高中数学 第二章 函数教案3

用心 爱心 专心1 课课 题题 2 4 12 4 1 反函数 一 反函数 一 教学目的 教学目的 掌握反函数的概念和表示法 会求一个函数的反函数 教学重点 教学重点 反函数的定义和求法 教学难点 教学难点 反函数的定义和求法 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教材分析 教材分析 反函数是数学中的一个很重要的概念 它是我们以后进一步研究具体 函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 本节是一节概念课 关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一 个特殊现象 对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上 的进一步深化和提高反函数概念的建立 关键在于让学生能从两个函数关 系的角度去认识它 从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系 这个概念本身不好理解 而反函数又是函 数中的一种特殊现象 它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数 的关系 是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中 通过对 具体例子的求解 不但使学生掌握求反函数的方法步骤 并有意识地阐明 函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 我们知道 物体作匀速直线运动的位移 s 是时间 t 的函数 即 s vt 其中速度 v 是常量 定义域 t 0 值域 s 0 反过来 也可以由位移 s 和 速度 v 常量 确定物体作匀速直线运动的时间 即 这时 位移 s v s t 是自变量 时间 t 是位移 s 的函数 定义域 s 0 值域 t 0 又如 在函数中 x 是自变量 y 是 x 的函数 定义域62 xy xR 值域 yR 我们从函数中解出 x 就可以得到式子 62 xy 这样 对于 y 在 R 中任何一个值 通过式子 x 在3 2 y x3 2 y x R 中都有唯一的值和它对应 因此 它也确定了一个函数 y 为自变量 x 为 y 的函数 定义域是 yR 值域是 xR 综合上述 我们由函数 s vt 得出了函数 由函数得 v s t 62 xy 用心 爱心 专心2 出了函数 不难看出 这两对函数中 每一对中两函数之间都存3 2 y x 在着必然的联系 它们的对应法则是互逆的 它们的定义域和值域相 反 即前者的值域是后者的定义域 而前者的定义域是后者的值域 我们 称这样的每一对函数是互为反函数 二 讲解新课 二 讲解新课 反函数的定义 一般地 设函数的值域是 C 根据这个函数中 x y 的 Axxfy 关系 用 y 把 x 表示出 得到 x y 若对于 y 在 C 中的任何一个值 通过 x y x 在 A 中都有唯一的值和它对应 那么 x y 就表示 y 是自变量 x 是自变量 y 的函数 这样的函数 x y yC 叫做函数 的反函数 记作 习惯上改写成 Axxfy 1 yfx 1 xfy 开始的两个例子 s vt 记为 则它的反函数就可以写为vttf 同样记为 则它的反函数为 v t tf 1 62 xy62 xxf 3 2 1 x xf 探讨 1 所有函数都有反函数吗 为什么 反函数也是函数 因为它符合函数的定义 从反函数的定义可知 对 于任意一个函数来说 不一定有反函数 如 只有 一一映 xfy 2 xy 射 确定的函数才有反函数 有反函数是 2 xy 0 xxy 探讨 2 互为反函数定义域 值域的关系 从映射的定义可知 函数是定义域 A 到值域 C 的映射 而它 xfy 的反函数是集合 C 到集合 A 的映射 因此 函数的定 1 xfy xfy 义域正好是它的反函数的值域 函数的值域正好是它 1 xfy xfy 的反函数的定义域 如下表 1 xfy xxffxxff 11 函数 xfy 反函数 1 xfy 定义域 AC 用心 爱心 专心3 值 域 CA 探讨 3 的反函数是 1 xfy 若函数有反函数 那么函数的反函数 xfy 1 xfy 1 xfy 就是 这就是说 函数与互为反函数 xfy xfy 1 xfy 三 讲解例题三 讲解例题 例 1 求下列函数的反函数 13Rxxy 1 3 Rxxy 0 1 xxy 1 1 32 xRx x x y且 解 由解得13 xy 3 1 y x 函数的反函数是 13Rxxy 3 1 Rx x y 由解得 x 1 3 Rxxy 3 1 y 函数的反函数是 1 3 Rxxy 1 3 Rxxy 由 y 1 解得 x x 2 1 y x0 y1 函数的反函数是 x x1 0 1 xxy 2 1 y 由解得 1 32 x x y 2 3 y y x x xR x1 y yR y2 函数的反函数是 1 1 32 xRx x x y且 2 2 3 xRx x x y 小结 求反函数的一般步骤分三步 一解 二换 三注明 反函数的定义域由原来函数的值域得到 而不能由反函数的解析式得到 求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数 即判断映射是否是 一一映射 例 2 求函数 的反函数 并画出原来的函数和它23 xyRx 用心 爱心 专心4 的反函数的图像 解 由解得23 xy 3 2 y x 函数的反函数 23Rxxy 是 3 2 Rx x y 它们的图像为 例 3 求函数 2 11xy 1 x 0 的反函数 解 1 x 0 0 1 0 1 1 2 x 2 x 0 1 0 y 1 2 1x 由 解得 1 x 0 2 11xy 2 2yyx 1 x 0 的反函数是 0 x 1 2 11xy 2 2xxy 例 4 已知 2x x 2 求 xf 2 x 1 xf 解法 1 令 y 2x 解此关于 x 的方程得 2 x 2 442y x x 2 即 x 1 2 442y x y 1 x 2 由 式知 1 y 0 y 1 由 得 1 x 0 x R 1 xf x 1 解法 2 令 y 2x 1 1 y 2 x 2 1 x 2 1 x x 2 x 1 1 x 1 即 x 1 y 1y 1 x 2 由 式知 1 y 0 y 1 函数 2x x 2 的反函数是 1 x 0 xf 2 x 1 xf x 1 4 3 2 1 1 2 3 4 2246 y x y x 2 3 y 3x 2 用心 爱心 专心5 说明 二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求 x 也可 以用配方法求 x 但开方时必须注意原来函数的定义域 四 课堂练习 四 课堂练习 课本 P63 练习 已知函数 求它的反函数 xfy 1 xfy 1 x R 2 x R