高中数学《生活中的优化问题举例》文字素材1 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 怎样建立数学模型怎样建立数学模型 一 什么是数学模型和数学建模 数学模型 Mathematical Model 是用数学符号对一类实际问题或实际系统发生的现象的 近似的 描述 而数学建模 Mathematical Modeling 则是获得该模型 求解该模型并得到 结论以及验证结论是否正确的全过程 数学建模不仅是了解系统的基本规律的强有力的工 具 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模系统的行为的强有力的工具 许 多重要的物理现象 常常是从某个实际问题的简化数学模型的求解中发现 并给予明确的 数学表述 例如 混沌 孤立子 奇异吸引子等 数学建模本身并不是什么新东西 纵观科学技术发展史 我们可以看到数学建模的思 想和方法自古以来就是天文学家 物理学家 数学家等用数学作为工具来解决各种实际问 题的主要方法 不过数学建模这个术语的出现和频繁使用是 20 世纪 60 年代以后的事情 很重要的原因是 由于计算的速度 精度和可视化手段等长期没有解决 以及其他种种原 因 导致有了数学模型 但是解不出来 算不出来或不能及时地算出来 更不能形象地展 示出来 从而无法验证数学建模全过程的正确性和可用性 数学建模的重要性逐渐被人 淡忘 了 然而 恰恰是在 20 世纪后半叶 计算机 计算速度和精度 并行计算 网络 技术等计算技术以及其他技术突飞猛进的飞速发展 给了数学建模这一技术以极大的推动 不仅重新焕发了数学建模的活力 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力 而且 通 过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域 现在数学建模以及相伴的计算和模拟 Simulation 有人也译作 仿真 已经成为现代科学的一种基本技术 数学技术 在 各种研究方法 特别是与应用电子计算机有关的研究方法中 占有主导地位 在科技 经 济和政府部门的一部分人中 在某种意义下 甚至已经成为一种生活方式 way of life 数学建模无处不在 在抵押贷款买房和商业谈判等日常生活中都要用到数学建模的思想和 方法 人们越来越认识到数学和数学建模的重要性 在大 中学的教材中经常出现各种各 样的数学模型 因此 学习和初步应用数学建模的思想和方法已经成为当代大学生 以至 生活在现代社会的每一个人 必须学习的重要内容 在部分中学 都开设了数学建模课 自 1992 年开始举办的 中国大学生数学建模竞赛 China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling 缩写为 CUMCM 已经成为我国大学生课余最大的科技活动 想了 解 CUMCM 更多细节的读者可以访问网站 于 1985 年开始举办的 美 国大学生数学建模竞赛 Mathematical Contest in Modeling 缩写为 MCM 以及与 1999 年起开始增加的 美国大学生跨学科建模竞赛 Interdisciplinary Contest in Modeling 缩写为 ICM 也是我国大学生非常乐于参加的数学建模竞赛 近年来这两个竞赛有一半以 上的参赛队来自中国 想了解 MCM 和 ICM 更多的细节的读者可以访问网站 对实际现象的定量研究的重要性和挑战在于怎样去建立能够更好地了解该现象 并且可以 应用数学方法来解决的数学模型 数学问题 实际现象通常都是极为复杂的 不经过理想 化和简化是很难进行定量研究的 因此 数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤 1 对某个实际问题进行观察 分析 是否抓住主要方面 2 对实际问题进行必要的抽象 简化 作出合理的假设 往往是很不容易的 3 确定要建立的模型中的变量和参数 4 根据某种 规律 已知的各学科中的定律 甚至是经验的规律 建立变量和参数间确 用心 爱心 专心2 定的数学关系 明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型 这可能是一个非常 具有挑战性的数学问题 5 解析或近似地求解该数学问题 这往往涉及复杂的数学理论和方法 近似方法和算法 6 数学的结论能否展示 解释甚至预测实际问题中出现的现象 或用某种方法 例如 历 史数据 实验数据或现场测试数据等 来验证结论是否合理 正确 这也是很不容易的 7 如果第 6 步的结果是肯定的 那么就可以付之试用 如果是否定的 那就要回到第 1 6 步进行仔细分析 重复上述建模过程 因此 如果要对数学建模下定义的话 那就是 数学建模就是上述7个步骤的多次重复 执行的过程 或用框图来表示如下 观察 分析实际问题 利用某种 定律 建立变量 和参数间的确定的关系 数学 问题 这个层次上的一个数学 模型 解析或 近似 地求解该 数学问题 数学模型 通不过 通过 可应用该数学模型 由此可见 数学建模过程中最重要的三个要素 也是三个最大的难点是 1 怎样从实际情况出发做出合理的假设 从而 得到可以执行的合理的数学模型 2 怎样求解模型中出现的数学问题 它可能是 非常困难的问题 3 怎样验证模型的结论是合理 正确 可行的 所以 当你看到一个数学模型时 