数学思维在初中教学中的应用

第 1 页 共 7 页 数学思维在初中教学中的应用数学思维在初中教学中的应用 广安市第二中 晃光 摘摘要要 数学思维研究的是事物的数量关系与空间形式 为了获得这两方面的结论 首先要对 研究的对象进行由表及里 去伪存真抽象出对象的本质属性 其次对考察的对象必须得出其 共同特点 数学思维的特点是具有普通逻辑思维的特征 除此之外 数学思维还具有不同于 逻辑思维的特点 因此 重视数学思维的概括性 问题性 相似性的教学 对于提高学生数 学思维的素质有明显的促进作用 关键词 关键词 数学思维 概括性 问题性 相似性 一一 数数学学思思维维的的特特点点 数学教学中 学生常常反映 上课听得懂 课后做不出作业 或者常常在作业中得出 一些似是而非的结论 不考虑培养学生的数学思维 单纯就知识去 扳 是解决不了问题的 例如 学生错误写出 a a a 反映的不仅仅是绝对值 算术根概念没有学好 更主要的是学生思维时 2 a 违反了逻辑的同一律 两个等式的等号左边代表的是个非负实数 等号右边代表的是个实数 二者并不相同 要求这样的等式成立 必须附加条件 如此种种事例表明学生在进行数学思 维的时候 必须遵守逻辑中的规律 明确概念 作出判断 进行推理 所以 数学思维的特 点是具有普通逻辑思维的特征 除此之外 数学思维还具有不同于逻辑思维的特点 首先 数学思维研究的是事物的数量关系与空间形式 为了获得这两方面的结论 首 先要对研究的对象进行由表及里 去伪存真抽象出对象的本质属性 其次对考察的对象必须 得出其共同特点 以 而论 共同特点表示的是同一个非负实数 明确了这一点既能a 2 a 判断前述等式是否成立 又能得出新的等式 这里所做的工作反映了数学思aaa 2 维具有概括性 研究数学问题总是从已知探索未知 当我们学习了与后 探索出等式a 2 a 又以此为已知 探索得 aaa 2 0 0 2 aa aa aa 如此作来就得到一系列问题 这正好表明了数学思维具有问题性 第 2 页 共 7 页 当我们得出 土 a 之后 自然要问等号右边什么时候取正号 什么时候取负号 2 a 为了得出结论 我们的办法是比较 当 a 为非负实数与 a 为负实数时有那些相同点或相 2 a 异点 这也就是研究数学思维的相似性 重视数学思维的概括性 问题性 相似性的教学对于提高学生数学思维的素质有明显 的促进作用 二二 数数学学思思维维的的概概括括性性教教学学 数学思维概括性的教学 要求学生学会观察 分析 综合同一类问题 归纳这类问题 的共同特征 扩大自己的视野 提高自己的解题能力 例一 学习了 a b 2 a2 2ab b2 a b c 2 a2 2ab b2 2ac 2bc c2 之后 引导学生整理为 a b 2 a2 b2 2 ab a b c 2 a2 b2 c2 2 ab ac bc 概括出求若干个数之和的平方的方法是 10 将最后结果分为两个部分 20 第一部分是相加各个数的平方的和 第二部分是相加各个数的两两之积之和的二 倍 例二 学习了三角形 正方形 矩形 菱形 平行四边形 梯形之后 引导学生研究 这些图形的中位线与底边的关系 概括出这些图形的面积都可用 中位线乘以高求出 这些事例表明教会学生数学思维的概括性 学生在学习中就能将 厚书变薄 举一反 三地应用知识分析问题 解决问题 我们再看两个来自代数与几何的问题 其一是解方程组 2 1 yx yx 另一个是画出线投 AB 的垂直平分线 虽然问题来自不同的学科 但是在解决它们时 我们的思维着重于考虑不同集合或不 同图形的公共部分 排斥了不同集合或不同图形的不同部分 应用这种容斥思维 学生不 仅会解诸如上面的问题 也会解决不等式组或其它问题 第 3 页 共 7 页 例三 五根木头十个人抬 每根四个人如何安排 应用学会了的容斥思维 可得出安排方法如 五角星 应用数学思维的概括性 可以使学生正确理解知识 灵活应用知识 我们通过五个例子 进行比较 使学生掌握 等角对等弧 等弧对等弦 的等量关系 例四 对下面不同形式的五个问题进行比较 你发现它们反映的是哪一个数学道理 1 图 1 中 ABC 的外接圆中 弧 BC 中点为 D AD BC 相交于点 E 求证 AD2 BD2 AB AC 2 图 2 中 ABC 的外接圆中 AD 是 A 的角平分线 AD BC 交于点 E 求证 