福建省长泰一中高考数学一轮复习《离散型随机变量的期望与方差》学案

用心 爱心 专心1 福建省长泰一中高考数学一轮复习福建省长泰一中高考数学一轮复习 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差 学案学案 n x 1 1 n x 1 2 n xn 1 样本方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n n xx n xx n xx n 1 1 1 22 2 2 1 以上两式中恰是出现的频率 这与数学期望与方差的定义式一致 1 n 1 2 n x xx 4 4 数学期望与方差的性质 若 为随机变量 则 ab EE ab DD ab 5 5 服从二项分布的随机变量的期望与方差 若 则 B n P 1 EnP DnPP 例例 1 1 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 设随机变量表示所选 3 人中女 生的人数 求的分布列 求的数学期望 求 所选 3 人中女生人数 1 的概率 解 解 012 P P 5 1 5 3 5 1 基础过关基础过关 典型例题典型例题 用心 爱心 专心2 E 1 5 4 1 0 1 PPP 解解 其中 所以 30 BP 445 1 669 P 55054200 30 30 939927 ED 变式训练变式训练 2 2 布袋中有大小相同的 4 只红球 3 只黑球 今从袋中随机取出 4 只球 设取到 一只红球得 1 分 取到一只黑球得3 分 试求得分的概率分布和数学期望 解 解 52 7 例例 3 3 甲 乙两名射手在同一条件下进行射击 分布列如下表 射手甲 击中环数 1 8910 概率Pa 0 60 2 射手乙 击中环数 2 8910 概率P 0 4 b 0 4 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平 解 解 10 60 20 2 10 40 40 2ab 1 222 1 2 222 1 1212 8 0 29 0 6 10 0 29 890 2990 61090 20 4 8 0 49 0 2 10 0 49 890 4990 21090 40 8 E D E D EEDD 甲乙两名射手所得环数的平均值相等 但射手甲所得环数比较集中 射手乙所得环数比 较分散 射手甲射击水平较稳定 变式训练变式训练 3 3 某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动 统 计资料表明 每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益 2 5 万元 商场外的促销活动 如果不遇到有雨天可获得经济效益 12 万元 如果促销活动遇到有雨天 则带来经济损失 5 万元 4 月 30 号气象台预报五一节当地有雨的概率是 40 问商场应该采取哪种促销方 式 解 解 采用场外促销方式 用心 爱心 专心3 例例 4 4 某突发事件 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0 3 一旦发生 可造成 400 万元的损失 现有甲 乙两种相互独立的预防措施可供采用 单独采用甲 乙预防措 施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元 采用相应预防措施后 此突发事件不发生的概率 分别为 0 9 和 0 85 若预防方案允许甲 乙两种预防措施单独采用 联合采用或不采用 试确定预防方案使总费用最少 总费用 采取预防措施的费用 发生突发事件损失的期望 值 解 解 联合甲 乙 总费用最少为 81 万元 变式训练变式训练 4 4 假设 1 部机器在 1 天内发生故障的概率为 0 2 机器发生故障时 全天停止工 作 若 1 周的5 个工作日里无故障 可获得利润 10 万元 发生 1 次故障仍可获得利润 5 万 元 发生 2 次故障所获利润为 0 发生 3 次或 3 次以上故障就要亏损 2 万元 求 1 周的期 望利润是多少 精确到 0 001 解 解 用随机变量表示 1 周 5 天内发生故障的天数 则服从地一项分布 B 5 0 2 从而 328 0 8 0 0 5 P P 2 0 205410 0 8 02 0 1 41 5 CP P 3 0 057 设为所获得利润 则 E 10 0 328 5 0 410 0 0 205 2 0 057 5 215 万元 1 数学期望与方差 标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征 它们分别反映了随机 变量 取值的平均水平 稳定程度 集中与离散的程度 离散型随机变量的期望与方差都与 随机变量的分布列紧密相连 复习时应重点记住以下重要公式与结论 一般地 若离散型随机变量的分布列为 1 x 2 x n x P 1 P 2 P n P 则期望 1 12 2