(教案)勾股定理

名思教育 我的成功不是偶然的 海到无边天作岸 山高绝顶我为峰 学生 教师 班主任 日期 时段 课题课题 教学目标教学目标 重难点透视重难点透视 知识点剖析知识点剖析 序号知识点预估时间掌握情况 1提出问题 复习知识10 分钟 220 分钟 340 分钟 440 分钟 5课后总结10 分钟 勾股定理勾股定理 知识梳理 知识梳理 1 勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别是 a b 斜边为 c 那么 a2 b2 c2 即直角三角形 中两直角边的平方和等于斜边的平方 2 关于勾股定理的证明方法有很多 赵爽的证法是一种面积证法 其中的依据是图形经过割补拼 接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 赵爽弦图 表现了我国古人对数学的钻研精 神和聪明才智 它是我国古代数学的骄傲 正因为此 这个图案被选为 2002 年在北京召开的世 界数学家大会的会徽 3 在直角三角形中 若已知任意两边 就可以运用勾股定理求出第三边 无直角时 可作垂线构 造直角三角形 4 勾股定理的作用 1 计算 2 证明带有平方的问题 3 实际应用 5 利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段 也就可以在数轴上画出表示无理数的点 6 领会和掌握数形结合的数学思想方法 练习 练习 1 飞机在空中水平飞行 某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4000 米处 过了 20 秒 飞机 名思教育个性化辅导教案 ggggggggggggangganggang 纲 名思教育 我的成功不是偶然的 海到无边天作岸 山高绝顶我为峰 C B A D E c a b a c b b c b a a c 距离这个男孩头顶 5000 米 飞机每时飞行多少千米 2 如图 有一个直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 C 与 E 重合 你能求出 CD 的长吗 3 在长为 12cm 宽为 10cm 的长方形零件上钻两个半径为 1cm 的孔 孔心离零件边沿都是 2cm 求两 孔心的距离 4 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形 这个图形被称为弦图 观察图形 验证 c2 a2 b2 5 如图 某沿海城市 A 接到台风警报 在该市正南方向 150km 的 B 处有一台风中心正以 20km h 的速度向 BC 方向移动 已知城市 A 到 BC 的距离 AD 90km 那么 1 台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点 2 如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险 为让 D 点的游人脱离危险 游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离 撤离速度为 6km h 最好选择什么方向 名思教育 我的成功不是偶然的 海到无边天作岸 山高绝顶我为峰 6 如图 有一块塑料矩形模板 ABCD 长为 8cm 宽为 4cm 将你手中足够大的直角三角板 PHF 的 直角顶点 P 落在 AD 边上 不与 A D 重合 在 AD 上适当移动三角板顶点 P 能否使你的三角板两 直角边分别通过点 B 与点 C 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说明理由 7 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 任意连结这些小正方形的顶点 可得到一些 线段 请在图中画出这样的线段 并选择其中的一个说明这样1352 EFCDAB 画的道理 8 已知 正方形的边长为 1 1 如图 a 可以计算出正方形的对角线长为 如图 b 求2 两个并排成的矩形的对角线的长 n 个呢 2 若把 c d 两图拼成如下 L 形 过 C 作直线交 DE 于 A 交 DF 于 B 若 DB 求 DA 的长度 3 5 A B C D 名思教育 我的成功不是偶然的 海到无边天作岸 山高绝顶我为峰 A B 4 1 5 2 4 5 0 5 2 6m 4m 9 如下图 对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转 90 所得 所以 BAE 90 且四边 形 ACFD 是一个正方形 它的面积和四边形 ABFE 面积相等 而四边形 ABFE 面积等于 Rt BAE 和 Rt BFE 的面积之和 根据图示写出证明勾股定理的过程 10 下图是任意的符合条件的两个全等的 Rt BEA 和 Rt ACD 拼成的 你能根据图示再写一种证 明勾股定理的方法吗 11 如图所示 某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆 下方是长方形的仿古通道 现有一辆卡车装满家具后 