【备战2014】高考数学 2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选试题分类汇编9 圆锥曲线 理

1 备战备战 20142014 年高考之年高考之 20132013 届全国统考区 甘肃 贵州 云南 精选届全国统考区 甘肃 贵州 云南 精选 理科试题 大部分详解 分类汇编理科试题 大部分详解 分类汇编 9 9 圆锥曲线 圆锥曲线 一 选择题 1 贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题 我们把焦点相同 且离心率 互为倒数的椭圆和双曲线称为一对 相关曲线 已知 1 F 2 F是一对相关曲线的焦点 P是它们在第一象限的交点 当 60 21 PFF时 这一对相关曲线中双曲线的离心率是 A 3 B 2 C 3 32 D 2 答案 A 解析 设椭圆的半长轴为 1 a 椭圆的离心率为 1 e 则 11 11 cc ea ae 双曲线 的实半轴为a 双曲线的离心率为e cc ea ae 12 0 PFx PFy xy 则 由余弦定理得 22222 42cos60cxyxyxyxy 当点P看做是椭圆上的点时 有 222 1 4 343cxyxyaxy 当点P看做是双曲线上的点时 有 222 4 4cxyxyaxy 两式联立消去xy得 222 1 43caa 即 222 1 4 3 cc c ee 所以 22 1 11 3 4 ee 又因为 1 1 e e 所以 2 2 1 34e e 整理得 42 430ee 解得 2 3e 所以 3e 即双曲线的离心率为3 选 A 2 甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学 理 试题 若 P 点是以 A 3 0 B 3 0 为焦点 实轴长为52的双曲线与圆 9 2 2 y x 的一个 交点 则PBPA A 134 B 142 C 132 D 143 答案 C 3 解析 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学 已知抛物线方程为 2 4yx 直线l的方程为40 xy 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 1 d 2 P 到直线l的距离为 2 d 则 22 dd 的最小值 A 5 2 2 2 B 5 2 1 2 C 5 2 2 2 D 5 2 1 2 答案 D 解析 因为抛物线的方程为 2 4yx 所以焦点坐标 1 0 F 准线方程为 1x 因为点P到 y 轴的距离为 1 d 所以到准线的距离为 1 1d 又 1 1dPF 所以 12122 111ddddPFd 焦点到直线的距离 1 0455 2 222 d 而 2 5 2 2 PFdd 所以 122 5 2 11 2 ddPFd 选 D 4 云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学 理 试题 设抛物线 直线 过抛物线的焦点 且与的对称轴垂直 与交于 2 2 0 C ypx p lCFClC 两点 为的准线上一点 若的面积为 则QR SCQRS 8p A B C D 222 24 答案 C 5 贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学 设圆锥曲线C的两个焦点分别为 1 F 2 F 若曲线C上存在点P满足 1 PF 12 FF 2 PF 4 3 2 则曲线C的离心率等于 A 23 32 或 B 2 2 3 或 C 1 2 2 或 D 13 22 或 答案 D 解析 因为 1 PF 12 FF 2 PF 4 3 2 所以设 1 4PFx 12 3FFx 2 2 0PFx x 因为 12 32FFxc 所以 2 3 xc 若曲线为椭圆 则有 12 26aPFPFx 即3ax 所以离心率 1 2 32 3 3 ccc e ax c 若曲 线为双曲线圆 则有 12 22aPFPFx 即ax 所以离心率 3 2 2 3 ccc e ax c 所以选 D 6 云南省部分名校 玉溪一中 昆明三中 楚雄一中 2013 届高三下学期第二次统考 3 数学 理 试题 设圆的圆心与双曲线的右焦点重合 且该圆与双C 22 2 1 2 xy a 0 a 曲线的渐近线相切 若直线 被圆截得的弦长等于 2 则的值为l30 xy Ca A B C D 3232 答案 A 7 贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试 二 理科数学 word 版含答案 已知点 P 是双曲线 22 1 36 xy C 上一点 过 P 作 C 的两条渐近线的垂线 垂足分别为 A B 两点 则 PA PB 等于 A 2 3 B 2 3 C 0 D 1 答案 A 8 云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学 理 试题 过双曲线 左焦点斜率为的直线 分别与的两渐近线交于点 22 22 1 0 0 xy Cab ab F a b lC 与 若 则的渐近线的斜率为PQFPPQ C A B C D 3 2 1 5 答案 A 9 解析 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学 椭圆的中心在原点 焦距为4 一条准线为4x 