考点29-离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差

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规范解答 1 由题设知 X 的可能取值为 10 5 2 3 且 P X 10 0 8 0 9 0 72 P X 5 0 2 0 9 0 18 P X 2 0 8 0 1 0 08 P X 3 0 2 0 1 0 02 由此得 X 的分布列为 X1052 3 P0 720 180 080 02 2 设生产的 4 件甲产品中一等品有n件 则二等品有4n 件 由题设知4 4 10nn 解得 14 5 n 又nN 得3n 或4n 所求概率为 334 4 0 80 20 80 8192PC 答 生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0 8192 4 2010 安徽高考理科 21 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试 一种通常采用的测试方法如下 拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝 要求其按品质优劣为它们排序 经过一段时间 等其记忆 淡忘之后 再让其品尝这n瓶酒 并重新按品质优劣为它们排序 这称为一轮测试 根据一轮测试中的 两次排序的偏离程度的高低为其评为 现设4n 分别以 1234 a a a a表示第一次排序时被排为 1 2 3 4 的四种酒在第二次排序时的序号 并令 1234 1234Xaaaa 则X是对两次排序的偏离程度的一种描述 写出X的可能值集合 假设 1234 a a a a等可能地为 1 2 3 4 的各种排列 求X的分布列 某品酒师在相继进行的三轮测试中 都有2X i 试按 中的结果 计算出现这种现象的概率 假定各轮测试相互独立 ii 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何 说明理由 命题立意 本题主要考查离散型随机变量及其分布列 考查考生的计数能力 抽象概括能力 概率思 想在生活中的应用意识和创新意识 思路点拨 用列表或树形图表示 1 2 3 4 的排列的所有可能情况 计算每一种排列下的x值 即可得出其分布列及相关事件的概率 规范解答 I x的可能值的集合为 0 2 4 6 8 II 1 2 3 4 的排列共 24 种 在等可能的假定下 计算每种排列下的x值 得到 x 02468 p 1 24 3 24 7 24 9 24 4 24 III i 1 2 0 2 6 p xp xp x 2 xp 将三轮测试都有的概率记作由独立性假设可得 1111 666216 p ii 由于 15 2161000 p 是一个很小的概率 这表明如果仅凭随机猜测得 到三轮测试都有2x 的结果的可能性很小 所以可以认为该品酒师确实 有良好的味觉鉴别功能 不是靠随机猜测 5 2010 浙江高考理科 19 如图 一个小球从M处投入 通过管道自上 而下落A或B或C 已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等 的 某商家按上述投球方式进行促销活动 若投入的小球落到 A B C 则分 别设为 l 2 3 等奖 I 已知获得 l 2 3 等奖的折扣率分别为 50 70 90 记随变量 为获得k k 1 2 3 等奖的 折扣率 求随机变量 的分布列及期望 E II 若有 3 人次 投入 l 球为 l 人次 参加促销活动 记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次 求 2 P 命题立意 本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列 数学期望 二项分布等概念 同时考 查抽象概括 运算求解能力和应用意识 思路点拨 1 求分布列时 要先找出从 M 出发到相应的位置有几种路 然后再用独立事件的乘法公 式 如从 M 到 A 有两种路 所以 34 113 2216 P A 2 第 II 是一个二项分布 规范解答 由题意得 的分布列为 50 70 90 p 3 16 3 8 7 16 则 3 16 50 3 8 70 7 16 90 3 4 由 可知 获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 3 16 3 8 9 16 由题意得 3 9 16 则 P 2 2 3 C 9 16 2 1 9 16 1701 4096 方法技巧 1 独立事件的概率满足乘法公式 互斥事件的概率满足的加法公式 2 n 次独立重复试验是一个很重要的试验 要注意在实际问题中的应用 6 2010 北京高考理科 7 某同学参加 3 门课程的考试 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的 概率为 4 5 第二 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p q p q 且不同课程是否取得优秀成 绩相互独立 记 为该生取得优秀成绩的课程数 其分布列为 0123 p 6 125 ad 24 125 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率 求p q的 值 求数学期望E 命题立意 本题考查了对立事件 独立事件的概率 及期望的求法 思路点拨 1 至少 问题一般用对立事件求概率方便 2 利用独立事件分别求出0 3 时的概 率 联立方程解出 p q的值 3 求出 a d 代入期望公式即可 规范解答 事件 i A表示 该生第i门课程取得优秀成绩 i 1 2 3 由题意知 1 4 5 P A 2 P Ap 3 P Aq I 由于事件 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩 与事件 0 是对立的 所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 