高中数学《充分条件与必要条件》文字素材3 新人教A版选修2-1

用心 爱心 专心1 充分条件下的演绎转换充分条件下的演绎转换 因为 f x x2 所以 f 1 1 前者是后者的充分条件 但可以不必要 用充分条件的推理过程 在逻辑上称演绎过程 相应的 用充分条件的解题转换 在逻辑 上称演绎转换 演绎转换 是 一般到特殊 的转换 是 整体到部分 的转换 是 集合性质 向 元 素性质 的转换 演绎转换时 常用的 充分条件 有 1 定义 如用 线面垂直定义 推出了 三垂线定理 2 定理 如用 二项式定理 推出了 组合数公式 3 公式 如用 两角和公式 求出了 sin75 的值 4 结论 如用 平均不等式 求出了 a a 1 的最值 5 题设 一切题设都是 已知的 演绎转换时 都是 充分条件 充分条件下的演绎转换 在我们平常解题时 常用符号 显示其 前因后果 的解题 过程 由条件一步一步推出结论 它是我们解题中最常用的方法之一 例 1 对任意函数 f xxD 可按图示构造一个数列发生器 其工作原理如下 输入数据 0 xD 经数列发生器输出 10 xf x 若 1 xD 则数列发生器结束工作 若 1 xD 则将 1 x 反馈输入端 再输出 21 xf x 并依此规律继续下去 现定义 42 1 x f x x 1 若输入 0 49 65 x 则由数列发生器产生数列 n x 请写出数列 n x 的所有项 2 若数列发生器产生一个无穷的常数数列 试求输入的初始数据 0 x 的值 3 若输入 0 x 时 产生的无穷数列 n x 满足 对任意正整数n 均有 1nn xx 求 0 x 的 取值范围 分析 此题的充分条件是 42 1 x f x x 而题目中的 D 就是它的定义域 解析 42 1 x f x x 11 D 用心 爱心 专心2 6 4 1 f x x 1 0 49 65 x 1 66511 44 49 1919 1 65 xD 2 6191 44 11 55 1 19 xD 3 6 4451 1 1 5 xD n x 中只有三项 1 11 19 x 2 1 5 x 3 1x 2 数列发生器产生一个无穷的常数数列 1nn xx nn f xx 42 1 n n n x x x 1 n x 或 2 n x 由 0 1 0 42 1 1 x x x 或 0 1 0 42 2 1 x x x 0 1x 或 0 2x 3 由 1nn xx 及 42 1 x f x x 得 42 1 x x x 12 0 1 xx x 1 12xx 或 若 1x 21 1 6 44 1 xf x x 322 2 6 44 1 xf xx x 这与题意不符 若1 2x 21 1 6 41 2 1 xf x x 且 2 111 121 11 4232 0 11 xxx xxx xx 12 xx 依次类推 对任意 nN 有 1nn xx 1 12x 0 1 0 42 1 x x x 0 0 42 12 1 x x 0 12x 点评 此题的充分条件是题设给出的 虽然是数列 但并不是我们所学的等差或等比数 列 而是由一个函数式产生的 后一项由前一项经函数式运算演绎而得 因此前一项是产生 后一项的充分条件 充分条件下的演绎转换尤如上楼梯 一步是另一步的基础 只有通过它才能到达顶层 找 到我们要的答案 用心 爱心 专心3 例 2 已知定义在R上的函数 f x 满足 5 1 2 f 且对于任意实数 x y 总有 f x f yf xyf xy 成立 I 求 0 f 的值 并证明函数 f x 为偶函数 II 定义数列 n a 2 1 1 2 3 n af nf n n 求证 n a 为等比数列 III 若对于任意非零实数 y 总有 2f y 设有理数 12 x x 满足 12 xx 判断 1 f x 和 2 f x 的大小关系 并证明你的结论 分析 条件是 对于任意实数 x y 总有 f x f yf xyf xy 成立 结论是 求 0 f 的值 设有理数 12 x x 满足 12 xx 判断 1 f x 和 2 f x 的大小关系 等 显然 这是 从一般到特殊 的演绎转换 解析 I 令 1 0 xy 1011ffff 5 1 2 f 02f 令 0 x 0 ff yf yfy 即2 f yf yfy f yfy 对任意的实数 y 总成立 f x 为偶函数 II 令 1xy 得 1120ffff 25 2 2 4 f 17 2 4 f 1 175 2 2 1 6 22 aff 令 1 1xny 得 1 1 2 f nff nf n 用心 爱心 专心4 5 2 1 2 f nf nf n 1 5 