高三数学典型例题解析：第一章 集合与常用逻辑用语

第一章第一章 集合与集合与常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语 1 1 1 1 集合的概念与运算集合的概念与运算 一 知识导学一 知识导学 1 集合 一般地 一定范围内某些确定的 不同的对象的全体构成一个集合 2 元素 集合中的每一个对象称为该集合的元素 简称元 3 子集 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素 若Aa 则Ba 则称 集合 A 为集合 B 的子集 记为 A B 或 B A 如果 A B 并且 A B 这时集合 A 称为集 合 B 的真子集 记为 AB 或 BA 4 集合的相等 如果集合 A B 同时满足 A B B A 则 A B 5 补集 设 A S 由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集 记 为 ACs 6 全集 如果集合 S 包含所要研究的各个集合 这时 S 可以看做一个全集 全集通常 记作 U 7 交集 一般地 由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合 称为 A 与 B 的交集 记作 A B 8 并集 一般地 由所有属于集合 A 或者属于 B 的元素构成的集合 称为 A 与 B 的并 集 记作 A B 9 空集 不含任何元素的集合称为空集 记作 10 有限集 含有有限个元素的集合称为有限集 11 无限集 含有无限个元素的集合称为无限集 12 集合的常用表示方法 列举法 描述法 图示法 Venn 图 13 常用数集的记法 自然数集记作 N N 正整数集记作 N N 或 N N 整数集记作 Z Z 有理 数集记作 Q Q 实数集记作 R R 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 符号 表示集合与集合之间的关系 其中 包括 和 两种情况 同样 包括 和 两种情况 符号 表示元素与集合之间 的关系 要注意两类不同符号的区别 2 在判断给定对象能否构成集合时 特别要注意它的 确定性 在表示一个集合时 要特别注意它的 互异性 无序性 3 在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质 4 对由条件给出的集合要明白它所表示的意义 即元素指什么 是什么范围 用集合 表示不等式 组 的解集时 要注意分辨是交集还是并集 结合数轴或文氏图的直观性帮 助思维判断 空集是任何集合的子集 但因为不好用文氏图形表示 容易被忽视 如在关 系式中 B 易漏掉的情况 5 若集合中的元素是用坐标形式表示的 要注意满足条件的点构成的图形是什么 用 数形结合法解之 6 若集合中含有参数 须对参数进行分类讨论 讨论时既不重复又不遗漏 7 在集合运算过程中要借助数轴 直角坐标平面 Venn 图等将有关集合直观地表示出 来 8 要注意集合与方程 函数 不等式 三角 几何等知识的密切联系与综合使用 9 含有 n 个元素的集合的所有子集个数为 n 2 所有真子集个数为 n 2 1 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 已知集合 M y y x2 1 x R R N y y x 1 x R R 则 M N A 0 1 1 2 B 0 1 1 2 C y y 1 或 y 2 D y y 1 错解错解 求 M N 及解方程组 1 1 2 xy xy 得 1 0 y x 或 2 1 y x 选 B 错因错因 在集合概念的理解上 仅注意了构成集合元素的共同属性 而忽视了集合的元 素是什么 事实上 M N 的元素是数而不是实数对 x y 因此 M N 是数集而不是点集 M N 分别表示函数y x2 1 x R y x 1 x R 的值域 求 M N 即求两函数值域的交 集 正解正解 M y y x2 1 x R y y 1 N y y x 1 x R y y R M N y y 1 y y R y y 1 应选 D 注注 集合是由元素构成的 认识集合要从认识元素开始 要注意区分 x y x2 1 y y x2 1 x R x y y x2 1 x R 这三个集合是不同的 例例 2 2 已知 A x x2 3x 2 0 B x ax 2 0 且 A B A 求实数a组成的集合 C 错解错解 由x2 3x 2 0 得x 1 或 2 当x 1 时 a 2 当x 2 时 a 1 错因错因 上述解答只注意了 B 为非空集合 实际上 B 时 