BD2 AD2 AB AC 3 图 3 中 如果圆内接四边形 ABDC 中 BD DC 求证 AD2 BD2 AB AC 4 图 4 中 如果 DCB 为等腰三角形 A 是 BC 弧上任意一点 求证 AD2 BD2 AB AC 5 图 5 中 如果 DCB 是等边三角形 A 是 BC 弧上任意一点 求证 AD2 BD2 AB AC A A A C C C B C B D B 1 D 2 3 D D D C B B C B A A 4 5 三三 数数学学思思维维的的问问题题性性 数学是由已知探索未知的科学 其思维方法 我们可以用一个简单的例子说明 例如 问 你为什么姓张 答 因为爸爸姓张 再问 爸爸为什么姓张 答 因为爷爷姓张 如此继续追问下去 归结到老祖宗姓张 再探索老祖宗何以姓张 就会有新的发现 获得新 的结论 第 4 页 共 7 页 数学思维的这种问题性 正是教学中学生常常问教师 数学中的公式 定理是怎么想 出来的 的原因之一 为了教会学生习惯于由给出的材料 对问题作出等价变换 一步步 将问题精化 探索出结论 再应用数学思维的概括性 将结论推广 例五 计算 2 2 23 1 23 1 对给出的材料作等价交换 计算 2 2 23 23 23 23 23 23 很快就能够得出结果为 10 进一步研究 123 23 概括为 1 从而将问题推广为 证明 aa 1aa 1 2 2 2 2x 1 1 1 xx 1 1 xx 等等 例六 已知 a b 1 ab 1 求 a4 b4的值 作等价变换 a4 b4 a2 b2 2 2a2b2 a b 2 2ab 2 2a2b2 可得 a4 b4 7 此例可推广如下 例七 已知 a b 2 7 a b 2 3 求 a4 b4 作等价变换 a4 b4 a2 b2 2 2a2b2 a b 2 2ab 2 2 ab 2 由 a b 2 7 a b 2 3 相加得 a2 b2 5 相减得 ab 1 则 a4 b4立刻可求 例八 过 ABC 的边 AB 上一点 D 作 DE BC DC 与 BE 相交于点 O 过 O 作 MN DE 求证 1 S ADO S AEO 2 MNDEBC 211 A 先作分析 S AD0 S AMO S DMO 第 5 页 共 7 页 D E S AE0 S ANO S ENO M O N 而且 AMO与 ANO在 MO 与 NO B C 与 NO 上的高也相等 欲证 S AD0 S AEO 作等价变换可证 MO NO MO NO BC MO BD DM BC EN BC NO 则 S AD0 S AEO 2 欲证 可作等价变换证明下例 BC 1 DE 1 MN 2 例九 平行线 DE BC 在直线 DB 同侧 DC 与 BE 相交于点 O MO DE 求证 BC 1 DE 1 MO 1 c E 证 BC MO BD DM DE MO BD BM O 1 BC MO DE MO BD DM BD BM BD BD D M B 那么 BC 1 DE 1 MO 1 利用例九的结论 很容易得到例八 2 BC 1 DE 1 MN 2 四 数学思维的相似性教学 在解决任何一个数学问题时 我们总是需要对新 旧问题作出比较 它们哪些地方相似 哪些地方不同 例如 学习分式时 我们总是将分式与分数进行比较 在分式中除了分母不 为零这个条件之外 分式的基本性质与分数的基本性质是相似的 应用数学思维的相似性进 行教学时 我们必须引导学生分析遇到的问题 哪些与已知的问题相似 与已知的问题又存 在哪些区别 给出的问题中 条件与结论有哪些相似 哪些区别 找出这些相似点与区别点 之后 就容易将新问题转化为已知问题 将条件转化为结论 从而解决给出的问题 根据同样的要求 教学中我们必须注意引导学生对新 旧知识作出比较 总结它们相似 或相同之处 这样做有利于提高学生的认知能力 例如从学习全等三角形开始 推理要求越 第 6 页 共 7 页 来越难 首先学生必须学会证明一对全等三角形 其次要求学生应用全等三角形证明线段 角相等 最后需要完成两次甚至三次证明全等三角形才能完成问题的证明 但是不管情况多 么复杂 在不同情况中 学生总要接触到一些相同的基本图形如 1 具有公共边 公共角 对顶角的基本图形如 2 边 角重叠的基本图形如 3 学习了全等三角形之后 理解有关公理 定理的基本