则该椭圆的方程为 A 22 1 1612 xy B 22 1 128 xy C 22 1 84 xy D 22 1 124 xy 答案 C 解析 因为椭圆的焦距是 4 所以2 4 2cc 又准线为4x 所以焦点在 x轴且 2 4 a c 解得 2 8a 所以 222 844bac 所以椭圆的方程为 22 1 84 xy 选 C 10 甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学 理 试题 已知点 F 是双曲线 22 2 xy ab 1 a 0 b 0 的左焦点 点 E 是该双曲线的右顶点 过 F 且垂直于 x 轴的 直线与双曲线交于 A B 两点 若 ABE 是锐角三角形 则该双曲线的离心率 e 的取值 4 范围是 A 1 B 1 2 C 1 l 2 D 2 l 2 答案 B 解析 要使 ABE 是锐角三角形 只需满足角 AEB 为锐角 只需满足 AEF1 所以离心率 e 的取值范围是 1 2 11 云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学 在抛物线 0 5 2 aaxxy上取横坐标为2 4 21 xx的两点 过这两点引一条割线 有平行 于该割线的一条直线同时与抛物线和圆3655 22 yx相切 则抛物线顶点的坐标为 A 9 2 B 5 0 C 9 2 D 6 1 答案 A 解析 解 两点坐标为 4 11 4 2 21 aa 两点连线的斜率 k 对于 0 5 2 aaxxy 2yxa 2x a a 2 解得 x 1 在抛物线上的切点为 1 4 a 切线方程为 2 6 0axy 直线与圆相切 圆心 0 0 到直线的距离 圆半径 即 解得 a 4 或 0 0 舍去 所以抛物线方程为 2 45yxx 顶点坐标为 9 2 故选 A 12 解析 贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学 理 试题 双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 的一条渐近线为2yx 则该双曲线的离心率等于 A 2 5 B 5 C 6 D 2 6 答案 A 解析 双曲线的渐近线方程为 a yx b 已知双曲线的一条渐近为2yx 5 所以2 a b 2 222 24 aa bbca 即 22 5 4 ca 所以 2 55 42 ee 选 A 13 云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理 已知直线 22 1 259 xy xt 与椭圆交于 P Q 两点 若点 F 为该椭圆的左焦点 则FP FQ 取 最小值的 t 值为 A 100 17 B 50 17 C 50 17 D 100 17 答案 B 解析 椭圆的左焦点 4 0 F 根据对称性可设 P t y Q ty 则 4 FPty 4 FQty 所以 22 4 4 4 FP FQtytyty AA 又因为 2 22 9 9 1 9 2525 t yt 所以 2222 9 4 8169 25 FP FQtyttt A 2 34 87 25 tt 所以当 50 217 b t a 时 FP FQ A取值最小 选 B 14 云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学 已知点 1 F 2 F分别是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 过 1 F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B两点 若 2 ABF 是钝角三角形 则该双曲线离心率的取值范围是 A 21 B 3 1 C 12 D 1 12 答案 C 解析 由题设条件可知 ABC 为等腰三角形 只要 AF2B 为钝角即可 所以 有 2 2 b c a 即 2 2bac 所以 22 2caac 解得12e 选 C 15 甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟 一 数学 理 若曲线f x y 0 上两个不 同点处的切线重合 则称这条切线为曲线f x y 0 的 自公切线 下列方程 22 1xy 2 yxx 3sin4cosyxx 2 14xy 对应的曲线中 存在 自公切线 的有 6 A B C D 答案 B 16 甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟 一 数学 理 椭圆 22 1 369 xy 上有两个动 点P Q 3 0 E EPEQ 则 EPQP EPQP A的最小值为 A 6 B 33 C 9 D 126 3 答案 A 17 云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 四 理科数学试题 设F是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右焦点 双曲线两条渐近线分别为 12 l l 过F作直线 1 l的垂线 分别交 12 l l于A B两点 且向量BF 与FA 同向 若 OAABOB成等差数列 则 双曲线离心率e的大小为 A 2B 7 2 C 6 2 D 5 2 答案 D 解析 设OA m d AB m OB m d 