仍满足 A B A 当a 0 时 B 符合题设 应补上 故正确答案为 C 0 1 2 正解正解 A B A BA 又 A x x2 3x 2 0 1 2 B 或 21或 C 0 1 2 例例 3 3 已知m A n B 且集合 A Zaaxx 2 B Zaaxx 12 又 C Zaaxx 14 则有 A m n A B m n B C m n C D m n不属于 A B C 中任意一个 错解错解 m A m 2a aZ 同理n 2a 1 a Z m n 4a 1 故选 C 错因是上述解法缩小了m n的取值范围 正解正解 m A 设m 2a1 a1 Z 又 nB n 2a2 1 a2 Z m n 2 a1 a2 1 而a1 a2 Z m n B 故选 B 例例 4 4 已知集合 A x x2 3x 10 0 集合 B x p 1 x 2p 1 若 BA 求 实数 p 的取值范围 错解错解 由 x2 3x 10 0 得 2 x 5 欲使 BA 只须33 512 12 p p p p 的取值范围是 3 p 3 错因错因 上述解答忽略了 空集是任何集合的子集 这一结论 即 B 时 符合题设 正解正解 当 B 时 即 p 1 2p 1p 2 由 BA 得 2 p 1 且 2p 1 5 由 3 p 3 2 p 3 当 B 时 即 p 1 2p 1p 2 由 得 p 3 点评点评 从以上解答应看到 解决有关 A B A B AB 等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解 这需要在解题过程中要全方位 多角度审视问题 例例 5 5 已知集合 A a a b a 2b B a ac ac2 若 A B 求 c 的值 分析分析 要解决 c 的求值问题 关键是要有方程的数学思想 此题应根据相等的两个集 合元素完全相同及集合中元素的确定性 互异性 无序性建立关系式 解解 分两种情况进行讨论 1 若 a b ac 且 a 2b ac2 消去 b 得 a ac2 2ac 0 a 0 时 集合 B 中的三元素均为零 和元素的互异性相矛盾 故 a 0 c2 2c 1 0 即 c 1 但 c 1 时 B 中的三元素又相同 此时无解 2 若 a b ac2且 a 2b ac 消去 b 得 2ac2 ac a 0 a 0 2c2 c 1 0 即 c 1 2c 1 0 又 c 1 故 c 2 1 点评点评 解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解 这需要解题后进行检验 例例 6 6 设 A 是实数集 满足若 a A 则 a 1 1 A 1 a且 1 A 若 2 A 则 A 中至少还有几个元素 求出这几个元素 A 能否为单元素集合 请说明理由 若 a A 证明 1 a 1 A 求证 集合 A 中至少含有三个不同的元素 解解 2 A 1 A 2 1 A 2 A A 中至少还有两个元素 1 和 2 1 如果 A 为单元素集合 则 a a 1 1 即1 2 aa 0 该方程无实数解 故在实数范围内 A 不可能是单元素集 a A a 1 1 A a 1 1 1 1 A 11 1 a a A 即 1 a 1 A 由 知 a A 时 a 1 1 A 1 a 1 A 现在证明 a 1 a 1 a 1 1 三数互不相等 若 a a 1 1 即 a2 a 1 0 方程无解 a a 1 1 若 a 1 a 1 即 a2 a 1 0 方程无解 a 1 a 1 若 1 a 1 a 1 1 即 a2 a 1 0 方程无解 1 a 1 a 1 1 综上所述 集合 A 中至少有三个不同的元素 点评点评 的证明中要说明三个数互不相等 否则证明欠严谨 例例 7 7 设集合 A a a 1 2 n n N 集合 B b b 54 2 kk k N 试证 AB 证明证明 任设a A 则a 1 2 n n 2 2 4 n 2 5 n N n N n 2 N a B 故 显然 1 2 1 NnnaaA 而由 B b b 54 2 kk k N b b 1 2 2 k k N 知 1 B 于是 A B 由 得 AB 点评 1 判定集合间的关系 其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系 2 判定两集合相等 主要是根据集合相等的定义 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 集合 A x x2 3x 10 0 x Z B x 2x2 x 6 0 x Z 则 A B 的非空真子 集的个数为 A 16 B 14 C 15 D 32 2 数集 