高中数学 4.2.3-1直线与圆的方程的应用学案 新人教A版必修2

1 4 4 2 2 3 3 直线与圆的方程的应用 一 直线与圆的方程的应用 一 教学目标教学目标 利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 教学重难点教学重难点 教学重点教学重点 直线的知识以及圆的知识 教学难点教学难点 用坐标法解决平面几何 教学过程教学过程 一 复习准备 一 复习准备 1 1 直线方程有几种形式 分别为什么 2 2 圆的方程有几种形式 分别是哪些 3 3 求圆的方程时 什么条件下 用标准方程 什么条件下用一般方程 4 4 直线与圆的方程在生产 生活实践中有广泛的应用 想想身边有哪些呢 5 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系 6 如何根据圆的方程 判断它们之间的位置关系 二 讲授新课 二 讲授新课 提出问题 自主探究提出问题 自主探究 例例 1 1 如图是一桥圆拱的示意图 根据提供信息完成以下计算 圆拱跨度 AB 84 米 拱 高 A6P6 15 米 在建造时每隔 7 米需用一个支柱支撑 求 支柱 A3P3的长度 精确到 0 01 米 方法一方法一 在OAARt 6 中 R2 422 R 15 2 可求出半径 R 而在COPRt 3 中 222 3 21 RCP OACPPA 6333 从而可求得 33P A长度 能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解 方法二方法二 先求圆的方程 再把求 33P A长度看成 3 P的纵坐标 首先应建立坐标系 如何建系 四种不同的建系方案 2 分组解答 同学自选一种建系方案 同桌之间可以互相协作 相互探讨 归纳总结 巩固步骤归纳总结 巩固步骤 总结解决应用问题的步骤 1 审题 分清条件和结论 将实际问题数学化 2 建模 将文字语言转化成数学语言或图形语言 找到与此相联系的数学知识 建 立数学模型 3 解模 求解数学问题 得出数学结论 4 还原 根据实际意义检验结论 还原为实际问题 流程图 实际问题 数学问题 数学结论实际问题结论 审题 建模 解模 还原 变式训练变式训练 某圆拱桥的水面跨度 16 米 拱高 4 米 有一货船 装满货过桥 顶部宽 4 米 水面以上高 3 米 请问此船能否通过 当卸完货返航时 船水面以上高 3 9 米 此时能否通 过 深入讨论 提炼思想深入讨论 提炼思想 在上面问题求解过程中 我们通过 建系 利用直线和 圆的方程来完成平面几何中的计算 这一 新方法 在初等 3 几何的证明中也非常有用 如证明 平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 再 看下例 例例 2 2 已知内接于圆 P 的四边形 ABCD 的对角线互相垂直 ADPE 于E 探求线段 PE与BC的数量关系 1 BCPE 2 1 思路 把四边形特殊化 看成正方形 那么圆心与正方形的中心重合 此时 BCPE 2 1 对于一般情形 这个结论正确吗 作如下猜想 已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半 能否用学过的平面几何知识加 以证明 证明 平面几何法 连接 AP 并延长交圆 P 于点 F 连接 DF CF 3 4 在 Rt ADF 和 Rt AHB 中 1 2 5 1 7 6 2 7 5 6 又 ACF 900 且 CHD 900 CF BD 由 可得四边形 CFDB 为等腰梯形 CB FD 又 FD 2 PE BC 2 PE 用 建系 这一新工具尝试 证明 解析几何法 以 AC BD 交点为坐标原点 所在直线为坐标轴建立平面直角坐 标系 设 0 aA 0 bB 0 cC 0 dD 用勾股定理 22 AERPE 其中E为AD中点 先求出圆心 P 的坐标及直线 AD 的方程 然后用点到直线距离公式求 PE 的长 先求出圆 心 P 与点 E 的坐标 再用两点间距离公式求 PE 的长 设圆方程为 x m 2 y n 2 r2 考虑到圆与x轴交于A C两点 令 y 0 得关于 x的一元二次方程 x2 2mx m2 n2 r2 0 然后利用韦达定理可得圆心的横坐标 2 ca m 同理可得圆心的纵坐标 2 db n 应用圆的方程求圆心坐标 正是圆方程的具体应用 过圆心作两坐标轴的垂线 利用垂径定理来解决 很快可以求出 圆心的P坐标 2 2 dbca 4 变式练习变式练习 设Q为BC的中点 则PEQH 如何用代数方法证明这一结论呢 还能有什么其他发现 1 若圆内接四边形的两条对角线互相垂直 则一组对 边的平方和等于另一组对边的平方和 2 若圆内接四边形的两条对角线互相垂直 则两条 对角线之积等于两组对边之积的和 3 若圆内接四边形的两条对角线互相垂直 则经过对 角线交点作其中一边的垂线 一定平分这一条边的对边 课堂小结 课堂小结 1 直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用 2 解决实际问题的具体步骤 审题 建模 解模 还原 3 解决几何问题的新方法 解析法 主要数学思想是通过代数方法研究几何问 题 达到数形结合的一种完美境界 用坐标法解决平面几何问题的 三步曲 第一步 