由勾股定理 得 m d 2 m2 m d 2 解得m 4d 设 AOF 则 cos2 3 5 OA OB cos 1cos22 25 所以 离心率e 15 cos2 选 D 18 云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷 八 理科数学试题 详解 已知点在圆P 上 点在双曲线的右支上 是双曲线的左焦点 则 22 3 1C xy Q 22 1 52 xy F 的最小值为 PQQF A B C D 2 101 32 5 42 5 52 5 答案 设双曲线的右焦点为 则 由双曲线定义知 22 1 52 xy F 7 0 7 0 F F 2 5QF QF 2 5QFPQQFPQ 7 当共线时 CP Q F min 3QFPQ 故选 B min 32 5QFPQ 19 云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学 玉溪一中 昆明三中 楚雄 一中 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的两条渐近线均与 22 650C xyx 相切 则该双曲线离心率等于 A 3 5 5 B 6 2 C 3 2 D 5 5 答案 A 解析 圆的标准方程为 22 3 4xy 即圆心为 3 0 半径2r 双曲 线的一条渐近线为 b yx a 即0bxay 圆心到直线0bxay 的距离 22 3 2 b r ab 即 222 94 bab 即 22 4 5 ba 所以 222222 49 55 cabaaa 所以 2 9 5 e 即 3 5 5 e 选 A 20 云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 三 理科数学试题 若在曲线 f x y 0 上两个不同点处的切线重合 则称这条切线为曲线 f x y 0 的 自 公切线 下列方程 22 1xy 2 yxx 3sin4cosyxx 2 14xy 对应的曲线中存在 自公切线 的有 A B C D 答案 B B 解析解析 画图可知选 B x2 y2 1 是一个等轴双曲线 没有自公切线 8 2 yxx 在 x 和 x 处的切线都是 y 故 有自 公切线 3sin4cosyxx 5sin x cos sin 此函数是周期函数 过图象的 最高点的切线都重合 故此函数有自公切线 由于 2 14xy 即 x2 2 x y2 3 0 结合图象可得 此曲线没有自公切线 故答案为 B 21 贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试 二 理科数学 word 版含答案 已知曲 线 1 0 C yx x 上两点 111 A x y和 222 A xy 其中 21 xx 过 12 A A的直线l与 x 轴 交于点 33 0 A x 那么 A x 3 12 2 x xx心成等差数列 B 3 12 2 x xx成等比数列 C 132 x x x成等差数列 D 132 x x x成等比数列 答案 A 22 云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学 玉溪一中 昆明三中 楚雄 一中 已知k 4 则曲线1 49 22 yx 和1 49 22 k y k x 有 A 相同的准线 B 相同的焦点 C 相同的离心率 D 相同的长轴 答案 B 解析 当4k 时 940kk 所以1 49 22 k y k x 为椭圆方程 所以 22 9 4ak bk 又9 4 945kk 所以两曲线有相同的c 即有 相同的焦点 选 B 二 填空题 23 云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷 八 理科数学试题 详解 以为直径AB 的圆有一内接梯形 且 以 为焦点的椭圆恰好过 两点 当梯ABCDABCDABCD 形的周长最大时 此椭圆的离心率为 ABCD 答案 不妨设 圆心为O 2AB 0 2 BOC 9 则 2cos 22cosCDBC 梯形ABCD的周长为 22cos2 22cosL 2 22 12sin4sin 22 2 1 4 sin5 22 当时 梯形ABCD的周长最大 此时 1 sin 223 1 3ADBD 椭圆的离心率 2 2 31 2 31 cAB e aDBDA 24 云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理 已知点 A 4 4 在抛物线 2 0 ypx p 上 该抛物线的焦点为 F 过点 A 作直线l 4 p x 的垂 线 垂足为 M 则 MAF 的平分线所在直线的方程为 答案 240 xy 解析 点 A 在抛物线上 所以164p 所以4p 所以抛物 线的焦点为 1 0 F 准线方程为1x 垂足 1 4 M 由抛物线的定义得AFAM 所以MAF 的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线 40 2 1 1 MF k 所以 MAF 的平分线所在的直线方程为 1 4 4 2 yx 即240 xy 25 甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学 理 试题 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A