【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第十一章 第3讲 二项式定理配套训练 理 新人教A版

1 第第 3 3 讲讲 二项式定理二项式定理 分层训练 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2011 陕西卷改编 4x 2 x 6 x R R 展开式中的常数项是 解析 Tr 1 C 22x 6 r 2 x r 1 rC 2x 12 3r r 4 时 12 3r 0 故第 5 r6r6 项是常数项 T5 1 4C 15 4 6 答案 15 2 若二项式 n的展开式中第 5 项是常数项 则正整数n的值可能为 x 2 x 解析 Tr 1 C n r r 2 rC x 当r 4 时 0 又 r nx 2 x r n n 3r 2 n 3r 2 n N N n 12 答案 12 3 2011 天津改编 在 6的二项展开式中 x2的系数为 x 2 2 x 解析 在 6的展开式中 第r 1 项为 x 2 2 x Tr 1 C 6 rr C6 rx3 r 2 r r6 x 2 2 x r6 1 2 当r 1 时为含x2的项 其系数是 C 5 2 1 6 1 2 3 8 答案 3 8 4 已知 8展开式中常数项为 1 120 其中实数a是常数 则展开式中各项系数的和 x a x 是 解析 由题意知 C a 4 1 120 解得a 2 令x 1 得展开式各项系数和为 4 8 1 a 8 1 或 38 答案 1 或 38 5 设 n的展开式的各项系数之和为M 二项式系数之和为N 若M N 240 则展 5x 1 x 开式中x的系数为 解析 由已知条件 4n 2n 240 解得n 4 Tr 1 C 5x 4 r r 1 r54 rC x4 r4 1 x r4 3r 2 2 令 4 1 得r 2 T3 150 x 3r 2 答案 150 6 已知 1 x 5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 则 a0 a2 a4 a1 a3 a5 的值等于 解析 已知 1 x 5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 令x 1 则 0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 令x 1 则 25 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a0 a2 a4 a1 a3 a5 16 则 a0 a2 a4 a1 a3 a5 256 答案 256 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 已知 n 1 2 2x 1 若展开式中第 5 项 第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列 求展开式中二项式 系数最大项的系数 2 若展开式前三项的二项式系数和等于 79 求展开式中系数最大的项 解 1 C C 2C n2 21n 98 0 n 7 或n 14 当n 7 时 展开式中二 4n6n5n 项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数为 C 423 T5的系数为 C 324 70 当n 14 时 展开式中二项式 3 7 1 2 35 24 7 1 2 系数最大的项是T8 T8的系数为 C 727 3 432 7 14 1 2 2 C C C 79 n2 n 156 0 0n1n2n n 12 或n 13 舍去 设Tk 1项的系数最大 12 12 1 4x 12 1 2 2x 1 2 Error 9 4 k 10 4 k 10 展开式中系数最大的项为T11 T11 C 2 210 x10 16 896x10 1012 1 2 8 在杨辉三角形中 每一行除首末两个数之外 其余每个数都等于它肩上的两数之和 1 试用组合数表示这个一般规律 2 在数表中试求第n行 含第n行 之前所有数之和 3 试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数 使它们的比是 3 4 5 并 证明你的结论 3 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 第 6 行 1 6 15 20 15 6 1 解 1 C C C rn 1r nr 1n 2 1 2 22 2n 2n 1 1 3 设 C C C 3 4 5 r 1nr nr 1n 由 得 Cr 1n Cr n 3 4 r n r 1 3 4 即 3n 7r 3 0 由 得 Cr n Cr 1n 4 5 r 1 n r 4 5 即 4n 9r 5 0 解 联立方程组得 n 62 r 27 即 C C C 3 4 5 266227622862 分层训练 B 级 创新能力提升 1 2010 四川卷 6的展开式中的第四项是 2 1 3 x 解析 6的展开式中第 4 项为 T3 1 C 23 3 2 1 3 x 3 6 1 3 x 160 x 答案 160 x 2 2011 安徽卷 设 x 1 21 a0 a1x a2x2 a21x21 则a10 a11 解析 Tr 1 Cx21 r 1 r 1 rCx21 r r21r21 由题意知a10 a11分别是含x10和x11项的系数 所以 a10 C a11 C a10 a11 C C 0 1121102110211121 答案 0 3 2011 浙江卷 设二项式 6 a 0 的展开式中x3的系数为A 常数项为B 若 x a x B 4A 则a的值是 4 解析 对于Tr 1 Cx6 r r C a rx6 r r6 a x1 2 r6 3 2 B C a 4 A C a 2 B 4A a 0 a 2 4 62 6 答案 2 4 2011 新课标全国卷改编 5的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中 x a x 2x 1 x 常数项为 解析 令x 1 由已知条件 1 a 2 则a 1 5 C 2x 5 C 2x 2x 1 x 0 51 5 4 C 2x 3 2 C 2x 2 3 C 2x 4 5 1 x 2 5 1 x 3 5 1 x 4 5 1 x 1 x 32x5 80 x3 80 x 40 10 则常数项为 40 1 x 1 x3 1 x5 答案 40 5 2012 天一中学 淮阴中学 海门中学调研 把所有正整数按上小下大 左小右大的原 则排成如图所示的数表 其中第i行共有 2i 1个正整数 设aij i j N N 表示位于这 个数表中从上往下数第i行 从左往右数第j个数 1 求a69的值 2 用i j表示aij 3 记An a11 a22 a33 ann n N N 求证 当n 4 时 An n2 C 3n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解 a69 25 9 1 40 2 解 数表中前 i 1 行共有 1 2 22 2i 2 2i 1 1 个数 则第i行的第 一个数是 2i 1 aij 2i 1 j 1 3 证明 aij 2i 1 j 1 则ann 2n 1 n 1 n N N An 1 2 22 2n 1 0 1 2 n 1 2n 1 n n 1 2 当n 4 时 An 1 1 n 1 C C C C 1 n2 C n n 1 20n1n2n3n n n 1 23n 5 6 2012 苏锡常镇调研 从函数角度看 组合数 C 可看成是以r为自变量的函数f r r n 其定义域是 r r N N r n 1 证明 f r f r 1 n r 1 r 2 利用 1 的结论 证明 当n为偶数时 a b n的展开式中最中间一项的二项式系 数最大 证明 1 f r C r n n r n r 又 f r 1 C r 1n n r 1 n r 1 f r 1 n r 1 r n r 1 r n r 1 n r 1 n r n r 则f r f r 1 成立 n r 1 r 2 设n 2k f r f r 1 f r 1 0 n r 1 r f r f r 1 2k r 1 r 令f r f