就一定要问问或者想一想它的假设是什么 是否合 理 模型中的数学问题是否很难 数学上是否已经解决 怎样验证该模型的正确与可行性 当你在学习有关后继课程或参加具体的数学建模活动时牢记这三条 一定会受益匪浅 另外 在建模过程中还有一条不成文的原则 从简单到精细 也就是说 首先建立 一个比较简单但尽可能合理的模型 对该模型中的数学问题有可能解决很彻底 从而能够 抽象 简化 确定变量和参数 解释 验证 用心 爱心 专心3 做到仅仅通过实验观察不可能做到的事情 甚至发现重要的现象 如果在求解该模型的结 果不合理 甚至完全错误 那么它也有可能告诉我们如何改进的方向 要想比较成功地运用数学建模去解决真正的实际问题 还要学习 双向翻译 的能力 即能够把实际问题用数学的语言表述出来 而且能够把数学建模得到的 往往是用数学形 式表述的 结果 用普通人 或者说要应用这些结果的非数学专业的人士 能够懂的普通语 言表述出来 二 可口可乐罐头为什么是这种样子 可口可乐 雪碧 健力宝等销量极大的饮料罐 易拉罐 顶盖的直径和从顶盖到底部的 高之比为多少 为什么 它们的形状为什么是这样的 用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖 或有盖 容器 问应当如何设计 才能使用 料最省 这时圆柱的直径和高之比为多少 实际上 用几何语言来表述就是 体积给定的正圆柱体 其表面积最小的尺寸 半径和 高 为多少 表面积用 S 表示 体积用 V 表示 则用微积分的典型的解法是 222 22 2 2 2 2 S r hr hrrrrh Vr h hVr S rrVr 3 22 2 2 2 2 0 VV S rrr rr 3 2 V r 223 333 2222 448 2 2 VVVV hrd rVV 结论 正圆柱体的直径等于高 测量一个可口可乐饮料罐 它顶盖的直径和从顶盖到底部的高 约为6厘米和12厘米 中间胖的部分的直径约为6 6厘米 胖的部分高约为10 2厘米 可口可乐饮料罐上标明净含量为 355 毫升 即 355 立方厘米 实际的罐内体积为 365 毫 升 怎样测量比较简捷 简化模型 分析和假设 首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的 要求饮料罐内体积一 用心 爱心 专心4 定时 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比 实际上 饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体 my AbsoluteThickness 2 Line 2 3 0 4 2 3 0 2 7 0 2 7 0 8 3 3 0 8 3 3 11 3 12 3 12 4 2 7 0 3 12 3 12 4 3 12 3 3 11 3 3 0 8 2 7 0 8 2 7 0 2 3 0 2 3 0 4 mygrapg Show Graphic my AxesLabel x y AspectRatio Automatic PlotRange 0 12 4 用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬 厚 因为要使劲拉 假设除 易拉罐的顶盖外 罐的厚度相同 记作b 顶盖的厚度为 b 想象一下 硬度体 现在同样材料的厚度上 有人测量过 顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的 3 倍 因此 我们可以进行如下的数学建模 这时必须考虑所用材料的体积 或者每单位体积的材料的价 格 F AbsoluteThickness 1 Line 3 1 0 3 1 0 3 1 12 4 3 1 0 3 0 1 3 0 1 3 12 1 3 12 1 3 0 1 mygrapg Show Graphic F AxesLabel x y AspectRatio Automatic PlotRange 0 12 5 用心 爱心 专心5 明确变量和参数 设饮料罐的半径为 r 因此 直径为 d 2r 罐的高为 h 罐内体积 为 V b 为除顶盖外的材料的厚度 其中 r h 是自变量 所用材料的体积 SV 是因变量 而 b 和 V 是固定参数 是待定参数 饮料罐侧面所用材料的体积为 22 2 223 1 2 1 22 1 1 rbrhb rbbhb rhbrbh bb 饮料罐顶盖所用材料的体积为 2 b r 饮料罐底部所用材料的体积为 2 b r 所以 SV 和 V 分别为 2 2 223 2 1 2 2 1 2 1 1 SV r hbrbrb h rhbr b rbh bb V r hr h 因为 b r 所以带 23 bb 的项可以忽略 用心 爱心 专心6 工程上用的近似方法 是合理的假设或简化吗 因此 2 2 1 SV r hS r hrhbrb 记 2 g r hr h V 于是我们可以建立以下的数学模型 0 0 min 0 rh S r h st g r h 其中 S 是目标函数 0g r h 是约束条件 V 是已知的 即罐内体积一定 即要在体积一定的条件下 求罐的体积最小的 r h 和 使得 r h 和测量结果吻合 这是一个求条件极值的问题 模型的求解 方法1 从约束中解出一个变量 化约束极值问题为求一元函数的无约束极 值问题 从 2 0g r hr h V 解出 2 hVr 代入 S 使 原问题化为 