【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第二章 第2节对函数的进一步认识(第1课时)目标导学 北师大版必修1

1 2 12 1 函数概念函数概念 1 了解生活中的变量关系 2 理解函数的概念 3 会求出简单函数的定义域 值域 1 生活中的变量关系 1 依赖关系 在某变化过程中有两个变量 如果其中一个变量的值发生了变化 另一 个变量的值也会随之发生变化 那么就称这两个变量具有依赖关系 如果变量x y具有依 赖关系 对于其中一个变量x的每一个值 另一个变量y都有 的值时 那么称变 量y是变量x的函数 即这两个变量之间具有函数关系 2 非依赖关系 在某变化过程中有两个变量 如果其中一个变量的值发生了变化 另 一个变量的值不受任何影响 那么就称这两个变量具有非依赖关系 函数关系是特殊的依赖关系 具有依赖关系的两个变量有的是函数关系 有的不是函 数关系 因此说依赖关系不一定是函数关系 而函数关系是依赖关系 例如 积雪层对越 冬作物具有防冻保暖作用 大雪可以防止土壤中的热量向外散发 又可阻止外界冷空气的 侵入 具有增墒肥田作用 所以下雪与来年的丰收具有依赖关系 但不是函数关系 做一做 1 1 张大爷种植了 10 亩小麦 每亩施肥x千克 小麦总产量为y千克 则 A x y之间有依赖关系 B x y之间有函数关系 C y是x的函数 D x是y的函数 做一做 1 2 某人骑车的速度是v千米 时 他骑t小时 走的路程s是多少 路 程是时间的函数吗 2 函数的概念 给定两个非空 A和B 如果按照某个对应关系f 对于集合A中 数x 在集合B中都存在 确定的数f x 与之对应 那么就把对应关系f叫作 定义在集合A上的函数 记作f A B 或y x A 此时 x叫作自变 量 集合A叫作函数的定义域 集合 叫作函数的值域 习惯上我们称y是x的 函数 1 符号y f x 表示变量y是变量x的函数 它仅仅是函数符号 并不表示y等于f 与x的乘积 符号f x 与f m 既有区别又有联系 当m是变量时 函数f x 与函数f m 是一样的 当m是常数时 f m 表示自变量x m时对应的函数值 是一个常量 2 函数的三要素 定义域 对应关系 值域 有时给出的函数没有明确说明定义域 这时 它的定义域就是自变量的允许取值范围 此时的定义域又称为此函数的 自然定义 域 如果函数涉及实际问题 它的定义域还需使实际问题有意义 此时的定义域又称为此 函数的 临时定义域 做一做 2 下列式子中不能表示函数y f x 的是 A x y2 1 B y 2x2 1 2 C x 2y 6 D x y 3 区间与无穷的概念 1 区间 设a b是两个实数 而且a b 规定如下表 定义名称符号几何表示 x a x b 闭区间 x a x b 开区间 x a x b 左闭右 开区间 x a x b 左开右 闭区间 这里实数a b都叫作相应区间的 并不是所有的数集都能用区间表示 例如 数集M 1 2 3 4 就不能用区间表示 由 此可见 区间仍是集合 是一类特殊数集的另一种符号语言 2 无穷的概念及无穷区间 定义 R R x x a x x a x x a x x a 符号 无穷大 是一个符号 不是一个具体的数 因此不能将 1 写成 1 做一做 3 将下列集合用区间表示出来 并在数轴上表示区间 1 x x 1 2 x x 1 或x 2 3 x 2 x 8 且x 5 答案 答案 1 1 唯一确定 做一做 1 1 A 做一做 1 2 解 解 t小时走的路程是s vt 由于时间t每取一个值 路程s有唯一确定的值与之对应 所以路程是时间的函数 2 数集 任何一个 唯一 f x f x x A 做一做 2 A A 选项中 给定一个x 比如x 5 有两个y y 2 与它对应 所 以y不是x的函数 同理可验证其他选项中y都是x的函数 3 1 a b a b a b a b 端点 2 a a a a 做一做 3 解 解 1 1 2 1 2 3 2 5 5 8 数轴表示分别如图 1 2 3 3 如何理解函数符号 f x 的意义 剖析 剖析 1 符号 y f x 中的 f 表示对应法则 在不同的具体函数中 f 的含 义不一样 可以把函数的对应法则 f 形象地看作一个 暗箱 例如 y f x x2 可 以将其看作输入 x 输出 x2 于是 暗箱 相当于一个 平方机 的作用 如图所示 则 显然应该有 f a a2 f m 1 m 1 2 f x 1 x 1 2 2 符号 y f x 是 y 是 x 的函数 的数学表示 应理解为 x 是自变量 它是法则所 施加的对象 f 是对应法则 它可以是一个或几个解析式 可以是图像 表格 也可以是 文字描述 y 是自变量的函数 当 x 允许取某一具体值时 相应的 y值为与该自变量值对 应的函数值 y f x 仅仅是函数符号 不是表示 y 等于 f 与 x 的乘积 在研究函数时 除用符号 f x 外 还常用 g x F x G x 等来表示函数 3 f x 与 f a 的区别与联系 f a 表示当 x a 时 函数 f x 的值 是一个常量 而 f x 是自变量 x 的函数 一般情况下 它是一个变量 f a 是 f x 的一个特殊值 如一次 函数 f x 3x 4 当 x 8 时 f 8 3 8 4 28 是一个常数 y f x 是 y 是 x 的函数 的数学表示 它也未必就是一个解析式 y f a 表示自 变量 x a 时的函数值 它是一个常数 y f x 是函数 通常是一个依赖于 x 变化而变化 的变量 函数还可以用其他一些符号来表示 例如 F x G x h x 也就是说 不管用哪一个字母表示 它总是表达同样一个含义 y 是 x 的函数 题型一 函数的概念 例 1 判断下列函数是否为同一函数 1 f