河南省安阳县高二数学新人教A版必修5学案第3章第11课时《基本不等式的证明》（2）（教师版）

第第 1111 课时基本不等式的证明课时基本不等式的证明 2 2 学习导航学习导航 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1 理解最值定理的使用条件 一正二定三相等 2 运用基本不等式求解函数最值问题 课堂互动 自学评价自学评价 最值定理 若 x y 都是正数 1 如果积 xy 是定值 P 那么当且仅当 x y 时 和 x y 有最小值 P2 2 如果和 x y 是定值 S 那么当且仅当 x y 时 积 xy 有最大值 2 4 1 S 最值定理中隐含三个条件 一正二定 三相等 精典范例 例 1 1 已知函数 y x x 2 求此函数的最小值 16 2x 2 已知 x0 y 0 且 5x 7y 20 求 xy 的最大值 4 已知 x y R 且 x 2y 1 求的最小值 11 xy 解 答案 答案 1 1 的最小值为的最小值为 6 6 x 2x 2 y 的最大值为 的最大值为 x 1 x 1 y 最值定理 基本不等式 证明 使用条件 一正二定三相等 作用 求最值 内容 的最大值为的最大值为 x 2 y x 2 y xy 7 20 7 10 4 4 的最小值为的最小值为 11 xy 223 2 2 1 12 yx 例 2 错在哪里 求 y x R 的最小值 2 2 5 4 x x 解 y 2 2 5 4 x x 2 2 1 4 4 x x 2 2 1 242 4 x x y 的最小值为 2 已知 x y R 且 x y 1 求 11 xy 的最小值 法一 由 得xyyx424 4 1 xy 所以 11 xy 8 2 xy 所以原式最小值为 法二 由法二 由 当且仅当 x y 时等号成立 于是有得 11 xy xy 2 14yx yx x y 0 2 所以的最小值为 5 5 10 11 xy 思维点拔 思维点拔 利用基本不等式求最值问题时 一定要交代等号何时成立 只有等 号成立了 才能求最值 否则要用其它方法了 而在证明不等式时 不 必要交代等号何时成立 例 2 是常见典型错误 它违背了最值定理使用前提 一正二定三 相等 中的后两条 追踪训练一追踪训练一 1 1 求函数 y 4x2 的最小值 2 9 x 2 2 已知 x 2 求 y 的最大 2 3 2 x x 值 5 5 已知 x 1 0 y 1 求 logyx logxy 的取值范围 答案 答案 1 1 的最小值为 的最小值为 x x y 2 6 的最大值为 的最大值为 x x y1 x x 的最小值为的最小值为 1616 x x y12 4 y 4 4 的最大值为 的最大值为 x x y1 5 5 y 2 选修延伸选修延伸 利用函数单调性求函数最值 例 3 求函数的最小值 4 2 16 x x xy 略解 令略解 令 则 则且且2 xt6 t 椐单调性 椐单调性2 16 t ty 定义可证 关于定义可证 关于 t t 的函数的函数 y y 在在上为增上为增 6 函数 所以当函数 所以当时 时 6 t 的最小值为的最小值为 y 3 20 听课随笔 师生互动 学生质疑 教师释疑 思维点拔 思维点拔 利用基本不等式求解时利用基本不等式求解时 等号不能成立等号不能成立 故改用函数单调性求