高中数学经典备课资料：集合的含义与表示（1）

用心 爱心 专心 备课资料备课资料 备选例题 备选例题 例 1 判断下列集合是有限集还是无限集 并用适当的方法表示 1 被 3 除余 1 的自然数组成的集合 2 由所有小于 20 的既是奇数又是质数的正整数组成的集合 3 二次函数 y x2 2x 10 的图象上的所有点组成的集合 4 设 a b 是非零实数 求 y ab ab b b a a 的所有值组成的集合 思路分析 思路分析 本题主要考查集合的表示法和集合的分类 用列举法与描述法表示集合时 一要分 清元素是什么 二要明确元素满足的条件是什么 解 解 1 被 3 除余 1 的自然数有无数个 这些自然数可以表示为 3n 1 n N 用描述法表示为 x x 3n 1 n N 2 由题意得满足条件的正整数有 3 5 7 11 13 17 19 则此集合中的元素有 7 个 用列举法表示为 3 5 7 11 13 17 19 3 满足条件的点有无数个 则此集合中有无数个元素 可用描述法来表示 通常用有序数对 x y 表示点 那么满足条件的点组成的集合表示为 x y y x2 2x 10 4 当 ab0 时 则 a 0 b 0 或 a 0 b0 b 0 则有 y ab ab b b a a 3 若 a 0 b5 的 解集 这些都是集合 还有 我们学过的圆的定义是什么 提问学生 圆是到一个定点的距离等于 定长的点的集合 接着点出课题 推进新课推进新课 新知探究新知探究 用心 爱心 专心 提出问题提出问题 教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例 这 5 个实例的共同特征是什么 1 1 20 以内的所有质数 2 我国古代的四大发明 3 所有的安理会常任理事国 4 所有的正方形 5 北京大学 2004 年 9 月入学的全体学生 活动 活动 教师组织学生分小组讨论 每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果 在此基础上 师 生共同概括出 5 个实例的特征 并给出集合的含义 引导过程 一般地 指定的某些对象的全体称为集合 简称为集 集合中的每个对象叫做这个集合的元素 集合常用大写字母 A B C D 表示 元素常用小写字母 a b c d 表示 集合的表示法 a 自然语言 5 个实例 b 字母表示法 集合元素的性质 a 确定性 即任给一个元素和一个集合 那么这个元素和这个集合的关系只 有两种 这个元素要么属于这个集合 要么不属于这个集合 b 互异性 一个给定集合的元素是互 不相同的 即集合中的元素是不重复出现的 c 无序性 集合中的元素是没有顺序的 集合相等 如果两个集合中的元素完全相同 那么这两个集合是相等的 元素与集合的关系 属于 和 不属于 分别用 和 表示 元素确定性的符号语言表述为 对任意元素 a 和集合 A 要么 a A 要么 a A 在初中我们学过了一些数的集合 国际标准化组织 ISO 制定了常用数集的记法 自然数集 包含零 N 正整数集 N N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 因此字母 N Z Q R 不能再表示其他的集合 否则会出现混乱的局面 提出问题提出问题 1 请列举出 小于 5 的所有自然数组成的集合 A 2 你能写出不等式 2 x 3 的所有解吗 怎样表示这个不等式的解集 活动 活动 学生回答后 教师指出 在数学中 为书写规范 我们把封闭曲线简化为一个大括号 然后把元素一一列举出来 元素与 元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合 这种表示集合的方法称为列举法 如本例 可表示为 A 0 1 2 3 4 描述法 将集合的所有元素都具有的性质 满足的条件 表示出来 写成 x p x 的形式 其中 x 为元素的一般特征 p x 为 x 满足的条件 如数集常用 x p x 表示 点集常用 x y p x y 表示 应用示例应用示例 思路思路 1 1 课本第 3 页例 1 思路分析 思路分析 用相应的数学知识明确集合中的元素 再写在大括号内 点评 点评 本题主要考查集合表示法中的列举法 如果一个集合是有限集 并且元素的个数较少时 通常选择列举法表示 其特点是非常显明地表示出了集合中的元素 是常用的表示法 列举法表 示集合的步骤 1 用字母表示集合 2 明确集合中的元素 3 把集合中所有元素写在大括号 内 并写成 A 的形式 变式训练变式训练 请试一试用列举法表示下列集合 1 A x N 且 x 9 9 N 2 B y y x2 6 x N y N 用心 爱心 专心 3 C x y y x2 6 x N y N 分析 本题考查列举法与描述法的相互转化 明确各个集合中的元素后再写在大括号内 1 集合 A 中元素 x 满足 x 9 9 均为自然数 2 集合 B 中 y 值为函数 y x2 6 的函数值的集合 3 集合 C 中元素为点 抛物线上横 纵坐标均为自然数的点 答案 答案 1 A 0 6 8 2 B 2 5 6 3 C 0 6 1 5 2 2 2 课本第 4 页例 2 思路分析 思路分析 本题重点学习用描述法表示集合 用一个小写英文字母表示集合中的元素 作为集 合中元素的代表符号 找到集合中元素的共同特征 并把共同特征用数学符号来表达 然后写在 大括号 内 点评 点评 本题主要考查集合的表示方法 以及应用知识解决问题的能力 描述法表示集合的步骤 1 用字母分别表示集合和元素 2 用数学符号表达集合元素的共同特征 3 在大括号内先写上 集合中元素的代表符号及取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具 有的共同特征 并写成 A 的形式 描述法适合表示有无数个元素的集合 当集合中的元素 个数较少时 通常用列举法表示 变式训练变式训练 