高中数学 浅谈立体几何引入法向量的快速解法素材

1 浅谈立体几何引入法向量的快速解法浅谈立体几何引入法向量的快速解法 众所周知 解决立体几何问题 平移是手段 垂直是关键 向量的运算中 两向 量的共线易解决垂直 两向量所成角及线段的长度等问题 一般来说 当掌握了用向量 的方法解决立体几何问题这套强有力的工具 应该说不仅会降低了学习的难度 而且增 强了可操作性 为我们的学习提供了崭新的视角 丰富了思维结 构 消除了学习立体几何知识所产生的畏惧心理 有利于牢固对 立几知识的掌握 角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系 的定量分析 其中转化的思想十分重要 三种空间角都可转化为 平面角来计算 可进一步转化为向量的夹角求解 1 1 求两条异面直线所成的角 求两条异面直线所成的角 求所成的角 再化为异面直线所成 ba 0 的角切记即 其中分别是直线的方向向量 2 0 arccos ba ba ba ba 例 1 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别是 BD BC 的中点 2 2 CACBCDBDABAD 求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小 解 以 O 为原点 如图建立空间直角坐标 系 则 1 0 0 1 0 0 BD 13 0 3 0 0 0 1 0 1 0 1 1 3 0 22 CAEBACD 2 cos 4 BACD BA CD BA CD 异面直线 AB 与 CD 所成角 的大小为 2 arccos 4 评注 以向量为工具 利用空间向量的坐标表示 空间向量的数量积计算 异面直线所 成角问题思路自然 解法灵活简便 另本题也可用传统方法 平移法 求解 例 2 如图 5 所示 AF DE 分别是 O O1的直径 AD 与两 圆所在的平面均垂直 AD 8 BC 是 O 的直径 AB AC 6 OE AD 求直线 BD 与 EF 所成的角 解 以 O 为原点 BC AF OE 所在直线为坐标轴 建立空间 直角坐标系 如图所示 则 O 0 0 0 A 0 0 B 0 0 D 0 8 23 2323 C A D B O E x C A B O D y z E C n 图1D A B n m a b 2 E 0 0 8 F 0 0 23 所以 8 23 0 8 23 23 FEBD 10 82 82100 64180 cos FEBD FEBD EFBD 设异面直线 BD 与 EF 所成角为 则 10 82 cos cos EFBD 直线 BD 与 EF 所成的角为 10 82 arccos 2 2 求直线和平面所成的角 求直线和平面所成的角 求与的法向量 a 所成的角 则线面角是 利用 n 22 或 此种方法的关键是求出平面的法向量 具体求法 设是斜线 的方向向量 是平面的法向量 il n 则斜线与平面所成的角是 arcsin ni ni 特别的 最小角定理 21 coscoscos 是斜线与平面内过斜足的直线所成的角 是线面角 斜线与射影 1 是射影与过斜足的直线 面内 所成的角 2 例 3 如图 在四棱锥中 底面为直角梯形 PABCD ADBC90BAD 底面 且 分别为 的中点 求PA ABCD2PAADABBC MN PCPB 与平面所成的角 CDADMN 解 如图 以为坐标原点建立空间直角坐标系 设 则AAxyz 1BC 1 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 1 0 1 1 0 2 0 2 APBCMD 因为 所以 又因为 所以 2 0 2 0 2 0 PB AD 0 PBAD PBDM 平面因此的余角即是PB ADMN PB DC 与平面所成的角 因为CDADMN 所以与cos PB DC PB DC PBDC 10 5 CD n B A L 图2 3 面所成的角为 ADMN 10 arcsin 5 例 4 如图 在棱长为 1 的正方体 中 是侧棱上的一点 1111 DCBAABCD P 1 CC 试确定 使得直线与平面所mCP mAP 11B BDD 成角的正切值为 23 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 1 0 0 B 1 1 0 P 0 1 m C 0 1 0 D 0 0 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 所以 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 BDBBAPm AC 又由知 为平面 1 0 0AC BDAC BB AC 的一个法向量 设 AP 与平面所成的 11 BB D D 11 BB D D 角为 则 2 2 sincos 2 22 AP AC APACm 依题意有解得 2 2 23 2 221 3 2 m 1 3 m 故当时 直线 AP 与平面所成的角的正 1 3 m 11 BB D D 切值为 3 2 3 3 求二面角 求二面角 范围 二面角的求法 0 有棱二面角有棱二面角 三步法 作 先作平面的垂线 过垂足作棱的垂线 连线 证 算 射影面积公式 cos 2 1 是钝角时取负 S S 法向量法 方法一 构造二面角的两个半平面 l 的法向量 都取向上的方向 如图 3 所示 则 21 nn 若二面角是 钝角型 的如图 3 甲所示 那么其大小等于两法向量 l 的夹角的补角 即 21 nn cos 21 21 nn nn 若二面角是 锐角型 的如图 3 乙所示 那么其大小等于两法向量 l j P O1 D1 C1 B1 A1 D C BA z y x 1 n 2 n 图3乙 l 1 n 2 n l 图3甲 4 的夹角 即 21 nn cos 21 21 nn nn 方法二 在二面角的棱l上确定两个点 过分别在平面内求出与BA BA l垂直的向量 如图 4 所示 则二面角的大小等于向量的夹角 21 nn l 21 nn 即 cos 21 21 nn nn 分别是的法向量 则二面角的平面角 21 n n l cos 21 21 nn nn 而或 在内 在内 则二面角的平面角 la lb l cos ba ba 而或 无棱二面角无棱二面角 方法一 无棱变有棱 延长 连线找到棱 射影面积公式 大题一般按不可轻易使用 cos 2 1 是钝角时取负 S S 例 5 三棱锥的三条侧棱两两垂直 三个侧面与底面所成角分别是 底面面 000 30 45 60