高中数学向量复习讲义新人教A版必修4

数学必修数学必修 4 平面向量复习平面向量复习 一 基本概念 一 基本概念 1 向量向量 既有大小大小又有方向方向的量叫向量 2 单位向量单位向量 长度为一个单位长度的向量 与非零向量a 共线的单位向量 0 a a a 3 平行向量 若非零向量 a b 方向相同或相反 则 ab 规定零向量与任一向量平行 4 向量相等 ba 模相等 方向相同 相反向量 ba 模相等 方向相反 5 两个非零向量两个非零向量a b的夹角 的夹角 做OA a OB b AOB 叫做a 与b 的夹角 6 坐标表示 i j 分别是与x轴 y轴同向的单位向量 若 a jyi x 则 yx 叫 做a的坐标 7 向量 向量a 在在b方向上的投影方向上的投影 设 为a b的夹角 则 cosa 为a 在b方向 上的投影 二 基本运算 基本运算 运算 向量形式 坐标形式 11 y xa 22 y xb 加法平行四边形法则 起点相同 对角 线为和向量 三角形加法法则 首尾相连 记 ABBCAC a b 2121 yyxx 减法起点相同的两个向量的差 箭头指向被 减向量 记 OAOBBA ACABCB a b 2121 yyxx 数乘 a 是一个向量 a a 方向 0 时 与a同向 0 时 与a反向 0 时 0 a 11 y xa 数量积 a b cos baa b 2121 yyxx 三 基本定理 公式 三 基本定理 公式 1 平面向量基本定理 若 1 e 与 2 e 不共线 则对平面内的任意一个向量a 有且只有一对 实数 1 2 使得 a 2211 ee 2 向量的模 a aa 22 yx 非零向量a 与b 的夹角 cos 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ba ba 3 向量平行 a b ba 1221 yxyx 向量垂直 a b 0 ba 0 2121 yyxx 四 基础训练四 基础训练 1 已知3 2 ba 且4 ba 则向量b 在向量a 上的投影为 2 已知 A 3 y B 5 2 C 6 9 三点共线 则 y 3 非零向量a 和b 满足 abab 则a 与ab 的夹角等于 五 典例讲解五 典例讲解 例 1 已知 1 2 ABa 3 2 BCb 6 4 CD 1 证明 A B D三点共 线 2 k为何值时 向量kab 与3ab 平行 向量kab 与3ab 垂直 例 2 平面内有向量OAOBOP 1 7 5 1 2 1 点 Q 为直线 OP 上一 动点 1 求QA QB 取最小值时 点 Q 的坐标 2 当点 Q 满足 1 的条件和结论时 求 cosAQB 的值 例 3 已知向量 sin 1 a 1 cos b 2 2 1 若ab 求 的值 2 求ab 的最小值 3 求函数 fy a b 的单调 增区间 六 巩固练习六 巩固练习 1 已知平面内三点 A 1 0 B x 6 P 3 4 且 AP PB x 和 的值分别为 A 7 2 B 5 2 C 7 5 2 D 5 5 2 2 向量a b满足6 a 10 b 则ba 的取值范围是 3 已知6 a 8 b 10 ba 则 ba 4 已知 a 1 e 2 e b 1 e 2 e 则向量a 2b与 2a b A 一定共线 B 一定不共线 C 仅当 1 e与 2 e共线时共线 D 仅当 1 e 2 e时共线 5 已知 ABC顶点A 1 1 2 B 2 3 及重心坐标G 1 1 2 则顶点C的坐标 为 6 已知 O 0 0 和 A 6 3 两点 若点 P 在直线 OA 上 且2PAOP 又 P 是线段 OB 的中点 则点 B 的坐标是 7 已知 a b a b 且 a b k a b 则 k 的值是 A 1 B 1 C 0 D 2 8 已知 1 2 1 1 ab 且a 与ab 的夹角为锐角 则实数 的取值范围 为 9 已知点O 0 0 A 1 2 B 4 5 P为一动点 及ABtOAOP 1 t 为何值时 P 在 x 轴上 P 在 y 轴上 P 在第二象限 2 四边形OABP能否成为平行四边形 若能 求出相应的t值 若不能 请说明理由 Q Q P P A A C C B B 10 已知1a 2b 且a 与b 的夹角 为 0 60 1 求a b 2 2 ab 3ab 2 证明 ab 与a 垂直 11 已知 a b c是同一平面内的三个向量 其中 a 1 2 1 若 c 25 且 c a 求 c的坐标 2 若 b 2 5 且 a 2 b与 2 a b垂