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线段和最小值问题 问题模型 如下图 是直线同旁的两个定点 问题 在直线上确定一点 使的值最小 方法 作点关于直线的对称点 连结交于点 则的值最小 不必证明 题型一 两定一动一线 例1 如图 在菱形ABCD中 对角线AC 6 BD 8 点E F分别是边AB B C的中点 点P在AC上运动 在运动过程中 存在PE PF的最小值 则这个最小值是 方法总结 当有两个定点时 做任一定点关于线的对称点 连接另一点和 对称点 和线的交点即为所求 跟踪练习 如图 在边长为4的正方形ABCD中 E是AB边上的一点 且AE 3 点Q为对角线AC上的动点 则 BEQ周长的最小值为 题型二 一定两动一线 例2 如图 在矩形ABCD中 AB 10 BC 5 若点M N分别是线段ACAB上的两个动点 则BM MN的最小值为 方法总结 点P在AD上运动 则作线段AD关于线AE的对称线段 结合垂线段最短求最小值 跟踪练习 如图 正方形ABCD的边长为4 DAC的平分线交DC于点E 若点P Q分别是AD和AE上的动 点 则DQ PQ的最小值是 拓展提升 题型三 三动一线 做法参照题型二 例3 如图 菱形ABCD中 AB 2 BAD 60 E F P分别是AB BC AC上的动点 PE PF的 最小值等于 题型四 一定两动两线 例4 如图 AOB 45 角内有一动点P PO 10 在AO BO上有两动点Q R 求 PQR周长的最小值 方法总结 分别作定点关于两线的对称点 连接两对称点所得线段即为线段和的最小值 题型五 两定两动两线 例5 如图 AOB 30 点M N分别在边OA OB上 且OM 1 ON 3 点P Q分别在边OB OA上 则MP PQ QN的最小值是 方法总结 分别作两定点关于两线的对称点 连接两对称点所得线段即为线段和的最小值 随堂练习 1 如图 正方形ABCD的边长为7 点E F分别在AB BC上 AE 3 CF 1 P是对角线AC上的个 动点 则PE PF的最小值是 2 如图 等边 ABC的边长为6 AD是BC边上的中线 M是AD上的动点 E是AC边上一点 若A E 2 EM CM的最小值为 3 如图所示 正方形ABCD的面积为12 是等边三角形 点E在正方 形ABCD内 在对角线AC上有一点P 使的和最小 则PD PE这个最小值为 4 如图 在Rt ABC中 ACB 90 AC 6 BC 8 AD是 BAC的平分线 若P Q分别是AD和AC上的动点 则PC PQ的最小值是 5 如图 五边形ABCDE中 BAE 120 B E 90
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