【中考12年】江苏省泰州市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题9 三角形

1 2001 20122001 2012 年江苏泰州中考数学试题分类解析汇编 年江苏泰州中考数学试题分类解析汇编 1212 专题 专题 专题专题 9 9 三角形 三角形 1 选择题 1 江苏省泰州市 2002 年 4 分 Rt ABC 中 C 90 a b 3 4 运用计算器计算 A 的度数是 精确到 1 A 30 B 37 C 38 D 39 答案 B 考点 三角函数定义 计算器的应用 分析 根据题中所给的条件 在直角三角形中应用正切函数解题 Rt ABC 中 C 90 tan A a b 3 4 0 75 运用计算器得 A 37 故选 B 2 江苏省泰州市 2003 年 4 分 如图 某防洪大坝的横断面是梯形 斜坡 AB 的坡度 1 2 5 则斜坡i AB 的坡角为 精确到 1 A 24 B 22 C 68 D 66 答案 B 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 正切函数定义 计算器的应用 分析 算出坡角的正切值 用计算器即可求得坡角 如图 坡度 tan 铅直高度 AC 水平距离 BC 1 2 5 0 4 21 8 22 故选 B 3 江苏省泰州市 2003 年 4 分 在 Rt ABC 的直角边 AC 边上有一点 P 点 P 与点 A C 不重合 过 点 P 作直线截 ABC 使截得的三角形与 ABC 相似 满足条件的直线共有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 3 条或 4 条 答案 D 考点 相似三角形的判定 分析 过点 P 作直线与另一边相交 使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角 只要再作一个等 2 于 ABC 的另一个角即可 1 若 AC BC 如图 1 过点 P 作 PD1 AB 或作 PD2 AC 或作 PD3 AB 或作 PD4C A 这样截得的三角形与 ABC 相似 即满足条件的直线共有 4 条 2 若 AC BC 且 如图 2 同 1 有 PD1 PD2 PD3 但此时作 PD4C A 时 D4落PCBC 在了 CB 延长线上 即满足条件的直线共有 3 条 3 若 AC BC 且 如图 3 同 1 有 PD1 PD2 PD3 PD4 即满足条件的直线共有PCBC 4 条 4 若 AC BC 如图 4 同 1 有 PD1 PD2 PD3 此时作 PD4C A 时 PD4与 PD3重合 即 满足条件的直线共有 3 条 综上所述 满足条件的直线共有 3 条或 4 条 故选 D 图 4 D2 D1 D3 P B C A 图 3 图 2 图 1 D1 D2 D3D4B C P A P D2 D1 D4D3 B C A D1 P B D3 D2 C A 4 江苏省泰州市 2005 年 3 分 一人乘雪橇沿坡比 1 的斜坡笔直滑下 滑下的距离 s 米 与时间3 t 秒 间的关系为 s 10t 2t2 若滑到坡底的时间为 4 秒 则此人下降的高度为 A 72 m B 36 m C 36 m D 18 m33 答案 C 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 二次函数的应用 分析 如图 过人的脚底 B 点向地面作垂线 BC 垂足为点 C 滑下的距离 s 米 与时间 t 秒 间的关系为 s 10t 2t2 当 t 4 时 AB s 10 4 2 42 72 坡比为 1 AC BC33 3 在 Rt ABC 中 由勾股定理得 BC2 AC2 AB2 即 BC2 BC 2 722 3 解得 x 36 故选 C 5 江苏省泰州市 2007 年 3 分 如图 王大伯家屋后有一块长 12m 宽 8m 的矩形空地 他在以长边 BC 为直径的半圆内种菜 他家养的一只羊平时拴在 A 处的一棵树上 为了不让羊吃到菜 拴羊的绳长可以 选用 A 3mB 5mC 7mD 9m 答案 A 考点 勾股定理的应用 分析 为了不让羊吃到菜 必须不大于点 A 到圆的最小距离 要确定最小距离 连接 OA 交半圆于点 E 则 AE 是最短距离 在 Rt AOB 中 OB 6 OA 8 根据勾股定理得 OA 10 又 OE OB 6 AE OA OE 4 选用的绳子应该不大于 4 故选 A 6 江苏省泰州市 2008 年 3 分 在平面上 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 