B C 为该抛物线上三点 若0FAFBFC 则FAFBFC 答案 6 解析 因为0FAFBFC 所以点 F 为 ABC 的重心 所以 A B C 三点 的横坐标之和为点 F 的横坐标的三倍 即3 ABC xxx 所以 1116 ABC FAFBFCxxx 26 云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学 过椭圆左焦点F 倾斜角为 3 的直线交椭圆于A B两点 若FBFA2 则椭圆的离心率为 10 答案 3 2 解析 如图 设椭圆的左准线为 l 过 A 点作 AC l 于 C 过点 B 作 BD l 于 D 再过 B 点作 BG AC 于 G 直角 ABG 中 BAG 60 所以 AB 2AG 由圆锥曲线统一定义得 FA 2FB AC 2BD 直角梯形 ABDC 中 AG AC BD 比较 可得 AB AC 又 故所求的离心率为3 2 27 甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测 二模 数学 理 试题 已知 双曲线过点 4 渐近线方程为 y x 圆C 经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心 47 3 4 3 在双曲线上 则圆心到该双曲线的中心的距离是 答案 3 16 28 云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学 若椭圆的短轴为AB 它的一个 焦点为F 则满足三角形ABF为等边三角形的椭圆的离心率是 答案 3 2 解析 若三角形ABF为等边三角形 则有2ba 即 2222 44 abac 所以 22 43ca 即 2 3 4 e 所以 3 2 e 所以椭圆的离心率为 3 2 29 贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试 二 理科数学 word 版含答案 已知 F 是抛物线 C 2 4yx 的焦点 直线 1 l yk x 与抛物线 C 交于 A B 两点 记直线 FA FB 11 的斜率分别为 12 k k 则 12 kk 答案 0 30 云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考 三 理科数学 已知F是双曲线C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左焦点 21B B是双曲线的虚轴 M是 1 OB的中点 过 MF 的直线交双曲线C于A 且MAFM2 则双曲线C离心率是 答案 5 2 解析 由题意可知 0 0 2 b FcM 设 A x y 则由 MAFM2 得 2 22 bb cx y 解得 3 24 c xyb 即 3 2 4 c Ab 因为点 A 在双曲线上 所以 22 22 9 1 416 cb ab 即 2 2 9 1 416 c a 所以 2 2 25 416 c a 即 2 2 25 4 c a 即 2 25 4 e 所以 5 2 e 31 云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 四 理科数学试题 在直角坐标系 xOy中 有一定点 2 1 A 若线段OA的垂直平分线过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 则该抛物线的准线方程是 答案 5 4 x 解析 线段OA的斜率 1 2 k 中点坐标为 1 1 2 所以线段OA的垂直 平分线的斜率为2 所以OA的垂直平分线的方程是y 1 2 1 2 x 令y 0 得到 x 5 4 所以该抛物线的准线方程为 5 4 x 32 32 云南师大附中 云南师大附中 20132013 届高三高考适应性月考卷 三 理科数学试题 届高三高考适应性月考卷 三 理科数学试题 如图 4 椭圆 的中心在坐标原点 F 为左焦点 A B 分别为长轴和短轴上的一个顶点 当 FB AB 时 此类椭圆称为 黄金椭圆 类比 黄金椭圆 可推出 焚金双曲线 的离心 12 率为 答案 15 2 解析解析 由图知 2222 acbcc 整理得 22 0caca 即 2 10ee 解得 15 2 e 故 15 2 e 三 解答题 33 甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟 一 数学 理 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 过 1 F的直线l与椭圆交于A B两 点 如果点A在圆 222 xyc c为椭圆的半焦距 上 且 1 F Ac 求椭圆的离心率 若函数2log 01 m yx mm 且的图象 无论m为何值时恒过定点 b a 求 22 F A F B 的取值范围 答案 解 解 1 点A在圆 为一直角三角形上 21 222 FAFcyx cAFFFAFcFFcAF3 2 2 1 2 212211 由椭圆的定义知 AF1 AF2 2a 13 31 2 23 a c eacc 5 分 2 函数2log 1 2 m yx 的图象恒过点 2 1 1 abc 点F1 1 0 F2 1 0 2 2 1 2 2 1 BAxAB则轴 2222 2217 2 2 4 2222 F AF BF A F B 7 分 若AB与x轴不垂直 