福建省长泰一中高考数学一轮复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》学案

用心 爱心 专心1 第第 6 6 课时课时 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 3 3 圆的切线方程 圆 x2 y2 r2上一点 p x0 y0 处的切线方程为 l 圆 x a 2 y b 2 r2上一点 p x0 y0 处的切线方程为 l 圆 x2 y2 Dx Ey F 0 上一点 p x0 y0 处的切线方程为 例例 1 1 过 x2 y2 2 外一点 P 4 2 向圆引切线 求过点 P 的圆的切线方程 若切点为 P1 P2求过切点 P1 P2的直线方程 解 解 1 设过点 P 4 2 的切线方程为 y 2 k x 4 即 kx y 2 4k 0 则 d 2 1 42 k k 解得 k 1 或 k 2 1 42 k k 2 7 1 切线方程为 x y 2 0 或 x 7y 10 0 2 设切点 1 x1 y1 P2 x2 y2 则两切线的方程可写成 l1 x1x y1y 2 l2 x2x y2y 因为点 4 2 在 l1和 l2上 则有 4 x1 2y1 2 4x2 2y2 2 这表明两点都在直线 4x 2y 2 上 由于两点只能确定一条直线 故直线 2 x y 1 0 即 为所求 变式训练变式训练 1 1 1 已知点 P 1 2 和圆 C 过 P 作 C 的切线02 222 kykxyx 有两条 则 k 的取值范围是 典型例题典型例题 基础过关基础过关 P2 P1 P 4 2 x y O 用心 爱心 专心2 A k R k D 3 322 3 0 3 k 2 32 3 33 k 2 设集合 A x y x2 y2 4 B x y x 1 2 y 1 2 r2 r 0 当 A B B 时 r 的取值范围是 A 0 1 B 0 1 C 0 2 D 0 222 3 若实数 x y 满足等式 x 2 那么的最大值为 x y A 2 1 3 3 2 3 3 4 过点 M且被圆截得弦长为 8 的直线的方程为 2 3 3 25 22 yx 5 圆心在直线 x y 4 0 上 且经过两圆和的034 22 xyx034 22 yyx 交点的圆的方程是 圆心 C 1 3 直线 BC 的方程为 x 2y 5 0 又线段 AB 的中点 D kAB 1 2 5 2 1 线段 AB 的垂直平分线方程为 y x 即 x y 2 0 2 1 2 5 联立 解得 x 3 y 1 所求圆的圆心为 E 3 1 半径 BE 5 所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 5 变式训练变式训练 2 2 求圆心在直线 5x 3y 8 上 且与坐标轴相切圆的标准方程 解 解 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 圆与坐标轴相切 a b r a 又 圆心 a b 在直线 5x 3y 8 上 用心 爱心 专心3 5a 3b 8 由 ar ba ba 835 得 1 1 1 4 4 4 r b a r b a 或 所求圆的方程为 x 4 2 y 4 2 16 或 x 1 2 y 1 2 1 例例 3 3 已知直线 l y k x 2 k 0 与圆 O x2 y2 4 相交于 A B 两点 O 为坐标原 2 点 AOB 的面积为 S 试将 S 表示为 k 的函数 S k 并求出它的定义域 求 S k 的最大值 并求出此时的 k 值 解 解 1 圆心 O 到 AB 的距离 d 2 1 22 k k 由 d 2 1 k 1 AB 4 S k 4 2 2 1 1 k k 2 22 22 1 1 k kk 2 解法一解法一 据 1 令 1 k2 t k2 t 1 1 t 2 S 4 421 32 2 t t 2 8 1 4 31 2 2 t 4 22 22 1 当 即 k 时 等号成立 k 为所求 t 1 4 3 3 3 3 3 解法二 解法二 ABD 的面积 S OA OB sin AOB 2sin AOB 2 1 当 AOB 90 时 S 可取最大值 2 此时 设 AB 的中点为 C 则 OC OA 2 2 2 由 O 到直线的距离为 OC 2 1 22 k k 得 k 2 1 22 k k 2 3 3 变式训练变式训练 3 3 点 P 在直线上 PA PB 与圆相切于 A B 两点 0102 yx4 22 yx 用心 爱心 专心4 求四边形 PAOB 面积的最小值 答案 答案 8 提示 提示 四边形可以分成两个全等的直角三角形 要面积最小 只要切线长最小 亦即 P 到 圆心距离要最小 例例 4 4 已知圆 C 方程为 直线 l 的方程为 2m 1 x m 1 22 24200 xyxy y 7m 4 0 1 证明 无论 m 取何值 直线 l 与圆 C 恒有两个公共点 2 求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度 并求出此时的 m 值 提示 提示 1 用点到直线的距离公式 证明 r2 d2 0 恒成立 2 求 1 中 r2 d2的最小值 得直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度为 4 此时的 5 m 值为 3 4 变式训练变式训练 4 4 已知圆系 其中 a 1 且 a R 则该圆系恒过 22 22220 xyaxay 定点 答案 答案 1 1 提示提示 将 a 取两个特殊值 得两个圆的方程 求其交点 必为所求的定点 故求出交点坐 标后 只须再验证即可 另一方面 我们将方程按字母 a 重新整理 要使得原方程对任意 a 都成立 只须 a 的系数及式中不含 a 的部分同时为零 1 处理直线与圆 圆与圆的位置关系的相关问题 有代数法和几何法两种方法 但用几 何法往往较简便 2 圆的弦长公式l 2 R 表示圆的半径 d表示弦心距 利用这一弦长公式比用一 2