且满足 AB CD 有 下列四个条件 1 OB OC 2 AD BC 3 4 OAD OBC 若只增加其中的一个条件 AODO COBO 就一定能使 BAC CDB 成立 这样的条件可以是 A 2 4 B 2 C 3 4 D 4 答案 D 考点 全等和相似三角形的判定和性质 分析 所增加的条件只要能证明 AOB DOC 即可 AOB 和 DOC 全等已经具备的条件是 AB CD AOB DOC 只要验证一下四个条件是否满足这个关系即可判断 OB OC 两个三角形是两边及一边的对角对应相等 不能判定三角形全等 故选项错误 当 AD BC 时 可推出四边形 ABCD 是等腰梯形或平行四边形 梯形时可证明 BAC CDB 4 但平行四边形时 不能证明 BAC CDB 故选项错误 不能判定 AOD COB BAC CDB 不一定相等 故选项正确 AODO COBO 当 OAD OBC 时 AOD BOC OAD OBC OAOD OBOC OAOB ODOC AOB DOC AOB DOC BAC CDB 成立 故选 D 7 江苏省 2009 年 3 分 如图 给出下列四组条件 ABDEBCEFACDF ABDEBEBCEF BEBCEFCF ABDEACDFBE 其中 能使的条件共有 ABCDEF A 1 组B 2 组C 3 组D 4 组 答案 C 考点 全等三角形的判定 分析 根据全等三角形的判定方法可知 可用 SSS 判定 ABDEBCEFACDF ABCDEF 可用 SAS 判定 ABDEBEBCEF ABCDEF 可用 ASA 判定 BEBCEFCF ABCDEF 是 SSA 不能判定 ABDEACDFBE ABCDEF 因此能使的条件共有 3 组 故选 C ABCDEF 8 江苏省泰州市 2010 年 3 分 一个铝质三角形框架三条边长分别为 24cm 30cm 36cm 要做一个与 它相似的铝质三角形框架 现有长为 27cm 45cm 的两根铝材 要求以其中的一根为一边 从另一根上截 下两段 允许有余料 作为另外两边 截法有 A 0 种 B 1 种 C 2 种 D 3 种 答案 B 5 考点 相似三角形的判定和性质 三角形三边关系 分析 分两种情况 1 以 27cm 为一边 把 45cm 截成两段 设这两段分别为 xcm ycm x y 则由两三角形相似 得或 注 27cm 不可能是最小边 243036 27xy 243036 27xy 由解得 x 18 y 22 5 符合题意 243036 27xy 由解得 x y 但 x y 54 45 不合题意 舍去 243036 27xy 108 5 162 5 108 5 162 5 270 5 2 以 45cm 为一边 把 27cm 截成两段 设这两段分别为 xcm ycm 则 x y 27 45 所以三 边不能构成三角形 因此 不合题意 舍去 综上所述 截法只有一种 故选 B 二 填空题 1 2001 江苏泰州 2 分 如果 则锐角的余角是 度 3 sin 2 答案 30 考点 特殊角的三角函数值 余角定义 分析 先根据特殊角的三角函数值求 再根据互余两角的关系求解 60 锐角 的余角 90 60 30 3 sin 2 2 江苏省泰州市 2003 年 3 分 如图所示 在 ABC 和 DCB 中 AB DC 要使 ABO DCO 请你补充条件 只要填写一个你认为合适的条件 答案 BAO CDO 答案不唯一 考点 全等三角形的判定 分析 在 ABO 和 DCO 中 已知了 AB DC AOB COD 因此只需添加一组对应角相等即可 当 BAO CDO 或 ABD ACD 时 ABO COD 答案不唯一 3 江苏省泰州市 2003 年 3 分 如图 由边长为 1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个 ABC 在网格上画出一个与 ABC 相似且面积最大的 A1B1C1 使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上 则 6 A1B1C1的最大面积是 答案 5 考点 相似三角形的判定和性质 分析 因为限制条件比较多 关键是新三角形的三个顶点必须都落在小正方形的 顶点上 所以可以对原三角形的边扩大一定的倍数来解决 如图所示 ABC A1B1C1 相似比为 又 S ABC 1 5 5 111 2 A B CABC S 5S 5 1 5 4 江苏省泰州市 2004 年 3 分 已知 如图 ABC 中 且 D 平分 ABC D 为 AC 的中点 DE BC 交 AB 于点 E 若 BC 4 则 EB 长为 答案 考点 三角形中位线定理 平行的性质 等腰三角形的判定 