6119 1 0 1 125125 P II 由题意知 123 16 0 1 1 5125 PP A A Apq 123 424 3 5125 PP A A Apq 整理得 6 25 pq 1pq 由pq 可得 3 5 p 2 5 q III 由题意知 123123123 1 aPP A A AP A A AP A A A 432132132 1 1 1 1 555555555 37 125 2 1 0 1 3 bPPPP 63724 1 125125125 58 125 0 0 1 1 2 2 3 3 EPPPP 6375824 0123 125125125125 9 5 方法技巧 1 至少 至多 问题 一般采用对立事件求概率较容易 2 事件 A 与 B 独立 则 P ABP A P B 7 2010 福建高考理科 16 设 S 是不等式 2 60 xx 的解集 m n S I 记 使得 m n 0 成立的有序数组 m n 为事件 A 试列举 A 包含的基本事件 II 设 2 m 求 的分布列及其数学期望E 命题立意 本题考查概率与统计 不等式等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 考查分类与整 合思想 必然与或然 化归与转化思想 思路点拨 第一步先求解出一元二次不等式的解集 得到集合 S 进而求出 A 所包含的基本事件 第二 步求出m的可能取值 再求出 的可能取值 计算出 所对应的概率 画出分布列 求出数学期望 规范解答 I 320 2 3 xxx 则 3 2 1 0 1 2 nm 0 nm有 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 n m n m n m n m n m 或或或或 因此 A 包含的基本事件为 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 II m的可能去取为3 2 1 0 1 2 则 2 m的可能取值为9 4 1 0 6 1 9 0 22 mPmP 3 1 6 2 4 1 22 mPmP 因此 2 m 得分布列为 所以其数学期望为 6 19 2 3 3 5 2 3 3 4 3 1 E 方法技巧 有关概率统计的问题 越来越常见利用枚举法的求解方法 枚举时一定要考虑全面 漏解 是最常见的错误 如本题要求的是有序的数组 m n 坐标的位置是有序的 如 1 2 和 2 1 是 2 m 0149 2 mP 6 1 3 1 3 1 6 1 不同的情况 不要当成同一种 因为这部分内容与实际生活联系比较大 随着新课改的深入 高考将越 来越重视这部分的内容 试题的难度为中等或中等偏易 8 2010 山东高考理科 20 某学校举行知识竞赛 第一轮选拔共设有 A B C D四个问题 规则如 下 每位参加者计分器的初始分均为 10 分 答对问题 A B C D分别加 1 分 2 分 3 分 6 分 答错任 一题减 2 分 每回答一题 计分器显示累计分数 当累计分数小于 8 分时 答题结束 淘汰出局 当累计分数大于 或等于 14 分时 答题结束 进入下一轮 当答完四题 累计分数仍不足 14 分时 答题结束 淘汰出 局 每位参加者按问题 A B C D顺序作答 直至答题结束 假设甲同学对问题 A B C D回答正确的概率依次为 3 1 1 1 4 2 3 4 且各题回答正确与否相互之间没有影响 1 求甲同学能进入下一轮的概率 2 用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数 求 的分布列和数学期望E 命题立意 本题考查了相互独立事件同时发生的概率 考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望 的知识 考查了考生利用所学知识解决实际问题的能力 思路点拨 1 甲能进入下一轮有以下几种情形 前三个问题回答正确 第一个问题回答错误 后三个 问题回答正确 只有第二个问题回答错误 只有第三个问题回答错误 第一 三错误 第二 四正确 2 随机变量 可能取值为 2 3 4 规范解答 设 A B C D 分别为第一 二 三 四个问题 用 1 2 3 4 i M i 表示甲同学第i个问题 回答正确 用 1 2 3 4 i N i 表示甲同学第i个问题回答错误 则 i M与 i N 1 2 3 4 i 互为对立事件 由题意得 1 3 4 PM 2 1 2 PM 3 1 3 PM 4 1 4 PM 所以 1 1 4 PN 2 1 2 PN 3 2 3 PN 1 记 甲同学能进入下一轮 为事件 Q Q 123 M M M 1234 N M M M 1234 M N M M 1234 M M N M 1234 N M N M 由于每题答题结果相互独立 因此 P Q P 123 M M M 1234 N M M M 1234 M N M M 1234 M M N M 1234 N M N M 123 P M M M 1234 P N M M M 1234 P M N M M 1234 P M M N M 1234 P N M N M 311 423 1111 4234 3111 4234 3121 4234 1121 4234 1 4 2 由题意 随机变量 可能取值为 2 3 4 由于每题答题结果相互独立 因此 1212 111 2 428 PP N NP N P N 123123 123123 3 3113123 4234238 PP M M MP M N N P M P MP MP M P NP N 131 4 1 2 3 1 882 PPP 所以 的分布列为 234 P 1 8 3 8 1 2 数学期望E 1 2 8 3 3 8 4 1 2 27 8 9 2010 天津高考理科 8 某射手每次射击击中目标的概率是 2 3 且各次射击的结果互不影响 假设这名射手射击 5 次 求恰有 2 次击中目标的概率 假设这名射手射击 5 次 求有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标的概率 假设这名射手射击 3 次 每次射击 击中目标得 1 分 未击中目标得 0 分 在 3 次射击中