高 4 米 宽 2 8 米 请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道 12 如图所示 某人到岛上去探宝 从 A 处登陆后先往东走 4km 又往北走 1 5km 遇到障碍后又 往西走 2km 再转向北走到 4 5km 处往东一拐 仅走 0 5km 就找到宝藏 问登陆点 A 与宝藏埋藏点 B 之间的距离是多少 13 阅读下面材料 并解决问题 1 如图 等边 ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A B C 的距离分别为 3 4 5 则 APB 由于 PA PB 不在一个三角形中 为了解决本题我们可以将 ABP 绕顶点 A 旋转到 ACP 处 此时 ACP 这样 就可以利用全等三角形知识 将三条线 段的长度转化到一个三角形中从而求出 APB 的度数 F E D CB A C B A b a b a c c a b b a b c b a a b a c c C D B A E 名思教育 我的成功不是偶然的 海到无边天作岸 山高绝顶我为峰 AB C P A B C O A BC D C B A P P 2 请你利用第 1 题的解答思想方法 解答下面问题 已知如图 ABC 中 CAB 90 AB AC E F 为 BC 上的点且 EAF 45 求证 EF2 BE2 FC2 F CB A E 勾股定理分类举例勾股定理分类举例 1 求线段长度 利用勾股定理建立方程 即 方程思想 求解 例 1 在 ABC 中 AB 13 BC 14 AC 15 求点 A 到 BC 边的距离 2 旋转 运用勾股定理及逆定理解 例 2 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC P 是三角形内一点 若 PA 3 PB 1 PC 2 求 BPC 的度数 变式 1 如图 ABC 是等边三角形 O 是 ABC 内一点 OA 5 0B 4 0C 3 试求 BOC 的度数 变式 2 如图 在正方形 ABCD 中 边长为 4 F 为 DC 中点 E 为 BC 上一点 且 CE BC 求 AFE 4 1 的度数 名思教育 我的成功不是偶然的 海到无边天作岸 山高绝顶我为峰 A B C D A B C D E C A P M N Q A B C D 3 面积法 整体代换法在本章的应用 例 3 如图 在 ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D 设 AC b BC a AB c CD h 求证 1 2 以 a b h c h 为边的三角形是直角三角形 222 111 hba 4 翻折 例 4 如图 将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠 使点 C 落在 C 处 BC 交 AD 于点 E 若 AB 8 AB 4 求S BDE 5 实际应用问题 例 5 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行驶时 周围 100m 以内会受到噪声的影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方 向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受到影响 已知拖拉机的速度为 18Km h 那么学校受到影响的时间为多少秒 变式 某工厂的大门如图所示 其中四边形 ABCD 是长方形 上部是以 AB 为直径的半圆 其中 AD 2 3 米 AB 2 米 现有一辆装满货物的卡车 高 2 5 米 宽 1 6 米 问这辆车能否通过厂门 并说明理由 名思教育 我的成功不是偶然的 海到无边天作岸 山高绝顶我为峰 A B C D E F A B C D E 中考链接 1 08 甘肃 已知等腰三角形的一条腰长是 5 底边长是 6 则它底边上的高为 2 如图所示 ABC 中 C 90 两直角边 AC 6 BC 8 在三角形内有一点 P 它到各边的距离相 等 则这个距离是 A 1 B 2 C 3 D 无法确定 3 06 年常州 如图 ABC 和 DCE 都是等腰直角三角形 且 ACB DCE 90 D 为 AB 边上的 一点 1 求证 ACE BCD 2 求证 222 DEAEAD 勾股定理单元测试卷 一 选择题 每小题3分 共30分 1 直角三角形一直角边长为12 另两条边长均为自然数 则其周长为 A 30 B 28 C 56 D 不能确定 2 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm 另一直角边长为6 cm 则它的斜边长 A 4 cm B 8 cm C 10 cm D 12 cm 3 已知一个Rt 的两边长分别为3和4 则第三边长的平方是 A 25 B 14 C 7 D 7或25 4 等腰三角形的腰长为10 底长为12 则其底边上的高为 A 13 B 8 C 25 D 64 5 五根小木棒 其长度分别为7 15 20 24 25 现将他们摆成两个直角三角形 其中正确 的是 6 