分析 根据已知可求得 ED 为三角形的中位线 从而可求得 DE 的长 再根据平行线的性质及已知可得 到 BE DE 即求得了 EB 的长 D 为 AC 的中点 DE BC BC 4 ED BC 2 EBD CBD 1 2 BD 平分 ABC EBD EDB EB ED 2 5 江苏省泰州市 2004 年 3 分 李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植 需要修一个如右图的育 苗棚 棚宽 a 3m 棚顶与地面所成的角约为 25 长 b 9m 则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需 m2 利用计算器计算 结果精确到 1 m2 7 答案 30 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 分析 利用 25 余弦值求得大棚的宽 乘以长即可 棚顶的宽 覆盖在顶上的塑料薄膜面积 3 3 9 30 m2 a3 3 3 cos250 9 6 江苏省泰州市2005 年 3 分 在边长为 3 4 5 的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆 此圆 的半径为 答案 1 考点 三角形的内切圆与内心 勾股定理的逆定理 分析 根据勾股定理的逆定理 由三角形的三边长可判断出此三角形是直角三 角形 已知了直角三角形三边的长 可直接利用直角三角形内切圆半径公式求出 此圆的半径 若设该直角三角形的内切圆的半径为 r 则有 345 r1 2 故此圆的半径为 1cm 7 江苏省泰州市 2006 年 3 分 如图 AB CD 相交于点 O AB CD 试添加一个条件使得 AOD COB 你添加的条件是 只需写一个 答案 AO CO 答案不唯一 考点 全等三角形的判定 分析 要使 AOD COB 已知 AB CD AOD COB 所以可以再添加一组边从而利用 SAS 来判定其全 等 可加 AO CO 或 BO DO 若添加 AO CO AB CD AO CO OD OB 8 又 AOD COB AOD COB SAS 8 江苏省泰州市 2006 年 3 分 为美化小区环境 某小区有一块面积为 30的等腰三角形草地 测得 2 m 其一边长为 10 现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏 则其长度为 mm 答案 或或 102 61 206 10 202 10 考点 解直角三角形的应用 勾股定理 等腰三角形的性质 分析 分类讨论 如图 ABC 中作 BC 边上的高 AD 1 当底边 BC 10 时 S 30 高 AD 6 在 Rt ABD 中 由勾股定理求出 周长 22 ABAC5661 102 61 2 当 AB AC 10 时 设 BD x AD h 则 BC 2 x S 30 xh 30 在 Rt ABD 中 由勾股定理得 222 xh10 即 舍去负值 22 xh2xh100 xh 160 xh 4 10 x h 是一元二次方程的两个根 解得 2 z4 10z 300 12 z 3 10 z 10 当时 BC ABC 的周长 此时 ABC 是钝角三角形 z 3 106 10206 10 当时 BC ABC 的周长 此时 ABC 是锐角三角形 z 102 10202 10 综上所述 这块三角形草地上低矮栅栏长度为或或 102 61 m206 10 m202 10 m 9 2012 江苏泰州 3 分 如图 ABC 中 C 90 BAC 的平分线交 BC 于点 D 若 CD 4 则点 D 到 AB 的距离是 答案 4 考点 点到直线距离的概念 角平分线的性质 分析 过点 D 作 DE AB 于点 E 则 DE 即为点 D 到 AB 的距离 AD 是 BAC 的平分线 CD 4 根据角平分线上的点到角的两边距离相等性质 得 DE CD 4 即点 D 到 AB 的距离为 4 9 三 解答题 1 2001 江苏泰州 8 分 求证 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 已知 求证 证明 2 2001 江苏泰州 8 分 已知 E 是 AOB 的平分线上一点 EC OA ED OB 垂足分别是 C D 求证 1 ECD EDC 2 OC OD 3 OE 是 CD 的垂直平分线 答案 证明 1 点 E 是 AOB 的平分线上一点 EC OA ED OB 10 EC ED EDC 为等腰三角形 ECD EDC 2 EC OA ED OB OCE ODE 90 又 OE 平分 AOB EC