设直线AB的斜率为k 则AB的方程为y k x 1 13 由0 1 24 21 022 1 2222 22 kxkxky yx xky 得消去 088 2 k 方程 有两个不同的实根 设点A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2是方程 的两个根 2 2 21 2 2 21 21 1 2 21 4 k k xx k k xx 1 1 222112 yxBFyxAF 2 21 2 21 2 212122 1 1 1 1 1 kxxkxxkyyxxBFAF 21 2 9 2 7 21 17 1 21 4 1 21 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 kk k k k k k k k k 2 7 21 2 9 2 7 1 2 9 21 2 9 0 1 21 1 0 121 2 22 22 2 k BFAF kk k 11 分 由 知 2 7 1 22 BFAF 12 分 34 贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试 二 理科数学 word 版含答案 设椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 过点 1 1 M 离心率 6 3 e O 为坐标原点 I 求椭圆 C 的方程 若直线l是圆 22 1O xy 的任意一条切线 且直线l与椭圆 C 相交于 A B 两点 求证 OA OB 为定值 答案 解 因为 6 3 c e a 22 3ab 椭圆 C 的方程为 22 22 1 3 xy bb 又 椭圆 C 过点 1 1 M 代入方程解得 22 4 4 3 ab 椭圆 C 的方程为 22 3 1 44 xy 当圆O的切线l的斜率存在时 设直线l的方程为ykxm 14 则圆心O到直线l的距离 2 1 1 m d k 22 1km 将直线l的方程和椭圆 C 的方程联立 得到关于x的方程为 222 1 3 6340kxkmxm 设直线l与椭圆 C 相交于 1122 A x yB xy两点 则 12 2 2 12 2 6 1 3 34 1 3 km xx k m x x k 22 12121212 1 OA OBx xy ykx xkm xxm A 2 22 22 346 1 1 31 3 mkm kkmm kk 22 2 444 0 1 3 mk k 当圆的切线l的斜率不存在时 验证得0OA OB A 综合上述可得 OA OB A为定值 0 35 云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考 三 理科数学 已知 0 1 1 F 0 1 2 F 圆 2 F 1 1 22 yx 一动圆在y轴右侧与y轴相切 同时 与圆 2 F相外切 此动圆的圆心轨迹为曲线C 曲线E是以 1 F 2 F为焦点的椭圆 1 求曲线C的方程 2 设曲线C与曲线E相交于第一象限点P 且 3 7 1 PF 求曲线E的标准方程 3 在 1 2 的条件下 直线l与椭圆E相交于A B两点 若AB的中点 M在曲线C上 求直线l的斜率k的取值范围 答案 解 设动圆圆心的坐标为 x y 0 x 15 因为动圆在y轴右侧与y轴相切 同时与圆 2 F相外切 所以 2 1CFx 1 分 22 1 1xyx 化简整理得 2 4yx 曲线C的方程为 2 4yx 0 x 3 分 依题意 1c 1 7 3 PF 可得 2 3 p x 4 分 2 5 3 PF 又由椭圆定义得 12 75 24 2 33 aPFPFa 5 分 222 3bac 所以曲线E的标准方程为 22 1 43 xy 6 分 方法一 设直线l与椭圆E交点 2211 y xB y xA B A的中点M的坐标为 00 y x 设直线l方程为 00 m kmkxy 与1 34 22 yx 联立得 0124843 2 2 mkmxk 由0340 22 mk 8 分 由韦达定理得 2 21 43 8 k km xx 0 x 2 43 4 k km 0 y 2 43 3 k m 将 M 2 43 4 k km 2 43 3 k m 代入 2 4yx 整理得 9 43 16 2 kk m 10 分 将 代入 得 814316 222 kk 令 04 2 tkt则08119264 2 tt 8 3 0 t 8 6 8 6 k且0 k 12 分 方法二 设直线l与椭圆E交点 2211 yxByxA BA 的中点M的坐标为 00 y x 将BA 的坐标代入椭圆方程中 得 01243 01243 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 16 两式相减得 043 21212121 yyyyxxxx 0 0 21 21 4 3 y x xx yy 7 分 0 2 0 4xy 直线AB的斜率 0 21 21 16 3 y xx yy k 8 分 由 知 2 3 p x 3 8 4 2 pp xy 3 62 p y 由题设 0 3 62 3 62 00 yy 8 6 16 3 8 6 0 y 10 分 即 8 6 8 6 k 0 k 12 分 36 云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷 八 理科数学试题 详解 已知抛物线的 顶点在原点 准线方程为 是焦点 