求 d h 使 S 最小 即 求 r 使 2 2 1 V S r h rbr r 最小 求临界点 令其导数为零得 3 22 2 2 1 1 0 dSVb brrV drrr 解得临界点为 3 1 V r 因此 用心 爱心 专心7 2 3 3 2 1 2 1 1 1 1 2 VV h V d r 测量数据为 h r 2 即 41 3 即顶盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍 为验证这个 r 确实使 S 达到极小 计算 S 的二阶导数 3 2 4 2 1 0 0 V Sbr r 所以 这个 r 确实使 S 达到局部极小 因为临界点只有一个 因此也是全局极小 方法2 利用算术几何平均值不等式 11 1 0 1 nn n iii ii aaain n 当且仅当 12 n aaa 时等号成立 n 2 3 时有明显的几何意义 周长一定的矩形中正方形的面积最大 三边长的和一定的 长方体中立方体的体积最大 算术几何平均值不等式是一类等周不等式 令 2 123 3 1 V naaar r 于是有 22 3 1 3 1 VV rV rr 当且仅当 2 1 V r r 时等号成立 即在 3 0 1 V r 处达到极小值 结果相同 注意 如果不忽略高级无穷小量 那么 2 1 2 SV r hbrbrb h 把 2 hVr 代入SV 得 用心 爱心 专心8 2 2 1 2 V SV rbrbrb r 求临界点 得 23 3 0 3 22 2 2 1 2 1 0 1 Vrb V SV rbrb rr VV b rbr r 因此 2 3 3 2 0 0 2 1 2 1 1 1 1 2 VVV h rV d r 又因为 4 32 2 2 0 0 br V SVbr r 所以 3 0 1 V r 是唯一的临界点 因而是全局极小点 当 3 即高等 于2倍的直径时 制作饮料罐时所用的材料最省 验证和进一步的分析 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的 3 倍 如果易拉罐的半径为3厘米 则其体积为 按照 3 4 V r 计算 V 365立方厘米 可以算得 r 3 074 厘米 下面只是一种可能的考虑 粗略的计算 可以把饮料罐的体积看成两部分 一是上底半径为 3 厘米 下底半径为 3 3 厘米 高为 1 厘米的锥台 二是半径为 3 3 厘米 高为 10 2 厘米的正圆柱体 它们的 体积分别为 31 2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380 2 立方厘米 然后 我们再来通过测量重量或容积 怎么测量 来验证 我们可以认为 1 立方厘米 的水和饮料的重量都是 1 克 测量结果为 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克 倒出来的可乐确实重 355 克 空 的饮料罐重量为 15 克 装满水的饮料罐重量为 380 克 这和我们的近似计算 380 2 立 用心 爱心 专心9 方厘米十分接近 饮料罐不能装满饮料 而是留有 10 立方厘米的空间余量 由锥台和正圆柱体组成的容器的数学建模 见习题 有意思的是 计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为 6 6 10 2 0 647 非常接 近黄金分割比 0 618 这是巧合吗 还是这样的比例看起来最舒服 最美 此外 诸如底部的形状 上拱的底面 顶盖实际上也不是平面的 略有上拱 顶盖实 际上是半径为 3 0 4 0 2 3 6 平方厘米的材料冲压而成的 从顶盖到胖的部分的斜 率为 0 3 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接 粘合 很牢固 耐压 所有这 些都是物理 力学 工程或材料方面的要求 必须要有有关方面的实际工作者或专家来确 定 因此 同学们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程 只依靠 数学知识是不够的 必须和实际工作者的经验紧密结合 还可以从其他角度来考虑各种各样罐的数学建模 可以参看有关的阅读材料 习题 任课教师可以自行配置习题 1 如果正圆柱形饮料罐 上底的厚度为其它部分厚度的 3 倍 饮料罐的总面积固定 求 能够使其体积最大的饮料罐的尺寸 直径和高之比 2 试证明 在周长相等的矩形中 正方形的面积最大 试证明 表面积相等的长方体中 正方体的体积最大 到市场上去考察各种箱包 容器的尺寸 并给予一定的解释 3 假设饮料罐的剖面图如下图所示 8 8 8 8 3 8 83 8 8 3 8 8 3 8 8 3 0 8 8 3 0 8 8 3 D D g D D l 8 8x y o c e 8 80 b 0 的椭圆的面积为 ab 它的周长为 用心 爱心 专心10 22 2 2 2 0 41sin ab Cbtdt b 虽然它不能用初等函数表示 但是当给出 a 和 b 的具体数值时 可以用数学软件来 计算它的值 若令 22 222 2 0 1sin ab Etdt b 称为第 二类不完全椭圆积分 或Legendre第二类椭圆积分 是一类重要的特殊函数 4 太空船 航天飞机 Space Shuttle 里的水箱的外形是由半径为 r 的球放在一个正圆 锥上形成的 形如我们通常吃的冰淇淋的样子 其中心纵断面的图形见