1 2 x2 3 中的 x 不能取的数值的集合是 A 2 2 B 2 5 C 2 5 D 5 5 3 若 P y y x2 x R Q y y x2 1 x R 则 P Q 等于 A P B Q C D 不知道 4 若 P y y x2 x R Q x y y x2 x R 则必有 A P Q B P Q C P Q D P Q 5 若集合 M 1 1 x x N x 2 x x 则 M N A 11 xx B 10 xx C 01 xx D 6 已知集合 A x x2 m 2 x 1 0 x R R 若 A R 则实数 m 的取值范围是 7 设a R 函数 2 22 f xaxxa 若 0f x 的解集为 A 13 BxxAB 求实数a的取值范围 8 已知集合 A 012 2 baxxx和 B 0 2 baxxx满足 I CA B 2 A I CB 4 I R R 求实数 a b 的值 1 2 1 2 常用逻辑用语常用逻辑用语 一 知识导学一 知识导学 1 逻辑联结词 且 或 非 分别用符号 表示 2 命题 能够判断真假的陈述句 3 简单命题 不含逻辑联结词的命题 4 复合命题 由简单命题和逻辑联结词构成的命题 复合命题的基本形式 p 或 q p 且 q 非 p 5 四种命题的构成 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若p 则q 逆否命题 若q 则p 6 原命题与逆否命题同真同假 是等价命题 即 若 p 则 q 若q 则p 7 反证法 欲证 若 p 则 q 从 非 q 出发 导出矛盾 从而知 若 p 则非 q 为假 即 若 p 则 q 为真 8 充分条件与必要条件 pq p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 pq p 是 q 的充要条件 9 常用的全称量词 对所有的 对任意一个 对一切 对每一个 任给 等 并用符号 表示 含有全称量词的命题叫做全称命题 10 常用的存在量词 存在一个 至少有一个 有些 有一个 有的 对 某个 并用符号 表示 含有存在量词的命题叫做特称命题 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 基本题型及其方法 1 由给定的复合命题指出它的形式及其构成 2 给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题 并能利用真值表判断复合命题的真假 3 给定命题 能写出它的逆命题 否命题 逆否命题 并能运用四种命题的相互关系 特 别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假 注意 否命题与命题的否定是不同的 4 判断两个命题之间的充分 必要 充要关系 方法 利用定义 5 证明p的充要条件是q 方法 分别证明充分性和必要性 6 反证法证题的方法及步骤 反设 归谬 结论 反证法是通过证明命题的结论的反面不成 立而肯定命题的一种数学证明方法 是间接证法之一 注 常见关键词的否定 关键词是都是 全是 至少有一个至多有一个任意存在 否定不是 不都是 全 是 一个也没有至少有两个存在任意 2 全称命题与特称命题的关系 全称命题 p xpMx 它的否定p xpMx 特称命题 p xpMx 它的否定p xpMx 即全称命题的否定是特称命题 特称命题 的否定是全称命题 否定一个全称命题可以通过 举反例 来说明 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 1 把命题 全等三角形一定相似 写成 若 p 则 q 的形式 并写出它的逆命题 否 命题与逆否命题 错解错解 原命题可改写成 若两个三角形全等 则它们一定相似 逆命题 若两个三角形相似 则它们全等 否命题 若两个三角形不一定全等 则它们不一定相似 逆否命题 若两个三角形不一定相似 则它们不一定全等 错因错因 对 一定 的否定把握不准 一定 的否定 一定不 在逻辑知识中求否定相 当于求补集 而 不一定 含有 一定 的意思 对这些内容的学习要多与日常生活中 的例子作比较 注意结合集合知识 因而否命题与逆否命题错了 正解正解 否命题 若两个三角形不全等 则它们不相似 逆否命题 若两个三角形不相似 则它们不全等 例例 2 2 将下列命题改写成 若 p 则 q 的形式 并写出否命题 a o 时 函数 y ax b 的值 随 x 值的增加而增加 错解错解 原命题改为 若 a o 时 x 的值增加 则函数 y ax b 的值也随着增加 错因错因 如果从字面上分析最简单的方法是将 a o 看作条件 将 