过点的直线与抛物线交于 1x F 2 0 A 11 P x y 两点 直线 分别交抛物线于点 22 Q xyPFQFMN 1 求抛物线的方程及的值 12 y y 2 记直线 的斜率分别为 证明 为定值 PQMN 1 k 2 k 1 2 k k 答案 解 依题意 设抛物线方程为 2 2 0 ypx p 由准线 得 1 2 p x 2p 所以抛物线方程为 2 4yx 设直线的方程为 代入 PQ2xmy 2 4yx 消去 整理得 x 2 480ymy 从而 12 8y y 证明 设 3344 M xyN xy 17 则 22 34 343411212 22 12212343412 44 44 yy xxyykyyyy yykxxyyyyyy 设直线的方程为 代入 PM1xny 2 4yx 消去 整理得 x 2 440yny 所以 13 4y y 同理 24 4y y 故 为定值 34112 2121212 44 441 82 yykyy kyyyyy y 37 解析 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 1 49 xy 上任一点 P 由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ 垂足为 Q 点 M 在 PQ 上 且2PMMQ 点 M 的轨迹为 C 求曲线 C 的方程 过点 D 0 2 作直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 设 N 是过点 4 0 17 且平 行于x轴的直线上一动点 满足ONOAOB O 为原点 问是否存在这样的直线 l 使得四边形 OANB 为矩形 若存在 求出直线的方程 若不存在说明理由 答案 18 20 因为OBOAON 所以四边形 OANB 为平行四边形 假设存在矩形 OANB 则0 OBOA 即04 2 1 4 2 2121 2 2121 2 212121 xxkxxkxxkxxkxxyyxx 所以2 4 04 41 16 2 41 12 1 2 22 2 kk k k k k k即 10 分 设 N x0 y0 由OBOAON 得 17 4 41 4 4 41 16 4 22 2 21210 kk k xxkyyy 即 N 点在直线 17 4 y 所以存在四边形 OANB 为矩形 直线l的方程为22 xy 38 解析 贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学 理 试题 已知椭圆 19 C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 其中左焦点 0 2 F 求出椭圆 C 的方程 若直线yxm 与曲线 C 交于不同的 A B 两点 且线段 AB 的中点 M 在圆 22 1xy 上 求 m 的值 答案 解 1 由题意得 2 2 c a 2c 2 分 解得 2 22 b a 4 分 所以椭圆 C 的方程为 1 48 22 yx 6 分 2 设点 A B 的坐标分别为 11 yx 22 yx 线段 AB 的中点为 M 00 yx 由 mxy yx 1 48 22 消去 y 得08243 22 mmxx 8 分 3232 0896 2 mm 9 分 3 3 2 2 00 21 0 m mxy mxx x 10 分 点 M 00 yx在圆1 22 yx上 22 23 5 1 335 mm m 即 12 分 39 甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学 理 试题 已知点 F1 F2分别为椭圆 C 22 22 xy ab 1 a b 0 的左 右焦点 P 是椭圆 C 上的一点 且 F1F2 2 F1PF2 3 F1 PF2的面积为 3 3 20 I 求椭圆 C 的方程 点 M 的坐标为 5 4 0 过点 F2且斜率为 k 的直线l与椭圆 C 相交于 A B 两 点 对于任意的 k R MA MB 是否为定值 若是求出这个定值 若不是说明理 由 答案 40 云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点为 A 2 0 右焦点为 F O 为坐标原点 点 F A 到 渐近线的距离之比为 5 2 过点 B 0 2 且斜率为 k 的直线l与该双曲线交于不同的两 21 点 P Q I 求双曲线的方程及 k 的取值范围 II 是否存在常数 k 使得向量OPOQAB 与垂直 如果存在 求 k 的值 如果不 存在 请说明理由 答案 41 云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 三 理科数学试题 本小题满分 12 分 22 设抛物线 C 的方程为 x2 4y M 为直线l y m m 0 上任意一点 过点 M 作抛物线 C 的两 条切线 MA MB 切点分别为 A B 当 M 的坐标为 0 l 时 求过 M A B 三点的圆的标准方程 并判断直线 l与此圆的位置关系 当 m 变化时 试探究直线l上是否存在点 M 使 MA MB 若存在 有几个这样 的点 若不存在 请说明理由 答案 解 当M的坐标为 01 时 设过M点的切线方程为1ykx 代入 2 4xy 整理得 2 440 xkx 令 2 4 4 40k 解得1k 代入方程 得2x 故得 21 A 21 B 因为M到AB的中点 