x 与 g x Error x x 2 f x 与 g x x x 1x x 1 3 f x x2 2x 1 与 g t t2 2t 1 4 f x 1 与 g x x0 x 0 分析 分析 判断函数的定义域和对应关系是否一致 反思 反思 判断两个函数是否相同 只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同 1 定义域和对应关系都相同 则两个函数表示同一函数 2 定义域不同 则两个函数不表示同一函数 3 对应关系不同 则两个函数不表示同一函数 4 即使定义域和值域都分别相同的两个函数 也不一定是同一函数 例如 y x 和 y 2x 1 的定义域和值域都是 R R 但不是同一函数 5 两个函数是否相同 与自变量是什么字母无关 题型二 求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域 1 y 2 x1 7x 4 2 y x 1 0 x x 分析 分析 求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围 可考虑列不 等式或不等式组 反思 反思 1 如果f x 是整式 那么函数的定义域是实数集 R R 2 如果f x 是分式 那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 3 如果f x 是二次根式 那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数 的集合 4 如果f x 是由几个部分的数学式子构成的 那么函数定义域是使各部分式子都有 意义的实数集合 即求各部分定义域的交集 5 对于由实际背景确定的函数 其定义域还要受实际问题的制约 题型三 求函数值 例 3 已知f x x R R 且x 1 g x x2 2 x R R 1 1 x 1 求f 2 g 2 的值 2 求f g 2 的值 分析 分析 解决求值问题 先分清对应法则 再代入求值 反思 反思 1 求函数值问题 首先确定出函数的对应法则f的具体含义 再代入求值 2 求类似f g 2 的值 要注意f g作用的对象 按 由内向外 的顺序求值 题型四 求函数的值域 例 4 求下列各函数的值域 1 y x 1 x 2 3 4 5 6 2 y 1 x 3 y x2 4x 6 4 y x 2x 1 分析 分析 确定函数的值域必须认真分析自变量x与对应法则之间的联系 关键是弄清自 变量变化时由对应法则确定函数值的变化规律 反思 反思 求函数值域的方法 1 图像法 借助于函数值域的几何意义 利用函数的图像求值域 2 观察法 对于解析式比较简单的函数 利用常见的结论如x2 0 x 0 0 x 等观察出函数的值域 3 换元法 利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等 论函数的值域要先考虑函数的定义域 本例 1 中 如果忽视函数的定义域 那么会错 误地得出函数值域为 R R 避免此类错误的方法是研究函数时要遵循定义域优先的原则 题型五 易错辨析 易错点 求函数定义域时非等价化简解析式致错 例 5 求函数y 的定义域 x 2x 2 错解 解 y 由x2 4 0 得x 2 或x 2 函数的定义域 x 2x 2x2 4 为 x x 2 或x 2 错因分析 错因分析 错解在求函数的定义域时 对函数的解析式进行了不等价变形 导致定义 域范围扩大 答案 答案 例 1 解 解 1 f x 的定义域中不含有元素 0 而g x 的定义域为 R R 即定义 域不相同 所以不是同一函数 2 f x 的定义域为 0 而g x 的定义域为 1 0 定义域 也不相同 所以不是同一函数 5 3 尽管两个函数的自变量一个用x表示 另一个用t表示 但它们的定义域相同 对 应关系相同 即对定义域内同一个自变量 根据表达式 都能得到同一函数值 因此二者 为同一函数 4 f x 的定义域为 R R g x 的定义域为 x x 0 因此也不是同一函数 例 2 解 解 1 令Error 即Error 所以 0 x 1 7 所以函数的定义域为Error 2 令Error 即Error 所以x 0 且x 1 所以函数的定义域为 x x 0 且x 1 例 3 解 解 1 f x f 2 1 1 x 1 1 2 1 3 又g x x2 2 g 2 22 2 6 2 f g 2 f 6 1 1 6 1 7 例 4 解 解 1 当x分别取 2 3 4 5 6 时 y x 1 分别取 3 4 5 6 7 函数的值 域为 3 4 5 6 7 2 函数的定义域为 0 当x 0 时 0 x y 1 即函数y 1 的值域为 1 x 3 函数的定义域为 R R y x2 4x 6 x 2 2 2 2 该函数的值域为 2 4 换元法 设t 则x 且t 0 2x 1 t2 1 2 问题转化为求y t t 0 的值域 1 t2 2 y t t 1 2 t 0 t 1 2 1 1 t2 2 1 2 y的取值范围为 1 2 故该函数的值域为 1 2 例 5 正解 解 由Error 得Error 即x 2 函数的定义域为 x x 2 1 下列四个图形中 不是以x为自变量的函数的图像是 6 2 已知函数f x 则f 2 等于 1 1 x x A 3 B 2 C 1 D 0 3 函数y 的定义域为 1xx A x x 1 B x x 0 C x x 1 或x 0 D x 0 x 1 4 函数y x 1 5 的值域是 5 x 5 判断下列各组的两个函数是否相等 并说明理由 1 y x 1 x R R 与y x 1 x N N 2 y 与y 2 xxx 3 y 与u 1 1 x 1 1 t 答案 答