221211412 2 2 122 1 n n af nf nf nf nf nf nf n f nf na n n a 是以6为首项 以2为公比的等比数列 III 结论 12 f xf x 证明 设 0y 0y 时 2f y 2 f xyf xyf x f yf x 即 f xyf xf xf xy 对于k N 总有 1 1 fkyf kyf kyfky 成立 1 1 1 2 0 0fkyf kyf kyfkyfkyfkyf yf 对于k N总有 1 fkyf ky 成立 对于 m n N 若n m 则有 f nyf my 成立 12 x x Q 所以可设 12 12 12 qq xx pp 其中 12 q q 是非负整数 12 p p 都是正整数 则 1212 12 1212 q pp q xx p pp p 令 12 1 y p p 1212 tq p sp q 则 t s N 12 xx t s f tyf sy 即 12 fxfx 函数 f x 为偶函数 1122 fxf xfxf x 12 f xf x 点评 充分条件下的演绎转换 不同于充要条件下的等价转换 用心 爱心 专心5 等价转换可以是 一次性转换 即原条件找到了它的等价条件之后 原条件 因找到了自 己的替身而可掩退 演绎转换往往是 多次性转换 因为从充分条件演绎转换出来的结果不一定是自己的替 身 因此在下步的转换中有时还得 自己上阵 如本题 在解答各个 局部问题 时 曾多次找到 充分条件 f x f yf xyf xy 并反复地利用它进行 特值演绎 从而分别得到各个具体结果 对应训练 1 函数 sin 2 3 yx 的图象 关于点 0 4 对称 关于点 0 3 对称 关于直线 4 x 对称 关于直线 3 x 对称 2 3x 是函数 23 x f xxaxb exR 的一个极值点 1 求a与b的关系式 用a表示b 并求 f x 的单调区间 2 设 2 25 0 4 x ag xae 若存在 12 0 4 使得 12 1fg 成 立 求a的取值范围 3 如图 在四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 是正三角形 且与底面 ABCD 垂直 底面 ABCD 是 边长为 2 的菱形 BAD 60 N 是 PB 中点 截面 DAN 交 PC 于 M 求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小 求证 PB 平面 ADMN 求以 AD 为棱 PAD 与 ADMN 为面的二面角的大 小 对应答案 1 B 由 2x 3 k 得 x 62 1 k 对称点为 62 1 k 0 zk 当 k 1 时为 用心 爱心 专心6 3 0 故选 B 2 1 23 x f xxaxb e 323 21 xx fxxaexaxb e 23 2 x xaxba e 由题意得 30f 即 2 3320aba 23ba 23 23 x f xxaxae 且 3 31 x fxxxae 令 0fx 得 1 3x 2 1xa 3x 是函数 23 x f xxaxb exR 的一个极值点 12 xx 即 4a 故a与b的关系式为 23 4baa 当 4a 时 2 13xa 由 0fx 得单增区间为 3 1a 由 0fx 得单减区间为 3 1 a 当 4a 时 2 13xa 由 0fx 得单增区间为 1 3a 由 0fx 得单减区间为 1a 3 2 由 1 知 当 0a 时 2 10 xa f x 在 0 3 上单调递增 在 3 4 上单 调递减 3 min min0 423f xffae max 36f xfa f x 在 0 4 上的值域为 3 23 6ae a 易知 2 25 4 x g xae 在 0 4 上是增函数 g x 在 0 4 上的值域为 224 2525 44 aae 由于 2 2 251 60 42 aaa 又 要存在 12 0 4 使得 12 1fg 成立 用心 爱心 专心7 必须且只须 2 0 25 61 4 a aa 解得 3 0 2 a 所以 a的取值范围为 3 0 2 3 I 取 AD 中点 O 连结 PO BO PAD 是正三角形 所以 PO AD 又因为平面 PAD 平面 ABCD 所以 PO 平面 ABCD BO 为 PB 在平面 ABCD 上的射影 所以 PBO 为 PB 与平面 ABCD 所成的角 由已知 ABD 为等边三角形 所以 PO BO 3 所以 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45