0 1 的距离为 2 从而过MAB 三点的圆的标准方程为 22 1 4xy 易知此圆与直线l y 1 相切 6 分 设切点分别为 11 A xy 22 B xy 直线l上的点为M 00 xy 过抛物线上点 11 A xy 的切线方程为 11 yyk xx 因为 2 11 4xy 1 2 x k 从而过抛物线上点 11 A xy 的切线方程为 1 11 2 x yyxx 又切线过点 00 M xy 所以得 2 11 00 24 xx yx 即 2 1010 240 xx xy 同理可得过点 22 B xy 的切线方程为 2 2020 240 xx xy 8 分 因为 1 2 MA x k 2 2 MB x k 且 12 xx 是方程 2 00 240 xx xy 的两实根 23 从而 120 120 2 4 xxx x xy 所以 12 0 22 MAMB xx kky 当 0 1y 即1m 时 直线l上任意一点M均有MA MB 10 分 当 0 1y 即m 1 时 MA与MB不垂直 综上所述 当m 1 时 直线l上存在无穷多个点M 使MA MB 当m 1 时 直线l 上不存在满足条件的点M 12 分 42 甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学 理 试题 如 图 已知圆 C 与 y 轴相切于点 T 0 2 与 x 轴正半轴相交于两点 M N 点 M 在点 N 的右 侧 且3MN 椭圆 D 22 22 1 0 xy ab ab 的焦距等于2 ON 且过点 6 2 2 I 求圆 C 和椭圆 D 的方程 若过点 M 的动直线与椭圆 D 交于 A B 两点 若点 N 在以弦 AB 为直径的圆的外 部 求直线l斜率的范围 答案 12 分 解 1 设圆半径为 r 由条件知圆心 C r 2 C G 圆在 x 轴截得弦长 MN 3 24 4 25 2 3 2 222 r r 2 5 圆 C 的方程为 4 25 2 2 5 22 yx 3 分 上面方程中令 y 0 得045 2 xx 解得 x 1 或 x 4 点 M 在点 N 的右侧 M 4 0 N 1 0 椭圆焦距 2c 2ON 2 c 1 椭圆方程可化为 1 1 2 2 2 2 a y a x 又椭圆过点 2 6 2 代入椭圆方程得 0492 24 aa 解得4 2 a或 2 1 2 a 舍 椭圆方程为 1 34 22 yx 6 分 2 设直线 l 的方程为 y k x 4 代入椭圆方程化简得 0126432 34 2222 kxkxk 32 2 316 34 16 224 kkk 0 2 k 4 1 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 34 32 2 2 k k x1x2 34 1264 2 2 k k 7 分 点 N 在以弦 AB 为直径的圆的外部 NBNA 0 2121 1 1yyxx 0 即 116 14 1 2 21 2 21 2 kxxkxxk 0 1 2 k 34 1264 2 2 k k 14 2 k 34 32 2 2 k k 116 2 k 0 化简得 2 k 8 1 8 1 2 k 4 1 k 2 1 4 2 4 2 2 1 12 分 43 甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测 二模 数学 理 试题 已知 ABCD A 2 0 B 2 0 且 AD 2 求 ABCD对角线交点E的轨迹方程 25 过A作直线交以A B为焦点的椭圆于M N两点 且 MN 2 3 8 MN的中点到Y轴的距 离为3 4 求椭圆的方程 答案 82 8 649 2 2 2 a a a 064809 24 aa 0 89 8 22 aa 2 ca 8 2 a 448 222 cab 所求椭圆方程为1 48 22 yx 44 云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知点 0 1F 直线l 1y P为平面上的动点 过点P作直线l的垂线 垂足为Q 且 26 FQFPQFQP 1 求动点P的轨迹C的方程 2 已知圆M过定点 0 2D 圆心M在轨迹C上运动 且圆M与x轴交于A B两点 设 1 DAl 2 DBl 求 12 21 ll ll 的最大值 答案 解 1 设 P x y 则 1Q x QP QFFP FQ AA 0 1 2 1 2yxx yx AA 即 2 2121yxy 即 2 4xy 所以动点P的轨迹C的方程 2 4xy 2 解 设圆M的圆心坐标为 M a b 则 2 4ab 圆M的半径为 2 2 2MDab 圆M的方程为 222 2 2xaybab 令0y 则 22 22 2xabab 整理得 2 2440 xaxb 由 解得 2xa 不妨设 2 0A a 2 0B a 2 1 24la 2 2 24la 222 1212 4 211 2 216 64 lllla lll l a 2 2 2 44 8 16 22 1 6464 a a aa 当0a 时 由 得 12 2 21 2 1616 2 12 12 2 64 2 8 ll ll a a 27 当且仅当2 2a 时 等号成立 当0a 时 由 得 12 21 2 ll ll 故当2 2a 时 12 21 ll ll 的最大值为2 2 45 云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知定点 