辽宁省大连市2013届高三数学第一次模拟考试卷 文

1 大连市大连市 20132013 年一模测试数年一模测试数 学 文科 学 文科 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 其中第 II 卷第 22 题 第 24 题为选考题 其它题为必考题 考生作答时 将答案答在答题卡上 在本试卷上答题无 效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 球的表面积公式 2 4SR 其中S表示球的表面积 R表示球的半径 第 I 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设集合 2 lnAx Bx y 若 0AB 则 y 的值为 A 0 B 1 C e D 1 e 2 设复数 1 1 i z i 则z为 A 1 B 1 C i D i 3 计算sin47 cos17 cos47 cos73 的结果等于 A 2 1 B 3 3 C 2 2 D 2 3 4 某市有 400 家超市 其中大型超市有 40 家 中型超市有 120 家 小型超市有 240 家 为了掌握各超市的营业情况 要从中抽取一个容量为 20 的样本 若采用分层抽样的方 法 抽取的中型超市数是 A 4 B 6 C 7 D 12 5 已知a b 均为单位向量 且 ab3 则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 2 D 2 3 6 若曲线 22 1 2 4xy 上相异两点 PQ 关于直 线 20kxy 对称 则k的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 7 如图 网格纸是边长为 1 的小正方形 在其上用粗线 画出了某多面体的三视图 则该多面体的体积为 2 A 4 B 8 C 16 D 20 8 已知函数 sin R 0 0 2 f xAxxA 的图象 部分 如图所示 则 分别为 A 2 6 B 6 C 3 D 2 3 9 运行如图所示的算法框图 则输出的结果 S 为 A 1 B 1 C 2 D 2 10 下列说法正确的是 A 0 x 均有sin cosxx B 命题 Rx 使得 2 10 xx 的否定是 Rx 均有 2 10 xx C 0a 是 函数 32 f xxaxx 为奇函数 的充要条件 D Rx 使得 5 sincos 3 xx 成立 11 已知 A B 两点均在焦点为F的抛物线 2 2 0 ypx p 上 若 4AFBF 线 段AB的中点到直线 2 p x 的距离为 1 则 p 的值为 A 1 B 1 或 3 C 2 D 2 或 6 12 定义在R上的函数 f x 满足 3 1f 2 3f fx 为 f x 的导函数 已知 yfx 的图象如图所示 且 fx 有且只有一个零点 若非负实数 a b 满足 2 1fab 2 3fab 则 2 1 b a 的取值范围是 3 A 4 3 5 B 4 0 3 5 C 4 5 5 D 4 0 5 5 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做 答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答卷卡的相应位置上 13 已知 ABC三个内角A B C 且sin sin sin2 3 4ABC 则cosC的值为 14 已知双曲线C 22 22 1 yx ab 0 0 ab P为x轴上一动点 经过P的直线 2 0 yxm m 与双曲线C有且只有一个交点 则双曲线C的离心率为 15 在球面上有四个点P A B C 如果PA PB PC两两互相垂直 且 1PAPBPC 则这个球的表面积为 16 已知函数 yf x 的定义域为R 且具有以下性质 0f xfx 2 2 f xfx xfy 在区间 0 2 上为增函数 则对于下述命题 xfy 的图象关于原点对称 xfy 为周期函数 且 4 是一个周期 xfy 在区间 2 4 上为减函数 所有正确命题的序号为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知各项均为正数的数列 n a 满足 1 1a 11 0 nnnn aa aa A 求证 数列 1 n a 是等差数列 求数列 2n n a 前n项和n S 18 本小题满分 12 分 4 某工厂用甲 乙两种不同工艺生产一大批同一种零件 零件尺寸均在 21 7 22 3 单位 cm 之间的零件 把零件尺寸在 1 22 9 21 的记为一等品 尺寸在 2 22 1 22 9 21 8 21 的记为二等品 尺寸在 3 22 2 22 8 21 7 21 的记为三等品 现从甲 乙工艺生产的零件中各随机抽取 100 件产品 所得零件尺寸的频率分布直方图如 图所示 根据上述数据完成下列 22 列联表 根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一 等品是否有关 甲工艺乙工艺合计 一等品 非一等品 合计 2 Pk 0 050 01 k 3 8416 635 附 2 112212212 1 2 1 2 n n nn n n n n n 若一等品 二等品 三等品的单件利润分别为 30 元 20 元 15 元 求出上述甲工 艺所抽取的 100 件产品的单件利润的平均数 5 19 本小题满分 12 分 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1 中 底面边长为 2 侧棱长为 2 D为11 AC 中点 求证 1 BC 平面 1 AB D 三棱锥 1 BAB D 的体积 20 本小题满分 12 分 设离心率 1 2 e 的椭圆 22 22 1 0 xy Mab ab 的左 右焦点分别为 12 FF P是x轴 正半轴上一点 以 1 PF 为直径的圆经过椭圆M短轴端点 且该圆和直线 330 xy 相切 过点P直线椭圆M相交于相异两点A C 求椭圆M的方程 若相异两点A B 关于x轴对称 直线BC交x轴与点Q 求Q点坐标 6 21 本小题满分 12 分 已知 Rm 函数 2 2 x f xmxe 当 2m 时 求函数 f x 的单调区间 若 f x 有两个极值点 求m的取值范围 请考生在 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知圆上的 AA ACBD 过C点的圆的 切线与BA的延长线交于E点 