高中数学《变化率与导数-1.1.1变化率问题》教案5 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心 1 1 1 1 1 1 1 变化率问题变化率问题 教学目标 1 理解平均变化率的概念 2 了解平均变化率的几何意义 3 会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点 平均变化率的概念 函数在某点处附近的平均变化率 教学难点 平均变化率的概念 教学过程 一 创设情景 为了描述现实世界中运动 过程等变化着的现象 在数学中引入了函数 随着对函数的研究 产生了微积分 微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题最一般 最有效的工具 导数研究的问题即变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二 新课讲授 一 问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气容量的增加 气球的 半径增加越来越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 气球的体积V 单位 L 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 3 3 4 rrV 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数 那么 3 4 3 V Vr 分析 3 4 3 V Vr 1当 V 从 0 增加到 1 时 气球半径增加了 62 0 0 1 dmrr 气球的平均膨胀率为 62 0 01 0 1 Ldm rr 2当 V 从 1 增加到 2 时 气球半径增加了 16 0 1 2 dmrr 气球的平均膨胀率为 16 0 12 1 2 Ldm rr 可以看出 随着气球体积逐渐增大 它的平均膨胀率逐渐变小了 思考 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 h t o 用心 爱心 专心 2 12 12 VV VrVr 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述 其运动状态 思考计算 5 00 t和21 t的平均速度v 在5 00 t这段时间里 05 4 05 0 0 5 0 sm hh v 在21 t这段时间里 2 8 12 1 2 sm hh v 探究 计算运动员在 49 65 0 t这段时间里的平均速度 并思考以下问题 运动员在这段时间内使静止的吗 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 探究过程 如图是函数h t 4 9t2 6 5t 10 的图像 结合图形可知 0 49 65 hh 所以 0 0 49 65 0 49 65 ms hh v 虽然运动员在 49 65 0 t这段时间里的平均速度为 0ms 但实际情况是运动员仍然运动 并非静止 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 二 平均变化率概念 1 上述问题中的变化率可用式子 12 12 xx xfxf 表示 称为函数f x 从x1到x2的平均变 化率 2 若设 12 xxx 12 xfxff 这里x 看作是对于x1的一个 增量 可用 x1 x 代替x2 同样 12 xfxfyf 3 则平均变化率为 x f x y x xfxxf xx xfxf 11 12 12 思考 观察函数f x 的图象 平均变化率 x f 12 12 xx xfxf 表示什么 用心 爱心 专心 3 直线AB的斜率 三 典例分析 例 1 已知函数f x xx 2 的图象上的一点 2 1 A及临近一点 2 1 yxB 则 x y 解 1 1 2 2 xxy x x xx x y 3 2 1 1 2 例例 2 2 求 2 xy 在 0 xx 附近的平均变化率 解 2 0 2 0 xxxy 所以 x xxx x y 2 0 2 0 xx x xxxxx 0 2 0 2 0 2 0 2 2 所以 2 xy 在 0 xx 附近的平均变化率为xx 0 2 四 课堂练习 1 质点运动规律为3 2 ts 则在时间 3 3 t 中相应的平均速度为 2 物体按照s t 3t2 t 4 的规律作直线运动 求在 4s附近的平均变化率 3 过曲线y f x x3上两点P 1 1 和Q 1 x 1 y 作曲线的割线 求出当 x 0 1 时