高中数学 递推数列通项的求解策略解析 苏教版

1 递推数列通项的求解策略递推数列通项的求解策略 由数列的递推公式 求数列的通项公式是高考常考的内容 但是由于数列的表现形式各异 有些数列的递推公式比较复杂 给问题的解决带来不少困难 本文试图归纳几类较为常见的数 列通项问题的求法 给读者一些有益的启示 1 累加型 累加型 形如形如 则则 1 1 nfaa nn 1 1 nfaa nn 以上个等式经累加 1 12 faa 2 23 faa 1 1 nfaa nn 1 n 得 1 1 1 n k n kfaa 例例 1 数列满足 求数列的通项 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 2 n n a 解 解 由且 得 所以 nn aa nn 2 1 1 2 1 1 a 1 1 2 1 1 1 1 n k n kk aa n a 1 1 1 11 2 1 n k kkn 1 1 2 1 n 1 2 3 2 累乘型 累乘型 形如形如 则 则 1 1 nfaa nn 0 n a 1 1 nf a a n n 可利用 以上个等式经累乘 得 1 1 2 f a a 2 2 3 f a a 1 1 nf a a n n 1 n 1 1 1 kf a a n k n 即 1 1 1 kfaa n k n 例例 2 数列中 且 求数列的通项 n a1 1 a 1 2 1 1 nn a n a 2 n0 n a n a 解 解 因为 个等式经累乘得 所以 2 1 1 1 na a n n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 ka a n k n n a 1 1 1 2 1 1 1 k a n k 1 2 1 1 1 1 k k k k n k n n 2 1 3 构造型构造型 1 形如 形如 其中 其中为常数且为常数且的构造的构造BAaa nn 1 BA 0 0 1 BAA 可用待定系数法 构造一个公比为的等比数列 令 经整理比较A 1 nn aAa 得 从而是一个公比为的等比数列 1 BA 1 A B 1 A B anA 例例 3 已知数列满足 求的通项公式 n a2 3 1 1 nn aa1 1 a n a 2 解 解 设 解之得 则 令 3 1 1 nn aa3 3 3 1 3 1 nn aa3 nn ab 则数列是以为首项 为公比的等比数列 所以 所以 n b23 11 ab 3 1 1 3 2 n n b 1 3 2 3 n n a 评析 评析 把作为一个整体 求 通过求的通项 间接的求的通项公式 n a 3 n a n a 若 则可以用累加法直接求通项 1 A 2 形如 形如 且 且型的构造型的构造 1 n nn aAab 0 0 bA 可变形成 令 则 此问题就转化成1 1 1 n n n n b a b A b a n n n b a c 1 1 nn c b A c BAaa nn 1 的模型求解 例例 4 已知数列满足 求的通项公式 n a 1 42n nn aa 1 4a n a 解 解 原式变型为 令 则 此问题就转化成 1 1 21 22 nn nn aa 2 n n n a b 1 21 nn bb BAaa nn 1 的模型 解之得 21 22 nn n a 评析 评析 等式两边同除以 要注意的下标与指数变量同步 即 与 与 将2n n a n a2n 1n a 1 2n 问题转化到模型求解 BAaa nn 1 3 且 且型的构造型的构造nAaa nn 1 0 A 可用待定系数法构造 然后经整理比较得出 1 1 naAna nn nAaa nn 1 从而转化为型的构造 1 1 1 A A A BAaa nn 1 例例 5 已知数列满足 求的通项公式 n anaa nn 1 22 1 a n a 解 解 设 解之得 1 21 nn anan 1 2 则 令 则 此问题就转化成 212 1 nana nn nab nn 22 1 nn bb 3 的模型 解之得 BAaa nn 1 22 1 na n n 评析 把作为一个整体 要注意的下标与一次变量同步 即 与 与nan n a n an 1 n a 将问题转化到的模型求解 1 nBAaa nn 1 类型类型 1 2 3 也可归纳到也可归纳到这类问题中 则还可通过同除这类问题中 则还可通过同除 变形为 变形为0 1 AnfAaa nn n A 令 令 得 得 再通过累加得 再通过累加得0 1 1 A A nf A a A a nn n n n n n n A a b n nn A nf bb 1 1 1 1 1 1 n i i n A if bb 4 形如 形如的构造的构造 1 0 0 1 kkQkmmaa k nn 可两边取对数得 令 得 所以该问题转maka nn lglglg 1 nn ablg mbkb nn lg 1 化到模型求解 BAaa nn 1 例例 6 数列中 求 n a1 1 a 3 1 2 nn aa n a 解 解 显然 对的两边同时取以为底的对数得 0 n a 3 1 2 nn aa21log3log 122 nn aa 令 则 此问题就转化为模型 解之得 nn ab 2 log 13 1 nn bbBAaa nn 1 13 2 1 1 2 n n a 评析 评析 由于数列是冪型数列 通过取对数将递推关系式转化为的模型 n aqpaa nn 1 若 可以用累乘法求通项 1 k 例例 7 已知数列与有如下关系 n a n b 2 1 a 1 2 1 1 n nn a aa 1 1 n n n a a b 求数列和的通项公式 n a n b 解 解 有已知得 且 22 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b 0 3 1 n bb 即 取对数得 即数列是首项为 公比为的等比数列 2 1nn bb nn bblg2lg 1 lg n b3lg2 于是 从而 3lg2lg 1 n n b 1 2 3 n n b 13 13 1 1 1 1 2 2 n n n n n b b a 评析 评析 虽然数列不是冪型数列 但由此构造的数列是一个冪型 所以可以先求出数列 n a n b 的通项公式 再求数列的通项公式 n b n a 4 5 其它一些常见类型的构造 其它一些常见类型的构造 例例 7 数列满足 且 求数列的通项 n a1 1 1 nn anna1 1 a n a 解 解 将原式两边同时除以 变形为 1 nn 1 1 1 1 nnn a n a nn 令 则 即可化为用累加方法求解 解之得 n a b n n 1 1 1 nn bb nn 12 nan 评析 评析 通过同除 将递推关系式转化为累加型通项求法 1 nn 例例 8 已知各项都是正数的数列满足 求数列的通项公 n a 2 3 1 a 4 2 1 1nnn aaa n a 式 解 解 由已知得令 则有 2 2 2 1 2 1 nn aa nn ba 2 2 11 2 1 2 1 nn bbb 又 从而 20 0 1 nn aa 20 1 a20 n a0 n b 取对数得 令 得2lglg2lg 1 nn bb nn bclg 2lg2 1 nn cc 此问题就转化为模型 解之得 BAaa nn 1 n n b 21 2 评析