证明 ACEBCD 若 9 1BECD 求BC的长 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方 程 在直角坐标系 xOy 中 曲线 1 C 的参数方程为 2cos 22sin x y 为参数 曲线 2 C 的参数方程 7 为 22cos 2sin x y 为参数 P是 2 C 上的点 线段OP的中点在 1 C 上 求 1 C 和 2 C 的公共弦长 在以O为极点 x轴的正半轴为极轴的极坐标系中 求点P的一个极坐标 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知 512 axxxf a 是常数 a R 当 a 1 时求不等式 0 xf 的解集 如果函数 xfy 恰有两个不同的零点 求 a 的取值范围 2013 年大连市高三一模测试 数学 文科 参考答案与评分标准 说明 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 对解答题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 1 A 2 D 3 A 4 B 5 B 6 D 7 C 8 C 9 A 10 C 11 B 12 A 二 填空题 13 1 4 14 5 2 15 3 16 三 解答题 17 解 11 0 nnnn aa aa A 11 1 0 nnnn nn aa aa a a A A 8 1 11 1 nn aa 3 分 1 1 1 a 数列 1 n a 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 4 分 1 1 1 1 n nn a 1 n a n 6 分 法一 由 知 2 2 n n n n a A 12 1 2 2 2 2n n Sn 23 1 2 1 2 2 2 2n n Sn 9 分 由 得 121 2 2 22 nn n Sn 1 1 22 n n Sn 12 分 法二 令 2 1 2 nnn bncc A 令 2n n cAnB A 1 1 2 22 nnn nnn bccAnABAnBn AAA 12AB 9 分 122132111nnnn bbbcccccccc 1 1 2 2 1 2 2 1 22 nn nn AA 12 分 18 解 22 列联表如下 甲工艺乙工艺合计 一等品 5060110 非一等品 504090 合计 100100200 3 分 841 302 2 90110100100 50604050 200 2 2 6 分 所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出来一等品有关 8 分 甲工艺抽取的 100 件产品中 一等品有 50 件 二等品有 30 件 三等品有 20 件 9 10 分 所以这 100 件产品单件利润的平均数为 24 152020303050 100 1 12 分 19 解 解 如图 连结 A1B 与 AB1 交于 E 连结 DE 则 E 为 A1B 的中点 BC1 DE DE 平面 1 AB D 1 BC 平面 1 AB D 1 BC 平面 1 AB D 6 分 过点D作 11 DHAB 正三棱柱 111 ABCABC 1111 AAABC 平面 1 AADH 1111 AAABA DH 平面 11 ABB A DH为三棱锥 1 DABB 的高 8 分 1 1 1 2 2 ABB SAB BB AA 11 1 2 2 MHAB 10 分 1 3 tan 32 DHAD 11 136 2 326 B AB DD ABB VV 12 分 20 解 设以 1 PF 为直径的圆经过椭圆M短轴端点N 1 NFa 1 2 e 2ac 1 3 NFP 1 2FPa 3 分 2 0 F c 是以 1 PF 为直径的圆的圆心 该圆和直线 330 xy 相切 2 3 2 1 3 c c 1 2 3cab 椭圆M的方程为 22 1 43 xy 5 分 法一 10 设点 11 A x y 22 C xy 则点 11 B xy 设直线PA的方程为 3 yk x 联立方程组 22 1 43 3 xy yk x 化简整理得 2222 43 2436120kxk xk 由 2222 24 4 34 3612 0kkk 得 2 3 5 k 则 22 1212 22 243612 4343 kk xxx x kk 8 分 直线BC的方程为 21 11 21 yy yyxx xx 令 0y 则 22 22 12211212 2 1212 2 722472 23 4 4343 2463 6 43 kk y xy xx xxx kk x kyyxx k Q点坐标为 4 0 3 12 分 法二 设点 11 A x y 22 C xy 则点 11 B xy 设直线方程为 3xmy 由 22 3 1 43 xmy xy 得 22 34 18150mymy 由 22 18 4 15 34 0mm 得 2 5 3 m 12 2 12 2 18 34 15 34 m yy m y y m A 8 分 直线BC的方程为 21 11 21 yy yyxx xx 11 令 0y 则 2 122112 1212 2 15 2 3 3 24 34 3 3 18 3 34 m y myy mymy y m x m yyyy m A Q点坐标为 4 0 3 12 分 21 解 2m 时 2 22 x f xxe 422 2 xx fxxexe 令 2 x g xxe 2 x g xe 2 分 当 ln2 x 时 0g x ln2 x 时 0g x ln2 2ln220g xg 0fx f x 在 上是单调递减函数 4 分 若 f x 有两个极值点 a b ab 则 a b 是方程 220 x fxmxe 的两不等实根 解法一 0 x 显然不是方程的根 x e m x 有两不等实根 6 分 令 x e h x x 则 2 1 x ex h x x 当 0 x 时 0h x h x 单调递减 0 h x 0 1 x 时 0h x h x 单调递减 1 x 时 0h x h x 单调递增 要使 x e m x 有两不等实根 应满足 1 mhe m的取值范围是 e 注意 直接得 h x 在 1 上单调递减 1 上单调递增 12 分 解法二 22 x h xfxmxe 则 a b 是方程 0h x 的两不等实根 2 x h xme 当 0m 时 0h x h x 在 上单调递减 0h x 不可能有两不