1 0 A和定直线1x 上的两个动点E F 满足AFAE 动点P满足 OPFOOAEP 其中o为坐标原点 1 求动点P的轨迹C的方程 2 过点 0 2 B的直线l与 1 中轨迹C相交于两个不同的点M N 若0 ANAM 求直线l的斜率的取值范围 答案 解 1 设 121 1 1 yyFyEyxP 2 y均不为 0 由 1 1 yEyyOAEP 即得 2 分 由 2 x y yOPFO 得即 1 x y F 4 分 由AFAE 得 0 440 2 2 0 2 2121 xxyyyyyAFAE 动点P的轨迹C的方程为 0 4 2 xxy 6 分 2 设直线l的方程 4 4 0 2 2 2 2 1 2 1 y y Ny y Mkkxy 联立得084 4 2 2 2 ykyx xy kxy 得消去 8 4 2121 k yy k yy 8 分 且 2 1 03216 kk即 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 yy yy y y y y ANAM 1 4 1 16 21 2 2 2 1 2 2 2 1 yyyy yy 28 k k kkkk 12 1 8 1616 4 14 22 10 分 0 12 0 kANAM 12 分 46 云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学 理 试题 已知是椭圆 0 F c 的右焦点 圆与轴交于两点 22 22 1 0 xy Cab ab 222 Fxcya xED 是椭圆与圆的一个交点 且 BCF3BDBE 求椭圆的离心率 C 过点与圆相切的直线 与的另一交点为 且的面积等于 求BFlCAABD 24 6 13 c 椭圆的方程 C 答案 解 由题意 0 Bb 0 E ca 0 D ca 3BDBE 90EBD 得 1 2 BEEDa 由 2 222 BEcaba 得 2ac 即椭圆的离心率 C 1 2 e A B E F ODx y 的离心率 令 则 C 1 2 e 2ac 3bc 22 22 1 43 xy C cc 29 直线 设 lBF 3 3 3 l yxc 由 得 22 22 1 43 3 3 3 xy cc yxc 245 3 1313 Acc 16 3 13 ABc 又点到直线 的距离 3 0 Dcl 303 3 2 cc dc 的面积 ABD 1 2 SAB d 1 16 324 324 6 3 2131313 ccc 解得 2c 故椭圆 22 1 86 xy C 47 贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学 满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 yx ab 0 ab 的一个顶点为 B 0 4 离心率e 5 5 直线l交椭圆于M N两点 若直线l的方程为4yx 求弦MN的长 II 如果 BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F 求直线l的方程 答案 满分 12 分 解答 1 由已知4b 且 5 5 c a 即 2 2 1 5 c a 22 2 1 5 ab a 解得 2 20a 椭圆方程为 22 1 2016 yx 3 分 由 22 4580 xy 与4yx 联立 消去y得 2 9400 xx 1 0 x 2 40 9 x 所求弦长 2 21 40 2 1 1 9 MNxx 6 分 2 椭圆右焦点F的坐标为 2 0 设线段 MN 的中点为 Q 00 xy 30 由三角形重心的性质知2BFFQ 又 0 4 B 00 2 4 2 2 xy 故得 00 3 2xy 求得Q的坐标为 3 2 8 分 设 1122 M xyN xy 则 1212 6 4xxyy 且 2222 1122 1 1 20162016 xyxy 10 分 以上两式相减得 12121212 0 2016 xxxxyyyy 1212 1212 4466 5545 MN yyxx k xxyy 故直线MN的方程为 6 2 3 5 yx 即65280 xy 12 分 48 云南省部分名校 玉溪一中 昆明三中 楚雄一中 2013 届高三下学期第二次统考 数学 理 试题 本小题满 分 12 分 已知椭圆的离心率为 22 22 1 xy ab 0 ab 6 3 短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 求椭圆的方程 若直线 分别切椭圆与圆 其中 于 lykxm C 222 xyr 13r A B 两点 求的最大值 AB 答案 31 49 云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学 玉溪一中 昆明三中 楚雄 一中 已知椭圆 22 22 1 yx ab 0 ab 的一个顶点为 40 B 离心率e 5 5 直线 l交椭圆于M N两点 1 若直线l的方程为4yx 求弦MN的长 32 2 如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F 求直线l方程的一般式 答案 解答 1 由已知4b 且 5 5 c a 即 2 2 1 5 c a 22 2 1 5 ab a 解得 2 20a 椭圆方程为 22 1 2016 yx 2 分 由