随着 看作结论 而 x 的 值增加 y 的值也增加看作研究的对象 那么原命题改为若 a o 时 则函数 y ax b 的值随 着 x 的值增加而增加 其否命题为若 a o 时 则函数 y ax b 的值不随 x 值的增加而增加 此题错解在注意力集中在 增加 两个字上 将 x 值的增加当做条件 又不把 a o 看作前 提 就变成两个条件的命题 但写否命题时又没按两个条件的规则写 所以就错了 正解正解 原命题改为 a o 时 若 x 的值增加 则函数 y ax b 的值也随着增加 否命题为 a o 时 若 x 的值不增加 则函数 y ax b 的值也不增加 原命题也可改为 当 x 的值增加时 若 a o 则函数 y ax b 的值也随着增加 否命题为 当 x 增加时 若 a o 则函数 y ax b 的值不增加 例例 3 3 已知 h 0 设命题甲为 两个实数 a b 满足hba2 命题乙为 两个实数 a b 满足ha 1且hb 1 那么 A 甲是乙的充分但不必要条件 B 甲是乙的必要但不充分条件 C 甲是乙的充要条件 D 甲是乙的既不充分也不必要条件 错解错解 hba2 hhhba 2 1 1 ha 1 hb 1 故本题应选 C 错因错因 1 对充分 必要 充要条件的概念分不清 无从判断 凭猜测产生错误 2 不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误 正解正解 因为 1 1 hb ha 所以 1 1 hbh hah 两式相减得hbah22 故hba2 即由命题甲成立推出命题乙成立 所以甲是乙的必要条件 由于 hb ha 2 2 同理也可得hba2 因此 命题甲成立不能确定命题乙一定成立 所以甲不是乙的充分条件 故应选 B 例例 4 4 已知命题甲 a b 4 命题乙 a1 且 b3 则命题甲是命题乙的 错解错解 由逆否命题与原命题同真同假知 若 a 1 且 b 3 则 a b 4 成立 所以命题甲是命题 乙的充分不必要条件 错因错因 对命题的否定不正确 a1 且 b3 的否定是 a 1 或 b 3 正解正解 当 a b 4 时 可选取 a 1 b 5 故此时 a1 且 b3 不成立 a 1 同样 a1 且 b3 时 可选取 a 2 b 2 a b 4 故此时 a b 4 因此 甲是乙的既不充分也不必要条件 注 a1 且 b3 为真时 必须 a1 b3 同时成立 例例 5 5 已知 p 是 r 的充分不必要条件 s 是 r 的必要条件 q 是 s 的必要条件 那么 p 是 q 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 分析分析 本题考查简易逻辑知识 因为 p r s q 但 r 成立不能推出 p 成立 所以qp 但 q 成立不能推出 p 成立 所以选 A 解解 选 A 例例 6 6 已知关于x的一元二次方程 m Z mx2 4x 4 0 x2 4mx 4m2 4m 5 0 求方程 和 都有整数解的充要条件 解解 方程 有实根的充要条件是 04416 m解得 m 1 方程 有实根的充要条件是0 544 416 22 mmm 解得 4 5 m 1 4 5 Zmm 而故m 1 或m 0 或m 1 当m 1 时 方程无整数解 当 m 0 时 无整数解 当 m 1 时 都有整数 从而 都有整数解m 1 反之 m 1 都有整数解 都有整数解的充要条件是m 1 例例 7 7 用反证法证明 若a b cR 且12 2 bax 12 2 cby 12 2 acz 则x y z中至少有一个不小于 0 证明证明 假设x y z均小于 0 即 012 2 bax 012 2 cby 012 2 acz 得0 1 1 1 222 cbazyx 这与0 1 1 1 222 cba矛盾 则假设不成立 x y z 中至少有一个不小于 0 例例 8 8 已知命题p 方程x2 mx 1 0 有两个不等的负根 命题q 方程 4x2 4 m 2 x 1 0 无实根 若 p或q 为真 p且q 为假 求m的取值范围 分析分析 p或q 为真 则命题p q至少有一个为真 p且q 为假 则命题p q至少 有一为假 因此 两命题p q应一真一假 即命题p为真 命题q为假或命题p为假 命 题q为真 解解 若方程x2 mx 1 0 有两不等的负根 则 0 04 2 m m 解得m 2 即命题p m 2 若方程 4x2 4 m 2 x 1 0 无实根 则 16 m 2 2 16 16 m2 4m 3 0 解得 1 m 3 即q 1 m 3 因 p或q 为真 所以p q至少有一为真 又 p且q 为假 所以命题p q至少有一为假 因此 命题p q应一真一