高中数学：导数在研究函数中的应用知识点分析 新人教A版选修1-1

共 7 页 第 1 页 高中数学 导数在研究函数中的应用高中数学 导数在研究函数中的应用 一 导数与函数的交汇一 导数与函数的交汇 例 1 2006 年山东卷 设函数 1 ln 1 f xaxax 其中1a 求 f x的单 调区间 解析 解析 由已知得函数 f x的定义域为 1 且 1 1 ax fx x 1a 1 当10a 时 0fx 函数 f x在 1 上单调递减 2 当0a 时 0fx 由 解得 1 x a fx f x 随x的变化情况如下表 x 1 1 a 1 a 1 a fx 0 f x 极小值 从上表可知 当 1 1 x a 时 0fx 函数 f x在 1 1 a 上单调递减 当 1 x a 时 0fx 函数 f x在 1 a 上单调递增 综上所述 当10a 时 函数 f x在 1 上单调递减 当0a 时 函数 f x在 1 1 a 上单调递减 函数 f x在 1 a 上单调递增 评注评注 利用导数研究含参函数的单调性一直是高考的重点和热点 常考常新 主要有 根据对参数的讨论来确定函数的单调性 已知含参函数的单调性来求对应参数的取值范围 二 导数与数列的交汇二 导数与数列的交汇 例 2 2006 年江苏卷 对正整数n 设曲线 1 n yxx 在2x 处的切线与y轴 交点的纵坐标为 n a 则数列 1 n a n 的前n项和的公式是 解析 解析 1 1 nn ynxnx 曲线 1 n yxx 在2x 处的切线的斜率为 共 7 页 第 2 页 1 21 2 nn knn 又因为切点为 2 2 n 所以切线方程为2 2 n yk x 令 0 x 得 1 2 n n an 令2 1 nn n a b n 数列 1 n a n 的前n项和为 23 222 1 2 12 222 12 n nn 评注评注 本题考查应用导数求曲线切线的斜率 数列通项公式以及等比数列的前项和的 公式 应用导数求曲线切线的斜率时 要首先判断所经过的点是否为切点 否则容易出错 三 导数与三角的交汇三 导数与三角的交汇 例 3 2005 年湖北 若0 2 x 则2x与3sin x的大小关系 A 23sinxx B 23sinxx C 23sinxx D 与x的取值有关 解析 解析 令 23sinf xxx 由 fx 23sin 23cosxxx 在 0 2 x 上的正负可知与x的取值有关 故答案应选 D 例 4 2005 年全国 1 设函数 sin 2 0f xx yf x 图象的一条对 称轴是直线 8 x 1 求 2 求函数 yf x 的单调区间 3 证明直线520 xyc 与函数 yf x 的图象不相切 解析 解析 1 8 x 是函数 yf x 的图象的对称轴 sin 2 1 8 3 0 424 kkz 2 由 1 知 3 4 因此 3 sin 2 4 yx 由题意可得 3 222 242 kxkkz 所以函数 3 sin 2 4 yx 的单调增区间为 5 88 kkkz 3 证明 33 sin 22cos 22 44 yxx 共 7 页 第 3 页 曲线 yf x 的切线斜率的取值范围为 2 2 而直线520 xyc 的斜率为 5 2 2 直线520 xyc 与函数 yf x 的图象不相切 评注评注 1 例 3 若直接比较2x与3sin x的大小关系 则比较麻烦 而采用构造函数 对函数进行求导 判断函数在所给区间的单调性 利用函数的单调性进行比较两个代数式 有 事半功倍之效 2 例 4 的第 3 小题利用导数的几何意义来证明直线520 xyc 与函 数 yf x 的图象不相切 起到化繁为简的作用 四 导数与向量 方程的交汇四 导数与向量 方程的交汇 例 5 2001 年天津高考模拟试题 已知平面向量 13 3 1 22 ab 1 证明 ab 2 若存在不同时为零的实数和 使 2 3 xatb yk at b 且xy 试求 函数关系式 kf t 3 据 2 的结论 议论关于t的方程 0f tk 的解的情况 解析 解析 1 13 3 1 0 22 a bab 2 0 xyx y 即 2 3 0 atbk at b 整理得 22 22 330 k atk ta bt tb 22 0 4 1 a bab 上式化为 2 430 kt t 2 1 3 4 kt t 3 讨论方程 2 1 3 0 4 t tk 的解的情况 可以看作曲线 2 1 3 4 f tt t 与直线 yk 的交点个数 于是 2 33 1 11 44 ftttt 令 0ft 解得 1 1 1tt 当t变化时 ft f t的变化情况如下表 t 1 1 1 1 1 1 ft 0 0 共 7 页 第 4 页 f t极大值 1 2 极小值 1 2 当1t 时 f t有极大值 极大值为 1 2 当1t 时 f t有极小值 极小值为 1 2 而 2 1 3 0 4 f tt t 时 得3 0 3 t 所以 f t的图象大致如图所示 于是当 1 2 k 或 1 2 k 时 直线yk 与曲线 yf t 仅有一个交点 则方程有一解 当 1 2 k 或 1 2 k 