ED 在 Rt OCE 和 Rt ODE 中 OE OE EC ED Rt OCE Rt ODE HL OC OD 3 EC ED OC OD E O 都在 CD 的垂直平分线上 OE 是 CD 的垂直平分线 考点 角平分线的性质 等腰三角形的性质 全等三角形的判定和性质 线段垂直平分线的判定 分析 1 点 E 是 AOB 的平分线上一点 EC OA ED OB 根据角平分线的性质可知 EC ED 根据等 腰三角形等边对等角的性质得 ECD EDC 2 由已知条件结合角的平分线上的点到角的两边的距离相等证明 Rt PDO Rt PEO HL 即可求得 OC OD 3 由 EC ED OC OD 即知 E O 都在 CD 的垂直平分线上 根据两点确定一条直线的公理知 OE 是 CD 的垂直平分线 3 江苏省泰州市 2002 年 8 分 台湾 华航 客机失事后 祖国大陆海上搜救中心立即通知位于 A B 两处的上海救捞人局所属专业救助轮 华意 轮 沪救 12 轮前往出事地点协助搜索 接到通知后 华意 轮测得出事地点 C 在 A 的南偏东 60 沪救 12 轮测得出事地点 C 在 B 的南偏东 30 已知 B 在 A 的正东方向 且相距 100 浬 分别求出两艘船到达出事地点 C 的距离 答案 解 如图 过点 C 作 CE AE 于点 E 过点 B 作 BF CE 于点 F 过点 B 作 BG AC 于点 G 则四边 形 AEFB 是矩形 点 C 在点 A 的南偏东 60 2 60 1 90 2 90 60 30 又 点 C 在点 B 的南偏东 30 3 30 11 在 Rt ABC 中 1 30 则 ABC 90 30 120 BCA 180 30 120 30 1 BCA BC AB 100 浬 AC 2AC 在 Rt ABG 中 AG AB 1 AB cos30 100 浬 3 50 3 2 AC 浬 2 50 3100 3 答 A 到达出事地点 C 的距离浬 B 到达出事地点 C 的距离 100 浬 100 3 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 根据题意画出图形 将实际问题转化为解直角三角形的问题来解答 4 江苏省泰州市 2004 年 7 分 已知 如图 点 D E 在 ABC 的边 BC 上 AD AE BD EC 求证 AB AC 答案 证明 AD AE AEB ADC BD EC BE CD ABE ACD SAS AB AC 考点 等腰三角形的性质 全等三角形的判定和性质 分析 欲证 AB AC 可以证明它们所在的 ABE 与 ACD 全等 全等的条件已经有两组边对应相等 只 要再证明它们的夹角相等就可以了 根据等腰三角形等边对等角的性质 得 AEB ADC 从而得证 5 江苏省泰州市 2005 年 9 分 高为 12 6 米的教学楼 ED 前有一棵大树 AB 如图 1 1 某一时刻测得大树 AB 教学楼 ED 在阳光下的投影长分别是 BC 2 4 米 DF 7 2 米 求大树 AB 的高度 3 分 2 用皮尺 高为 h 米的测角仪 请你设计另一种测量大树 AB 高度的方案 要求 在图 2 上 画出你设计的测量方案示意图 并将应测数据标记在图上 长度用字母 m n 表 示 角度用希腊字母 表示 3 分 根据你所画的示意图和标注的数据 计算大树 AB 高度 用字母表示 3 分 12 答案 解 1 连结 AC EF 太阳光线是平行线 AC EF ACB EFD ABC EDF 90 ABC EDF ABBC EDDF AB 4 2 AB2 4 12 67 2 答 大树 AB 的高是 4 2 米 2 如图 MG NB m MN GB h ABG AG m tan AB AG GB m tan h 米 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 锐角三角函数 相似三角形的判定和性质 分析 1 首先根据平行线的性质判断出 ABC EDF 得到比例关系式 可求得 AB 的值 2 根据题意 设计测量方法 符合三角函数的定义 且易于操作即可 6 江苏省泰州市 2007 年 10 分 2007 年 5 月 17 日我市荣获 国家卫生城市称号 在 创卫 过程中 要在东西方向 M N 两地之间修建一条道路 已知 如图点周围 180m 范围内为文物保护区 在 MN 上点C A 处测得 C 在 A 的北偏东方向上 从 A 向东走 500m 到达 B 处 测得 C 在 B 的北偏西方向上 60 45 1 MN 是否穿过文物保护区 为什么 参考数据 31 732 2 若修路工程顺利进行 要使修路工程比原计划提前 5 