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 7 如图小方格都是边长为1的正方形 则四边形ABCD的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 8 三角形的三边长为 则这个三角形是 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 9 ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地 已知 C 90 AC 30米 AB 50米 如果要在这块空地上种植草皮 按每平方米草皮元计算 那么共需要资金 A 50元 B 600元 C 1200元 D 1500元 10 如图 AB CD于B ABD和 BCE都是等腰直角三角形 如果CD 17 BE 5 那么AC 的长为 A 12 B 7 C 5 D 13 第10题 第11题 第14题 二 填空题 每小题3分 24分 名思教育 我的成功不是偶然的 海到无边天作岸 山高绝顶我为峰 11 如图为某楼梯 测得楼梯的长为5米 高3米 计划在楼梯表面铺地毯 地毯的长度至少需要 米 12 在直角三角形中 斜边 2 则 13 直角三角形的三边长为连续偶数 则其周长为 14 如图 在 ABC中 C 90 BC 3 AC 4 以斜边AB为直径作半圆 则这个半圆的面 积是 第15题 第16题 第17题 15 如图 校园内有两棵树 相距12米 一棵树高13米 另一棵树高8米 一只小鸟从一棵树 的顶端飞到另一棵树的顶端 小鸟至少要飞 米 16 如图 ABC中 C 90 AB垂直平分线交BC于D若BC 8 AD 5 则AC等于 17 如图 四边形是正方形 垂直于 且 3 4 阴影部分的面积是 18 如图 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的边 和长为7cm 则正方形A B C D的面积之和为 cm2 三 解答题 每小题8分 共40分 19 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个 鸟儿捉鱼 的问题 小溪边长着两棵棕榈树 恰好隔岸相望 一棵树高是30肘尺 肘尺是古代的长度单位 另外一棵高20肘尺 两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺 每棵树的树顶上都停着一只鸟 忽然 两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼 它们立刻飞去抓鱼 并且同时到达目标 问这条 鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远 20 如图 已知一等腰三角形的周长是16 底边上的高是4 求这个三角形各边的长 21 如图 A B两个小集镇在河流CD的同侧 分别到河的距离为AC 10千米 BD 30千米 且CD 30千米 现在要在河边建一自来水厂 向A B两镇供水 铺设水管的费用为每千米3万 请你在河流CD上选择水厂的位置M 使铺设水管的费用最节省 并求出总费用是多少 22 如图所示的一块地 ADC 90 AD 12m CD 9m AB 39m BC 36m 求这块地 的面积 23 如图 一架2 5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC上 这时梯足B到墙底端C的距离为 0 7米 如果梯子的顶端沿墙下滑0 4米 那么梯足将向外移多少米 名思教育 我的成功不是偶然的 海到无边天作岸 山高绝顶我为峰 四 综合探索 共26分 24 12分 如图 某沿海开放城市A接到台风警报 在该市正南方向100km的B处有一台风中 心 沿BC方向以20km h的速度向D移动 已知城市A到BC的距离AD 60km 那么台风中心经 过多长时间从B点移到D点 如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危 险 正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险 25 14分 ABC中 BC AC AB 若 C 90 如图 1 根据勾股定理 则 若 ABC不是直角三角形 如图 2 和图 3 请你类比勾股定理 试猜想与的关系 并证明你 的结论 参考答案 一 选择题 每小题3分 共30分 1 D 2 C 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 C 9 B 10 D 二 填空题 每小题3分 24分 11 7 12 8 13 24 14 15 13 16 4 17 19 18 49 三 解答题 19 20 20 设BD x 则AB 8 x 由勾股定理 可以得到AB2 BD2 AD2 也就是 8 x 2 x2 42 所以x 3 所以AB AC 5 BC 6 21 作A点关于CD的对称点A 连结B A 与CD交于点E 则E点即为所求 总费用150万元 22 116m2 23 0 8米 四 综合探索 24 4小时 2