时 直线yk 与曲线 yf t 有两个交点 则方程有两解 当0k 时 直线yk 与曲线 yf t 有三个交点 但不同时为零 故此时方程也有两 解 当 1 0 2 k 或 1 0 2 k 时 直线yk 与曲线 yf t 有三个交点 则方程有三个解 评注评注 本题考查了平面向量的数量积 导数的运算 函数和方程有关知识 同时又运用 了转化化归思想 逻辑性强 是一道典型的融向量 导数 函数 方程为一体的综合性题 目 符合高考在知识交汇处设计试题的原则 五 导数与不等式的交五 导数与不等式的交汇 例 6 2006 年四川 已知函数 2 2 lnf xxax x 0 x f x的导函数是 fx 对任意两个不相等的正数 12 x x 证明 1 当0a 时 12 12 22 f xf xxx f 2 当4a 时 1212 fxfxxx 解析解析 1 略 2 证法一证法一 由 2 2 lnf xxax x 得 2 2 2 a fxx xx 12 121212 2222 12121212 2 22 22 2 xx aaa fxfxxxxx xxx xxxx x 1212 fxfxxx 12 22 1212 2 21 xx a x xx x t y 121 2 1 2 1 共 7 页 第 5 页 下面证明对任意两个不相等的正数 12 x x 有 12 22 1212 2 21 xx a x xx x 恒成立 即证 12 12 12 2 xx ax x x x 成立 12 1212 12 12 2 4 xx x xx x x x x x 设 2 12 4 tx xu tt t 4t 则 2 4 2 utt t 令 0ut 得 3 2t 列表如下 t 3 0 2 3 2 3 2 ut 0 u t 极大值 3 3 4 33 3 41084 u ta 12 12 12 2 xx x xa x x 对任意两个不相等的正数 12 x x 当4a 时 1212 fxfxxx 证法二证法二 由 2 2 lnf xxax x 得 2 2 2 a fxx xx 12 121212 2222 12121212 2 22 22 2 xx aaa fxfxxxxx xxx xxxx x 12 x x 是两个不相等的正数 12 22 212 2 2 xxa x xx x 3 2 12 4 2 a x x x x 3 2 12 44 2 x x x x 设 32 12 1 244tu ttt x x 0t 则 432u ttt 列表 t 2 0 3 2 3 2 3 ut 0 共 7 页 第 6 页 u t极大值 38 27 38 1 27 u 即 12 22 212 2 21 xxa x xx x 对任意两个不相等的正数 12 x x 当4a 时 1212 fxfxxx 评注评注 本题是利用导数求函数的极值及运用比较法 放缩法证明不等式的综合问题 考查学生推理能力 运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力 六 导数与解析几何的交汇六 导数与解析几何的交汇 例 7 2004 年福建高考模拟试题 设函数 3 32f xxx 分别在 1 x 2 x处取得 极小值和极大值 xoy平面上点A B的坐标分别为 11 xf x 22 xf x 该平面 上动点P满足4PA PB 点Q是点P关于直线 24yx 的对称点 1 求点A B的坐标 2 求动点Q的轨迹 解析 解析 1 2 33 fxx 令 0fx 得1x 或1x 当1x 时 0fx 当11x 时 0fx 当1x 时 0fx 函数在1x 处取得极小值 在1x 处取得极大值 故当 12 1 1xx 时 10 14 ff 点A B坐标分别为 1 0 1 4 AB 2 设 P m nQ x y 则 22 1 1 4144 PA PBmnmnmnn 又 11 22 PQ yn k xm 又PQ的中点在 24yx 上 24 22 ynxm 由 消去 m n 得 22 829xy 其中动点Q的轨迹是以 8 2 为圆 心 半径为3的圆 评注评注 本题以函数的导数与极值为载体 利用向量设计点的轨迹 借助对称建立相 关点间的联系 是典型的解析几何中求轨迹的问题 七 导数与立体几何的交汇七 导数与立体几何的交汇 共 7 页 第 7 页 例 8 2005 年全国 3 用长为 90 cm 宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小正方形 然后把四边翻转 90 0角 再焊接而成 如图 问该容器 的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 解析 解析 设容器高为x cm 容器的容积为 V x cm 3 则 32 902 482 42764320V xxxxxxx 024x 求 V x的导数 125524320124636012 10 36 Vxxxxxxx 令 0Vx 得 12 10 36xx 舍去 当010 x 时 0Vx 那么 V x为增函数 当1024x 时 0Vx 那么 V x为