课本 P5练习 2 思路思路 2 1 下列所给对象不能构成集合的是 A 一个平面内的所有点 B 所有大于零的正数 C 某校高一 4 班的高个子学生 D 某一天到商场买过货物的顾客 思路分析 思路分析 本题考查集合中元素的确定性 由集合的含义 可知组成集合的元素必须是明确的 不能模棱两可 在 A 中对于任何一个点要么在这个平面内 要么不在这个平面内 因而它可以组 成一个集合 在 B 中由于大于零的正数很明确 因此 B 也能组成一个集合 C 中由于 高个子 没 有一个确定的标准 因而不能判定一个学生到底是不是高个子 故它不能组成集合 而 D 中对于 任何一个顾客在这一天是否到过某商场 以及是否买过货物是非常明确的 因此它也能组成一 个集合 答案 答案 C 变式训练变式训练 下列各组对象中不能构成集合的是 A 高一 1 班全体女生 B 高一 1 班全体学生家长 C 高一 1 班开设的所有课程 D 高一 1 班身高较高的男同学 分析 判断所给对象能否构成集合的问题 只需根据构成集合的条件 即集合中元素的确定性便 可以解决 因为 A B C 中所给对象都是确定的 从而可以构成集合 而 D 中所给对象不确定 原因是找不到衡量学生身高较高的标准 故不能构成集合 若将 D 中 身高较高的男同学 改为 身高 175 cm 以上的男同学 则能构成集合 答案 答案 D 用心 爱心 专心 2 用另一种形式表示下列集合 1 绝对值不大于 3 的整数 2 所有被 3 整除的数 3 x x x x Z 且 x0 y 0 x Z y Z 思路分析 思路分析 用列举法与描述法表示集合时 一要分清元素是什么 二要明确元素满足的条件是 什么 答案 答案 1 绝对值不大于 3 的整数 还可以表示为 x x 3 x Z 也可表示为 3 2 1 0 1 2 3 2 x x 3n n Z 3 x x x 0 又 x Z 且 x 5 x x x x Z 且 x 5 还可以表示为 0 1 2 3 4 4 2 5 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 变式训练变式训练 用适当的形式表示下列集合 1 绝对值不大于 3 的整数组成的集合 2 所有被 3 整除的数组成的集合 3 方程 3x 5 x 2 x2 3 0 实数解组成的集合 4 一次函数 y x 6 图象上所有点组成的集合 分析 元素较少的有限集宜采用列举法 对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法 答案 答案 1 x x 3 x Z 或 3 2 1 0 1 2 3 2 x x 3n n Z 3 3 5 2 4 x y y x 6 3 已知集合 A x ax2 3x 2 0 a R 若 A 中至少有一个元素 求 a 的取值范围 思路分析 思路分析 对于方程 ax2 3x 2 0 a R 的解 要看这个方程左边的 x2的系数 a 0 和 a 0 方程的 根的情况是不一样的 则集合 A 的元素也不相同 所以首先要分类讨论 解 解 当 a 0 时 原方程为 3x 2 0 x 3 2 符合题意 当 a 0 时 方程 ax2 3x 2 0 为一元二次方程 则 0 89 0 a a 解得 a 0 且 a 8 9 综上所得 a 的取值范围是 a a 8 9 4 用适当的方法表示下列集合 1 方程组 82y3x 14 3y 2x 的解集 2 1000 以内被 3 除余 2 的正整数所组成的集合 3 直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合 4 所有正方形 用心 爱心 专心 5 直角坐标平面上在直线 x 1 和 x 1 的两侧的点所组成的集合 分析 本题考查集合的表示方法 所谓适当的表示方法 就是较简单 较明了的表示方法 由于方 程组 82y3x 14 3y 2x 的解为 x 4 y 2 故 1 宜用列举法 2 中尽管是有限集 但由于它的元素个 数较多 所以用列举法表示是不明智的 故用描述法 3 和 5 也宜用描述法 而 4 则宜用列举法 为好 解 解 1 4 2 2 x x 3k 2 k N 且 x 1000 3 x y x0 4 正方形 5 x y x 知能训练知能训练 课本 P5练习 1 2 拓展提升拓展提升 1 已知 A x R x abc abc bc bc ac ac ab ab c c b b a a abc 0 用列举法表示集合 A 分析 解决本题的关键是去掉绝对值符号 需分类讨论 解 解 题目中 x 的取值取决于 a b c 的正负情况 可分成以下几种情况讨论 1 a b c 全为正时 x 7 2 a b c 两正一负时 x 1 3 a b c 一正两负时 x 1 4 a b c 全为负时 x 1 A 7 1 注意 注意 2 3 中又包括多种情况 a b c 各自的正负情况 解题时应考虑全面 2 已知集合 C x x a b a A b B 1 若 A 0 1 2 3 B 6 7 8 9 求集合 C 中所有元素之和 S 2 若 A 0 1 2 3 4 2 005 B 5 6 7 8 9 试用代数式表示出集合 C 中所有元素之和 S 3 联系高斯求 S 1 2 3 4 99 100 的方法 试求出 2 中的 S 思路分析 思路分析 先用列举法写出集合 C 然后解决各个小题 答案 答案 1 列举法表示集合 C 6 7 8 9 10 11 12 进而易求得 S 6 7 8 9 10 11 12 63 2 列举法表示集合 C 5 6 7 2 013 2 014 由此可得 S 5 6 7 2 013 2 014 3 高斯求 S 1 2 3 4 99 100 时 利用 1 100 2 99 3 98 50 51 101 进而得 S 1 2 3 4 99 100 101 50 5 050 本题 2 中 S 5 6 7 2 013 2 014 2 019 1 005 2