天完成 需将原定的工作效率提高 25 则原 计划完成这项工程需要多少天 13 答案 解 1 过 C 作 CH AB 于点 H 设 CHx 则 CAE 450 CBF 600 CAH 450 CBH 300 AHCH x 0 CH HB 3 tan30 x AH HB AB 3500 xx 500 183180 31 x MN 不会穿过保护区 2 设原计划完成这项工程需要天 则 y 11 125 5yy 解之得 经检验知 是原方程的根 25y 25y 答 原计划完成这项工程需要 25 天 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分式方程的应用 分析 1 要求 MN 是否穿过原始森林保护区 也就是求 C 到 MN 的距离 要构造直角三角形 再解直 角三角形即可判断 2 根据题意列方程求解 7 江苏省泰州市 2008 年 9 分 如图 某堤坝的横截面是梯形 ABCD 背水坡 AD 的坡度 i 即 tan 为 1 1 2 坝高为 5 米 现为了提高堤坝的防洪能力 市防汛指挥部决定加固堤坝 要求坝顶 CD 加宽 1 米 形成新的背水坡 EF 其坡度为 1 1 4 已知堤坝总长度为 4000 米 1 求完成该工程需要多少土方 4 分 2 该工程由甲 乙两个工程队合作完成 按原计划需要 20 天 准备开工前接到上级通知 汛期可能 提前 要求两个工程队提高工作效率 甲队工作效率提高 30 乙队工作效率提高 40 结果提前 5 天完 成 问这两个工程队原计划每天各完成多少土方 14 答案 解 作 DG AB 于 G 作 EH AB 于 H CD AB EH DG 米 背水坡 AD 的坡度 i 1 1 2 AG 6 米 DG1 AG1 2 新的背水坡 EF 坡度 1 1 4 FH 7 米 EH1 FH1 4 FA FH GH AG 7 1 6 2 米 SADEF ED AF EH 1 2 5 7 5 平方米 1 2 1 2 V 7 5 4000 30000 立方米 答 完成该工程需要 30000 立方米土方 2 设甲队原计划每天完成 x 立方米土方 乙队原计划每天完成 y 立方米土方 根据题意 得 20 3000 15 130 140 30000 xy xy 化简 得 1500 1 31 42000 xy xy 解之 得 1000 500 x y 答 甲队原计划每天完成 1000 立方米土方 乙队原计划每天完成 500 立方米土方 考点 解直角三角形的应用 二元一次方程的应用 工程问题 分析 1 作 DG AB 于 G 作 EH AB 于 H 构造直角三角形 DAG 和 EFH 由已知坡度解两个直角三角 形 即可梯形的下底 从而求出梯形面积和体积 2 方程 组 的应用解题关键是找出等量关系 列出方程 组 求解 本题等量关系为 原计划工时 20 天 甲 乙两个工程队工效之和 工作总量 30000 20 30000 xy 实际工时 15 天 甲 乙两个工程队新工效之和 工作总量 30000 15 30000 130 140 xy 15 8 江苏省 2009 年 10 分 如图 在航线 的两侧分别有观测点A和B 点A到航线 的距离为 2km 点ll B位于点A北偏东 60 方向且与A相距 10km 处 现有一艘轮船从位于点B南偏西 76 方向的C处 正沿 该航线自西向东航行 5min 后该轮船行至点A的正北方向的D处 1 求观测点B到航线 的距离 l 2 求该轮船航行的速度 结果精确到 0 1km h 参考数据 31 73 sin760 97 cos760 24 tan764 01 答案 解 1 设 AB 与 交于点 O l 在中 OAD 600 AD 2RtAOD AD OA4 cos60 又 AB 10 OB AB OA 6 在中 OBE OAD 600 RtBOE km BEOB cos603 A 观测点 B 到航线 的距离为 3km l 2 在中 RtAOD ODAD tan602 3 A 在中 RtBOE OEBE tan603 3 A DE OD OE 5 3 在中 CBE 760 BE 3 RtCBE CEBE tanCBE3tan76 A km CDCEDE3tan765 33 38 km h 1 5minh 12 CD 12CD12 3 3840 6 1 12 答 该轮船航行的速度约为 40 6km h 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析 1 解和即可求得观测点 B 到航线 的距离 RtAOD RtBOE l 16 2 解 和 求得 CD 的长 即可根据路程 时间和速度的关RtAOD RtBOE RtCBE