3 点只进水不出水 3 点到 4 点不进水只出水 4 点到 6 点不进水不出水 则一定能确定正确的是 解析 由丙图 题图 知 0 点到 3 点蓄水量为 6 故应两个进水口进水 不出水 故 正确 由丙图 题图 知 3 点到 4 点间 1 小时蓄水量少 1 个单位 故 1 个进水 1 个出水 故 错 误 由丙图 题图 知 4 点到 6 点蓄水量不变 故两个进水一个出水 故 错误 答案 三 解答题 本大题共 3 小题 11 12 题 13 分 13 题 14 分 写出证明过程或推演步骤 11 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李 如果超过规定的质量 则 需购买行李票 行李费用 y 元 是关于行李质量 x kg 的一次函数 其图象如图所示 1 根据图象数据 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克 解 1 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b 由题图可知 当 x 60 时 y 6 当 x 80 时 y 10 1 606 5 8010 6 kbk kb b 解得 y 与 x 之间的函数关系式为 y x 6 x 30 1 5 2 y x 6 x 30 中 y 的值为 0 时 x 的值为最多可免费携带行李的质量 应是函数图 1 5 象与 x 轴交点的横坐标 当 y 0 时 x 30 旅客最多可免费携带行李的质量为 30 kg 12 某公司生产的 A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售 第一年 商场为吸引厂家 决 定免收该年管理费 该年 A 型商品定价为每件 70 元 年销售量为 12 7 万件 第二年 商场开 始对该商品征收比率为 m 的管理费 即销售 100 元要征收 m 元 于是该商品每件的定价提 高 预计年销售量将减少 m 万件 1 0 01 m m 1 将第二年商场对该商品征收的管理费 y 万元 表示成 m 的函数 并指出这个函数的 定义域 2 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于 21 万元 则商场对该商品征收管 理费的比率 m 的范围是多少 3 第二年 商场在所收管理费不少于 21 万元的前提下 求使厂家获得最大销售金额时 的 m 的值 解 1 依题意 第二年该商品年销售量为 12 7 m 万件 每件销售价格为 2 70 1 12 7m 12 7m m y12 7m m 12 7m0m0m 0m12 7 2y2112 7m m21 m 70 1 0 01 1 100 70 1 100 70 1 100 70 100 7 13m300 m3m 100 3 00 m 10 0 1 m m m m m m m A A A A A 年销售收入为万元 则商场该年对该商品征收的总管理费为 万元 故所求函数为 由及得其定义域为 由 得 化简得 即 解得 故当 max 3 10 21 3 21 g m12 7000 100 700087 7m3m 10 g m12 7m700 g mg 3700 3 10 100100 m mm A A 比率在内时 商场收取的管理费将不少于万元 第二年当商场收取的管理费不少于万元时 厂家的销售收入为 为减函数 万元 故当 m 3 时 厂家销售金额最大 且商场所收管理费又不少于 21 万元 13 某皮鞋厂 从今年 1 月份开始投产 并且前 4 个月的产量分别为 1 万双 1 2 万双 1 3 万双 1 37 万双 由于产品质量好 款式新颖 前几个月的产品销售情况良好 为了推销员 在推销产品时 接受订单不至于过多或过少 需要估测以后几个月的产量 厂里分析 产量的 增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程 厂里也暂不准备增加设备和工人 假如你是厂 长 将会采用什么办法估算以后几个月的产量 解 作出图象如下图 图上可以得到四个点 A 1 1 B 2 1 2 C 3 1 3 D 4 1 37 解法 1 一次函数模型 设模拟函数为 y ax b 以 B C 两点的坐标代入函数式 有 所以得 y 0 1x 1 21 2 0 1 31 3 1 aba abb 解得 评析 此法的结论是 在不增加工人和设备的条件下 产量会每月上升 1000 双 这是不太 可能的 解法 2 二次函数模拟 设 y ax2 bx c 将 A B C 三点的坐标代入 有 1 40 05 21 2 0 35 931 3 0 7 abca abcb abcc 解得 所以 y 0 05x2 0 35x 0 7 评析 由此法计算 4 月份产量为 1 3 万双 比实际产量少 700 双 而且 由二次函数性质 可知 产量自 4 月份开始将每月下降 图象开口向下 对称轴方程是 x 3 5 这显然不符合实 际情况 解法 3 幂函数模拟 如下图 设 y a b 将 A B 两点的坐标代入 x 有 1 0 48 y0 48 0 52 21