建建立适当的坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将平面几何问题转 化为代数问题 第二步 通过代数运算 解解决代数问题 第三步 把代数运算结果 翻译译 成几何结论 板书设计板书设计 一 指数函数 1 定义 2 图像 3 性质 二 例题 例 1 变式 1 例 2 变式 2 作业布置作业布置 习题 4 2B 组的 2 3 4 题 5 直线与圆的方程的应用导学案 一 课前预习学案课前预习学案 一 预习目标一 预习目标 利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 二 预习内容 二 预习内容 1 直线方程有几种形式 分别为什么 2 2 圆的方程有几种形式 分别是哪些 3 3 求圆的方程时 什么条件下 用标准方程 什么条件下用一般方程 4 4 直线与圆的方程在生产 生活实践中有广泛的应用 想想身边有哪些呢 5 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系 6 如何根据圆的方程 判断它们之间的位置关系 三 提出疑惑三 提出疑惑 1 1 2 2 3 3 课内探究学案课内探究学案 一一 学习目标 学习目标 利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 学习重难点学习重难点 直线的知识以及圆的知识 二 讲授新课 二 讲授新课 例例 1 1 如图是一桥圆拱的示意图 根据提供信息完成以下计算 圆拱跨度 AB 84 米 拱 高 A6P6 15 米 在建造时每隔 7 米需用一个支柱支撑 求 支柱 A3P3的长度 精确到 0 01 米 变式训练变式训练 某圆拱桥的水面跨度 16 米 拱高 4 米 有一货船 装满货过桥 顶部宽 4 6 米 水面以上高 3 米 请问此船能否通过 当卸完货返航时 船水面以上高 3 9 米 此时能 否通过 例例 2 2 已知内接于圆 P 的四边形 ABCD 的对角线互相垂直 ADPE 于E 探求线段 PE与BC的数量关系 1 BCPE 2 1 思路 把四边形特殊化 看成正方形 那么圆心与正方形的中心重合 此时 BCPE 2 1 对于一般情形 这个结论正确吗 作如下猜想 已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半 能否用学过的平面几何知识加 以证明 变式练习变式练习 设Q为BC的中点 则PEQH 如何用代数方法证明这一结论呢 还能有什么其他发现 当堂检测 1 在空间直角坐标系中 画出下列各点 A 0 0 3 B 1 2 3 C 2 0 4 D 1 2 2 2 已知 长方体 ABCD A B C D 的边长 AB 12 AD 8 AA 7 以这个长方体 的顶点 B 为坐标原点 射线 AB BC BB 分别为 x 轴 y 轴和 z 轴的正半轴 建立空间直角 坐标系 求这个长方体各个顶点的坐标 3 写出坐标平面 yOz 上 yOz 平分线上的点的坐标满足的条件 课后练习与提高课后练习与提高 1 圆0122 22 yxyx上的点到直线2 yx的距 离最大值是 7 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 21 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 2 1 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 221 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 将直线20 xy 沿x轴向左平移1个单位 所得直线与圆 22 240 xyxy 相切 则实数 的值为 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 37 或 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 或8 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0或10 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1或11 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在坐标平面内 与点 1 2 A距离为1 且与点 3 1 B距离为2的直线共有 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1条 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 条 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3条 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4条 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知圆 43 2 2 yx和过原点的直线kxy 的交点为 P Q则OQOP 的值为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头